2023年廣東省佛山市第四中學(xué)中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢模擬試卷

2023年廣東省佛山四中中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）

1.（3分）0,-1,-1,&這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

2

A.-1B.C.0D.V2

2

2.（3分）如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，則與“學(xué)”字相對(duì)的是（）

3.（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出TT的近似值為里它與口的誤差小于0.0000003.

113

將0.0000003用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.3X10〃B.0.3X10-6C.3XI0-6D.3X107

4.（3分）不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球,3個(gè)綠球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)

摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是（）

C.AD.3

24

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2X2+A^=2JC4B.J?*X3=2X3C.（x5）2=x7D.2%7-=2?

6.（3分）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在兩條平行線。、匕上，已知/2=35°,則N1的度

數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.（3分）如圖，在△ABC中，NBAC=50°,ZC=25°,將ZiABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角

度（0°<a<180°）得到△ADE.若。E〃A8,貝Ua的值為（）

E

B

D

AC

A.65°B.75°C.85°D.95°

8.（3分）點(diǎn)A（1,yi）,B（3,”）是雙曲線（k<0）上的兩點(diǎn)，那么V，”的大小

x

關(guān)系是（）

A.y\>y2B.y\=y2C.y\<y2D.不能確定

9.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)人在天軸負(fù)半軸上，點(diǎn)8在），軸正半軸上，OD

經(jīng)過(guò)A,B,0,C四點(diǎn)，ZACO=120°,45=4,則圓心點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

C.(-1,V3)D.(-2,2?)

10.（3分）如圖，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2c加的正方形，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為邊AO,CD中點(diǎn),

點(diǎn)。為正方形的中心，連接OE,OF,點(diǎn)尸從點(diǎn)E出發(fā)沿E-O-F運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)3出

發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度均為15心，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)朋，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為巴連接5P,PQ,尸。的面積為下列圖象能正確反映出S與f的函數(shù)關(guān)

B.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.）

11.（3分）函數(shù)y=-2—的自變量x的取值范圍是.

x-3

12.（3分）計(jì)算:（兀八后）°=--------

13.（3分）若mb為實(shí)數(shù)，且滿足|“+20|+也-23=0,則a+6的值為.

14.（3分）如圖，已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=l：2,如果它把物體送到離地面

10米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為米.

15.（3分）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，HAE±BE

,則線段CE的最小值為.

三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題8分，共24分.）

‘5x>3xT

16.（8分）解不等式組：，x+2-x-5-

17.（8分）目前我市“校園手機(jī)”現(xiàn)象越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注，針對(duì)這種現(xiàn)象，某校初三

（3）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)隨機(jī)調(diào)查了若干名家長(zhǎng)對(duì)“中學(xué)生帶手機(jī)的”的態(tài)度（態(tài)度

分為：A.無(wú)所謂；B.基本贊成；C.贊成；D.反對(duì)）.并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線

統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2（不完整）.請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

-U--------!----------------!~>

ABCD態(tài)度

(1)求出圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)為度，并將圖1補(bǔ)充完整；

(2)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)該校11000名中學(xué)生家長(zhǎng)中持反對(duì)態(tài)度的人數(shù).

18.(8分)如圖，RtZ\ABC中，NACB=90°,CDrAB^D.

(1)尺規(guī)作圖：作NCBA的角平分線，交CD于點(diǎn)、P,交AC于點(diǎn)Q(保留作圖痕跡，不寫(xiě)

作法)；

(2)若/A4C=46°,求NCPQ的度數(shù).

AN

四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題9分，共27分.)

19.(9分)經(jīng)開(kāi)區(qū)某中學(xué)計(jì)劃舉行一次知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)獲獎(jiǎng)的同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì).現(xiàn)要購(gòu)買(mǎi)甲、

乙兩種獎(jiǎng)品，已知1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共

需70元.

(1)求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)；

(2)根據(jù)頒獎(jiǎng)計(jì)劃，該中學(xué)需甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60件，且甲種獎(jiǎng)品不少于乙種獎(jiǎng)品的一

半，應(yīng)如何購(gòu)買(mǎi)才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用.

20.(9分)如圖，AC為平行四邊形A8C￡＞的對(duì)角線，點(diǎn)E,尸分別在A8,AO上，AE=AF,

連接E尸，AC1EF.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)連接80交AC于點(diǎn)O,若E為AB中點(diǎn)，BD=4,tan/ABD=^，求OE的長(zhǎng).

21.（9分）如圖，在矩形0A8C中，0A=3,AB=4,反比例函數(shù)y=&（k〉0）的圖象與

x

矩形兩邊鉆、BC分別交于點(diǎn)。、點(diǎn)E,且BD=2A。.

