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文檔簡介
2022年山東泰安市高考數(shù)學一模試卷
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一
項是符合題目要求的。
1.(5分)已知復數(shù)z滿足方程紀匚=2?為虛數(shù)單位),則5=()
Z
A11.D11.11.n11.
A.-H—iD.----------1C.---1—iU.------1
22222222
2.(5分)已知集合A={x[12-X-2..0},8={x|y=則AUB=()
A.RB.[I,+oo)C.(-oo,,+oo)D.(-oo,,
+8)
3.(5分)下列選項中,〃是q的必要不充分條件的是()
A.p:a>\f4:/0)=108.13>0,。,1)在(0,+00)上為增函數(shù)
B.p.a>\,b>\q:/(工)=優(yōu)一伙。>0,。工1)的圖象不過第二象限
C./?:%..2且y..2,q:f+y2.4
D.p:a+c>b+d,q\a>bh.c>d
22
4.(5分)若雙曲線與-4=l(a>0S>0)的一條漸近線被圓/+/-4),+2=0所截得的弦
ab
長為2,則雙曲線。的離心率為()
A.x/3B.—C.2D.&
3
5.(5分)某食品保鮮時間y(單位:小時)與儲臧溫度x(單位:。C)滿足函數(shù)關(guān)系
y=eg〃(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,6為常數(shù)).若該食品在0°C的保鮮時間是192
小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33°C的保鮮時間是()
A.16小時B.20小時C.24小時D.28小時
6.(5分)已知sing-a)=;,則sin(二一2a)=()
7771
C+
A.8-B.8--8-D.8-
7.(5分)已知拋物線。:>2=2〃兀(〃>0)的焦點為尸,點加在拋物線。上,射線R0與y軸
交于點A(0,2)與拋物線C的準線交于點N,向0=(而河,則p的值等于()
A.-B.2C.-D.4
84
8.(5分)已知數(shù)列僅“}是首項為“,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{2}滿足d=匕”.若
a“
對任意的〃eN*,都有..年成立,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.[-6,-5]B.(-6,-5)C.[-5,-4]D.(-5,-4)
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合
題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。
9.(5分)某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位:噸)與需求某種材料y(單位:噸)之間
的相關(guān)關(guān)系,在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示:
X3467
y2.5345.9
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程S,=0.7x+a,則以下正確的是()
A.變量x與y正相關(guān)
B.y與x的相關(guān)系數(shù)r<0
C.a=0.35
D.產(chǎn)量為8噸時預測所需材料約為5.95噸
10.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(0x+s)(0>O,0<乃)將y=f(x)的圖象上所有點向右平
移笄個單位長度,然后橫坐標縮短到原來的;倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖
象.若g(x)為偶函數(shù),且最小正周期為則下列說法正確的是()
A.y=/(x)的圖象關(guān)于哈,0)對稱
B.f(x)在(0,葛)上單調(diào)遞減
C.g(x)...g的解集為仁+自,(+4],k&Z
D.方程/(》)=聯(lián)當在((),女)上有且只有兩個相異實根
24
11.(5分)如圖,在直三棱柱ABC-ASG中,AC=BC=\,AA,=2,。是棱A4,的中點,
DC,1BD,點E在網(wǎng)上,且BB、=4BE,則下列結(jié)論正確的是()
A.直線£>G與3c所成角為90。
B.三棱錐£>-BCC的體積為:
C.CE_L平面BCQ
D.直三棱柱ABC-4與G外接球的表面積為6萬
12.(5分)已知函數(shù),(x)=匚77’“°,g(x)=kx-k,keR,則下列結(jié)論正確的
/nx+x-1,x..l
是()
A./(幻在(0,2)上單調(diào)遞增
B.當左=2時,方程/(x)=g(x)有且只有3個不同實根
4
C./(x)的值域為[-1,+O0)
D.若對于任意的xeR,都有(x-l)(/(x)-g(x)),,0成立,則ke[2,+oo)
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.(5分)在(l-x)4(2x+l)5的展開式中,含產(chǎn)的項的系數(shù)是.
14.(5分)如圖,在四邊形A88中,AB=3DC,E為邊8C的中點,若=2/\方+〃4萬,
貝!IA.+ju-.
15.(5分)隨著時代發(fā)展和社會進步,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少
人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年共
有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績(滿
分100分)作為樣本,整理得到如表頻數(shù)分布表:
筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
人數(shù)51025302010
由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布其中,〃近
似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替),則
〃=—.若(7=12.9,據(jù)此估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)(結(jié)果四舍五入
精確到個位)為—.
參考數(shù)據(jù):若X~N5b°),則尸(〃_源哌〃+cr)=0.6827,PQi-2a<X?〃+2b)?0.9545,
P(N-3b<X<〃+3b)=0.9973.
16.(5分)已知匕,工是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且
?設(shè)橢圓,雙曲線的離心率分別為弓,/,則e:+e;的最小值為一.
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
一
17.(10分)在A4BC中,內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為。,b,c,且=tan3+tanA.
acos8
(1)求A;
(2)若。為8c上一點,且BC=38O=GA8,AD=3,求AABC的面積.
18.(12分)己知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,4=5,a3,%+2成等比數(shù)列.
(1)求{”“}的通項公式;
⑵設(shè)數(shù)列電}滿足”“(3%-1)=1,7;為數(shù)列電}的前"項和,求證:
19.(12分)如圖,在五面體中,已知AC_L平面BCD,ED//AC,且
AC=BC=2ED=2,DC=DB=y/3.
(1)求證:平面"E_L平面/WC;
(2)求二面角A-8E-C的余弦值.