（1）反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)尸是線段0C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使NAPE=90°?若存在，求出此

時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

yk\

--

Cx

五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分.）

22.（12分）如圖，A8是。。的直徑，弦COLAB,垂足為〃，連接AC,過(guò)俞上一點(diǎn)E作EG

〃AC交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AE交C￡＞于點(diǎn)F,且EG=FG,連接CE.

（1）求證：AECFs4GCE；

（2）求證：EG是。。的切線；

（3）延長(zhǎng)鉆交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,若tan/G=2,AH=3,求EM的值.

軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。使QB+QC最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)尸為4c上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PCAC,垂足為點(diǎn)Q,連接PC,當(dāng)△PC。

2023年廣東省佛山四中中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）

1.（3分）0,-1,-1,&這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

2

A.-1B.-XC.0D.V2

2

【分析】正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而

小.

【解答】解：；-l<-2<0<我,

2

二最小的數(shù)是-1.

故選：A.

2.（3分）如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，則與“學(xué)”字相對(duì)的是（）

【分析】根據(jù)正方體的平面展開(kāi)圖找相對(duì)面的的方法，同層隔一面判斷即可.

【解答】解：在該正方體中，與“學(xué)”字相對(duì)的面所寫(xiě)的漢字是：心.

故選:B.

3.（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出n的近似值為空■,它與n的誤差小于0.0000003.

113

將0.0000003用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.3X10-7B.0.3X10-6C.3X106D.3X107

【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為aX10,與較大

數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)

字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法可以表示0.0000003得：3X10"；

故選：A.

4.（3分）不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球，3個(gè)綠球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)

摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是（）

A.AB.Ac.AD.3

4324

【分析】直接由概率公式求解即可.

【解答】解：從不透明的袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率匙L口，

1+34

故選：A.

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.B.x''x'—lx'C.（x5）2=/D.2^

【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及累的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)基的乘除運(yùn)算法則分

別計(jì)算得出答案.

【解答】解：A、2?+）=3/，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、x3,x3=x6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、（金）2=”，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、2x7-?Jt5=2x2,正確.

故選：D.

6.（3分）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在兩條平行線a、b上，已知42=35°,則N1的度

數(shù)為（）

【分析】根據(jù)/4=90°,Z2=350求出N3的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/1=/3,

代入即可得出答案.

【解答】解：如圖：

,23=180°-90°-35°=55°,

'：a//b,

二/1=/3=55°.

故選：C.

7.（3分）如圖，在△A8C中，ZBAC=50°,NC=25°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角

度（0°<a<180°）得到△%￡）￡.若。E〃A8,貝ija的值為（）

E

A.65°B.75°C.85°D.95°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NA8C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出NED4=NA3C=120°,根

據(jù)平行線的性質(zhì)求出NOA8即可.

【解答】解：在5c中，ZBAC=50°,ZC=25°,

???NA8C=1800-NBAC-NC=180°-50°-25°=105°,

??,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角度(0<a<180°)得至Ij/XADE,

.??N4OE=NABC=105°,

*：DE〃AB,

???NADE+ND48=180°,

：.ZDAB=\S0°-ZADE=15°,

，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是75°,

故選:B.

8.(3分)點(diǎn)A(1,ji),B(3,")是雙曲線y」上(k<0)上的兩點(diǎn)，那么yi，”的大小

X

關(guān)系是()

A.y\>yiB.y\=yiC.yi<yiD.不能確定

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【解答】解：-：k<0,

...雙曲線y1"(kCo)在第二、四象限，

X

???在第四象限，y隨X的增大而增大，

?.,點(diǎn)A(1,yi),B(3,72)是雙曲線y工.(k<0)上的兩點(diǎn)，且1<3,

x

?'?yi<y2-

故選：C.

9.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在)，軸正半軸上，?！?

經(jīng)過(guò)4,B,O,C四點(diǎn)，NACO=120°,48=4,則圓心點(diǎn)。的坐標(biāo)是()

A.(V3,1)B.(-V3,1)C.(-1,M)D.(-2,2V3)

【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NA8O=60°,再根據(jù)圓周角定理得到AB為

。。的直徑，則。點(diǎn)為A8的中點(diǎn)，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到08=2,

04=蓊，所以A(-2V3,0),B(0,2),然后利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到。點(diǎn)

坐標(biāo).

【解答】解：...四邊形ABOC為圓的內(nèi)接四邊形,

AZABO+ZACO=iSOQ,

，NABO=180°-120°=60°,

VZAOB=90°,

為的直徑，

二。點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

在RtZ\ABO中，NA8O=60°,

.?.O8=LB=2,

2

.\OA=y/3OB=2>/3

(-2V3,0),H(0,2),

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(-5巧，1).

故選：B.

10.(3分)如圖，四邊形ABCZ)是邊長(zhǎng)為2cm的正方形，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為邊AZ),C。中點(diǎn)，

點(diǎn)。為正方形的中心，連接OE,OF,點(diǎn)尸從點(diǎn)E出發(fā)沿E-O-F運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8出

發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度均為15而，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為$連接BP,PQ,ABP。的面積為Sc”,，下列圖象能正確反映出S與f的函數(shù)關(guān)

系的是()

【分析】分OWrWl和l<fW2兩種情形，確定解析式，判斷即可.

【解答】解：當(dāng)0WW1時(shí),

???正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為正方形的中心，

直線EO垂直BC,

.?.點(diǎn)P到直線BC的距離為2-t,BQ=t,

當(dāng)1V/W2時(shí),

?.,正方形A8CO的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為邊43,C。中點(diǎn)，點(diǎn)。為正方形的中心,

直線。尸〃BC,

...點(diǎn)尸到直線BC的距離為1,BQ=t,

故選

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.）

11.（3分）函數(shù)v=2的自變量x的取值范圍是x#3的一切實(shí)數(shù)

x-3

【分析】根據(jù)分式的意義的條件：分母不等于0,可知：X-3W0,解得X的范圍.

【解答】解：x-3W0,

解得：#3.

12.（3分）計(jì)算：f1）T-（兀奇。

【分析】分別根據(jù)零指數(shù)暴，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則

求得計(jì)算結(jié)果

【解答】解：原式=2-1

=1.

故答案為：1.

13.（3分）若a,b為實(shí)數(shù)，且滿足|“+20|+也-23=0,則的值為3.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出4、6的值，代入所求代

數(shù)式計(jì)算即可.

【解答】解：?.%,〃為實(shí)數(shù)，且滿足|〃+20|+詬函=0,|a+20|20,yb-23答0,

."20=0,6-23=0,

解得：a=-20,b=23,

：.a+b^-20+23=3.

故答案為：3.

14.（3分）如圖，已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=l：2,如果它把物體送到離地面

10米高的地方，那么物體所經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)10A后一米.

【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案.

.?.1.—-A--E-二--1,

BE2

.,.BE=20米，

在RtzviBE中，AB=VAE2+BE2=IOV5（米），

故答案為：1道.

15.（3分）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，HAE±BE

【分析】由知點(diǎn)E在以AB為直徑的半。。上，連接CO交。。于點(diǎn)E',當(dāng)點(diǎn)E位于

點(diǎn)E'位置時(shí)，線段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案.

...點(diǎn)E在以AB為直徑的半上，

連接C。交。。于點(diǎn)E',

當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)E'位置時(shí)，線段CE取得最小值，

'：AB=2,

：.OA=OB=OE'=1,

；BC=3,

oc=VBC2-tOB2=V32+12=>^'

則Ce=OC-OE'=VIo-1.

故答案為：J記-1.

三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題8分，共24分.）

‘5x>3x-l

16.（8分）解不等式組：［x+2^x-5-

__2_6-

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式5x〉3x-1得：x^-1,

2

解不等式三2_2〈三■得：x<3,

36

則不等式組的解集為-2Wx<3.

2

17.（8分）目前我市“校園手機(jī)”現(xiàn)象越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注，針對(duì)這種現(xiàn)象，某校初三

（3）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)隨機(jī)調(diào)查了若干名家長(zhǎng)對(duì)“中學(xué)生帶手機(jī)的”的態(tài)度（態(tài)度

分為：A.無(wú)所謂；B.基本贊成；C.贊成；D.反對(duì)）.并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線

統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2（不完整）.請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

------------------!_?

BC。態(tài)度

（1）求出圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)為度，并將圖1補(bǔ)充完整；

（2）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)該校11000名中學(xué)生家長(zhǎng)中持反對(duì)態(tài)度的人數(shù).

【分析】（1）根據(jù)選擇B的人數(shù)和B所占的百分比，可以求得此次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了

多少名中學(xué)生家長(zhǎng)；根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)和總?cè)藬?shù)可以得到選擇4和C的人數(shù)，然

后即可計(jì)算出圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)，并將圖1補(bǔ)充完整；

（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出我校11000名中學(xué)生家長(zhǎng)中有多少名家長(zhǎng)持

反對(duì)態(tài)度.

【解答】解：（1）404-20%=200（名），

選擇A的學(xué)生有：200X15%=30（人），

選擇C的學(xué)生有：200-30-40-120=10（人），

圖1

圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)為：360°X」2_=18°,

200

即圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù)為18°,補(bǔ)充完整的圖1如右圖所示;

（2）11000X60%=6600（名），

即我校11000名中學(xué)生家長(zhǎng)中有6600名家長(zhǎng)持反對(duì)態(tài)度.

18.(8分)如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,C￡?_LAB于。.

（1）尺規(guī)作圖：作NCBA的角平分線，交CD于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫(xiě)

作法）；

(2)若NBAC=46°,求/CP。的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可;

（2）求出/ABQ,ZDPB,可得結(jié)論.

【解答】解：⑴如圖，8Q即為所求;

(2)VZACB=90°,/B4C=46°,

.,.ZCBA=44°,

?.?8。平分/（7A1,

.'.ZABQ^lzCBA-22°,

'：CD±AB,

：.ZBDC^90°,

:.NDPB=90°-22°=68°,

:./CPQ=4DPB=68°,

即NCPQ的度數(shù)為68°.

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分.）

19.（9分）經(jīng)開(kāi)區(qū)某中學(xué)計(jì)劃舉行一次知識(shí)競(jìng)賽，并對(duì)獲獎(jiǎng)的同學(xué)給予獎(jiǎng)勵(lì).現(xiàn)要購(gòu)買(mǎi)甲、

乙兩種獎(jiǎng)品，已知1件甲種獎(jiǎng)品和2件乙種獎(jiǎng)品共需40元，2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共

需70元.

（1）求甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)；

（2）根據(jù)頒獎(jiǎng)計(jì)劃，該中學(xué)需甲、乙兩種獎(jiǎng)品共60件，且甲種獎(jiǎng)品不少于乙種獎(jiǎng)品的一

半，應(yīng)如何購(gòu)買(mǎi)才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用.

【分析】（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)“I件甲種獎(jiǎng)品和2

件乙種獎(jiǎng)品共需40元，2件甲種獎(jiǎng)品和3件乙種獎(jiǎng)品共需70元”，即可得出關(guān)于x,y的二

元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)；

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品，"件，則購(gòu)買(mǎi)乙種獎(jiǎng)品（60-〃?）件，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品不少于乙

種獎(jiǎng)品的一半，即可得出關(guān)于，〃的一元一次不等式，解之即可得出〃?的取值范圍，設(shè)該

中學(xué)購(gòu)買(mǎi)60件獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w元，利用總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可得出卬關(guān)于相的函數(shù)關(guān)

系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題.

【解答】解：（1）設(shè)甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，

依題意得：卜+2y=40,

I2x+3y=70

解得：（x=20.

ly=10

答：甲種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元，乙種獎(jiǎng)品的單價(jià)為10元.

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品小件，則購(gòu)買(mǎi)乙種獎(jiǎng)品（60-〃?）件，

依題意得：（60-m）,

2

解得：,w220.

設(shè)該中學(xué)購(gòu)買(mǎi)60件獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為w元，則w=20m+10（60-M）=10m+600,

V10>0,

卬隨的增大而增大，

.?.當(dāng)m=20時(shí)，卬取得最小值，最小值=10X20+600=800,止匕時(shí)60-,"=40.

答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品20件、乙種獎(jiǎng)品40件時(shí)總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為800元.

20.（9分）如圖，AC為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E,尸分別在AS,ADt,AE=AF,

連接E尸，ACLEF.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）連接80交AC于點(diǎn)O,若E為A8中點(diǎn)，8/）=4,tan/ABD^，求OE的長(zhǎng).

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得NCA￡>=NAC8,再證/8AC=ND4C,得△4BC

為等腰三角形即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得。4=0C,OB=OD=BD=2,ACLBD,再由銳角三角函數(shù)定義得

OA=XOB=\,則然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論.

2

【解答】(1)證明：?；AE=AF,

NAEF=NAFE,

'：AC±EF,

：.NBAC=ZDAC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.ZCAD^ZACB,

：.ZBAC=ZBCA,

.?.△ABC為等腰三角形，

：.BA=BC,

四邊形A3C￡)是菱形；

?.,四邊形A8CQ是菱形，80=4,

：.OA=OC,0B=0D=LBD=2,AC1.BD,

2

AZAOB=90°,

'：tanZABD=^=^,

OB2

.'.OA=—OB—l,

2

???AB=VOA2-K)B2=Vl2+22=娓'

若E為AB的中點(diǎn)，

貝IJOE=」AB=返.

22

21.(9分)如圖，在矩形O4BC中，0A=3,AB=4,反比例函數(shù)y=&(卜〉0)的圖象與

矩形兩邊48、BC分別交于點(diǎn)。、點(diǎn)E,且8D=2AD

(1)反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)P是線段0C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使NAPE=90°?若存在，求出此

時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

%

PCx

【分析】（1）由矩形。ABC中，AB=4,BD=2AD,可得349=4,即可求得4）的長(zhǎng)，然

后求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求得人的值；

（2）首先假設(shè)存在要求的點(diǎn)P坐標(biāo)為（相，0）,OP=in,CP=4-m,由NAPE=90°,

易證得△AOPsapcE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得膽的值，繼而求得此

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：（1）；AB=4,BD=2AD,

：.AB=AD+BD^AD+2AD^3AD=4,

：.AD=^-,

3

又：04=3,

：.D（A,3）,

3

?.?點(diǎn)。在雙曲線y=K上，

X

"=_ix3=4,

3

?*.y=—；

x

（2）假設(shè)存在要求的點(diǎn)尸坐標(biāo)為Gn,0）,0P=m,CP=4-m.

?.?/APE=90°,

AZAPO+ZEPC=90°,

又,.?/APO+NOAP=90°,

NEPC=ZOAP,

又,.,/AOP=/PCE=90°,

△AOPsapcE,

??.-O-A~-O-P-,

PCCE

??--3--二—m，

4-m1

解得："2=1或團(tuán)=3,

，存在要求的點(diǎn)尸，坐標(biāo)為（1,0）或（3,0）.

五、解答題(三)(本大題共2小題，每小題12分，共24分.)

22.(12分)如圖，A8是。。的直徑，弦COLAB,垂足為〃，連接AC,過(guò)俞上一點(diǎn)E作EG

〃AC交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AE交C￡＞于點(diǎn)F,且EG=FG,連接CE.

(1)求證：AECFS^GCE；

(2)求證：EG是。。的切線；

(3)延長(zhǎng)交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若tanNG=3,AH=3,求EM的值.

【分析】(1)由AC〃EG,推出NG=/ACG,由ABLCO推出第=/，推出NCEF=

ZACD,推出/G=/CER由此即可證明；

(2)欲證明EG是。。的切線只要證明EGLOE即可；

(3)連接0C.設(shè)。0的半徑為人在RtZ\OCH中，利用勾股定理求出r,證明△AHCs4

MEO,可得迎=思，由此即可解決問(wèn)題.

EM0E

：.ZG=ZACG,

"：ABLCD,

???AD=AC，

AZCEF=ZACD,

:.NG=NCEF,

VZECF=/ECG,

:.△ECFs'CE.

(2)證明：如圖2中，連接。底,

圖2

■:GF=GE,

：./GFE=NGEF=NAFH,

?：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

VZAFH+ZFAH=90°,

：.ZGEF+ZAEO=90°,

AZGEO=90°,

.\GE±OE,

是。。的切線.

圖3

在RlZ\AHC中，tan/AC”=tanNG=^,

HC

V>4/7=3,

:?HC=4.

在RtZV/OC中，VOC=r,0H=r-3,HC=4,

(r-3)2+42=，,

??25?r-

6

■:GM〃kC,

：.ZCAH=ZM,

?；NOEM=NAHC,

：.XAHCs^MEO,

?AH_HC

EMOE

._3__

"EM~25)

V

；?EM=^-

o

23.(12分)如圖，已知拋物線y=ax24x+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),8(1,0),與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式：

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。使。8+QC最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)尸為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PO_L4C,垂足為點(diǎn)。，連接PC,當(dāng)APCD

(2)作點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B',連接B'C交對(duì)稱軸于一點(diǎn)即為Q；

(3)當(dāng)與△ACO相似時(shí)，則△PCOs/^CAO或△PCOs/^ACO,故分分類討論即

可：①若△PCDsaCAO,則NPCC=NCA。，可推出點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相

同，由點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，得關(guān)于x的一元二次方程，求解并作出取舍則可

得答案；②若△PC￡>S/\ACO,則/PCQ=NAC。，F(xiàn)2=里，過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線，交

AOC0

CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)”，判定△GACSZ\PQC,/\GHA^/\AOC,

由相似三角形的性質(zhì)得比例式，解得點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而可得直線CG的解析式，求得直線

CG與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入直線CG的解析式求得其縱坐標(biāo)，即為此時(shí)點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【解答】解：(1)?拋物線產(chǎn)ar2-與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),8(1,0),

'3

16a--X(-4)+c=0

,,,3