D
20.(12分)某工廠對一批零件進行質(zhì)量檢測.具體檢測方案為:
從這批零件中任取10件逐一進行檢測,當檢測到有2件不合格零件時,停止檢測,此批零
件檢測未通過,否則檢測通過.假設(shè)每件零件為不合格零件的概率為0」,且每件零件是否
為不合格零件之間相互獨立.
(1)若此批零件檢測未通過,求恰好檢測5次的概率:
(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元,合格零件的售價為150元/件,現(xiàn)對不合格零件進
行修復,修復后合格的零件正常銷售,修復后不合格的零件以10元/件按廢品處理,若每
件零件的修復費用為20元,每件不合格零件修復后為合格零件的概率為0.8,記X為生產(chǎn)
一件零件獲得的利潤,求X的分布列和數(shù)學期望.
21.(12分)已知橢圓C:-y+方=1(。>匕>0)的左,右焦點分別為耳,尸2,上,下頂點分
別為A,B,四邊形AF;即的面積和周長分別為2和4夜.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線/:y=k(x+l)(&x0)與橢圓C交于E,F兩點,線段的中垂線交y軸于M點,
且為直角三角形,求直線/的方程.
22.(12分)已知函數(shù)f(x)=a/心+l)+:-x,其中,。為非零實數(shù).
(1)當4=-1時,求/(X)的極值;
(2)討論/‘(X)的單調(diào)性;
(3)若/'(x)有兩個極值點X],x2,且為<々,求證;/(-%,)+/(%2)>%).
2022年山東泰安市高考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一
項是符合題目要求的。
1.(5分)已知復數(shù)z滿足方程山=4?為虛數(shù)單位),則2=()
Z
11
A-D11.11.11.
A.—F—zD.----------1C.---\--iU.------1
22222222
【解答】解:由紀〕=i,得z+i=zi,
z
._T+_1i
"Z"7^-(l-z)(l+z)~~Y~2~2?
則
22
故選:A.
2.(5分)已知集合A={x|f一x_2..O},3={x[y=J』},則)
A.RB.[1,+oo)C.(-oo,,+00)D.(-oo,-1]|J[O,
+8)
【解答】vA=1x|x2-x-2..01,B={x|y=\Jx-l},
二.A={x|用,—1或x..2},B={x\x..\}>
6=(-8,TlJU,+00)-
故選:C.
3.(5分)下列選項中,〃是q的必要不充分條件的是()
A.p\a>\,q:/(%)=log”0,〃Hl)在(。,+°°)上為增函數(shù)
B.p\a>\,b>\夕:,f(x)=a"-仇。>0,。wl)的圖象不過第二象限
C.p:x..2且y..2,q:Y+y2.4
D.p:a+c>b+d,且c>d
【解答】解:若〃是<7的必要不充分條件,則q=>p,〃不能推出外
A:p:a>\,夕:/a)=108”道〃>0,。。1)在(0,+00)上為增函數(shù),則a>l,此時〃04,不滿
足題意;
B:p:a>T,b>\,q"(")="-仇。>0,。Hl)的圖象不過第二象限,則a>l,h.A,此時
pnq,,不能推出〃,不滿足題意;
C:p:x.2且y..2,q:x2+y2..4,則〃二,,q不能推出p,不滿足題意;
D:p:a+c>b+d,q:a>bS.c>d,此時4=〃,〃不能推出q,符合題意.
故選:D.
22
4.(5分)若雙曲線二-與=1(a>0力>0)的一條漸近線被圓^+尸-4),+2=0所截得的弦
a~h~
長為2,則雙曲線C的離心率為()
A.GB.空C.2D.y/2
3
22
【解答】解:雙曲線「—當=1(。>0力>0)的一條漸近線不妨為:bx+ay=0,
a-b-
圓/+9―4x+2=0即為(>一2)2+爐=2的圓心(0,2),半徑為四,
雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2-4y+2=0所截得的弦長為2,
可得圓心到直線的距離為:萬斤=12a,
解得:"二々J=],
C
由e=£,
a
可得/=4,即e=2.
故選:C.
5.(5分)某食品保鮮時間y(單位:小時)與儲臧溫度x(單位:。C)滿足函數(shù)關(guān)系
y=*,〃(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,6為常數(shù)).若該食品在0°C的保鮮時間是192
小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33°C的保鮮時間是()
A.16小時B.20小時C.24小時D.28小時
【解答]解:y=*+"(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,匕為常數(shù)).
當x=0時,e"=192,
當x=22時才從"=48,
481
/.e~~==—
1924
2
eh=192
當x=33時,*"人=(*"另?(/)=(夕x192=24
故選:C.
6.(5分)已知sing-。)=;,則sin弓一2a)=()
7771
A.-B.~C.±-D.--
8888
【解答】解:因為sing-a)=cosg-g-2)]=85。+2)=;,
所以sin(工-2a)=cos[—-2<z)]=cos2(-+a)=2cos2(-+a)-l=2x(-)2-1=--.
6266648
故選:B.
7.(5分)已知拋物線。:>2=2〃式〃>0)的焦點為尸,點用在拋物線。上,射線R0與y軸
交于點40,2)與拋物線C的準線交于點N,麗麗,則p的值等于()
11
2C
A.8-B.4-D.4
【解答】解:依題意尸點的坐標為(“,0),
2
設(shè)M在準線上的射影為K
由拋物線的定義知IMFR|,
...而=立麗…也=立,可得也=好,
5|MN|5\MN\5
則|MV|:|KM|=2:1,
4
—=—2,求得p=2,
P
故選:B.
8.(5分)已知數(shù)列他“}是首項為“,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{5}滿足"=匕幺.若
a?
對任意的“eN*,都有如.用成立,則實數(shù)a的取值范圍是()
A.[-6,-5]B.(-6,-5)C.[-5,-4]D.(-5,-4)
【解答】解:根據(jù)題意:數(shù)列{〃〃}是首項為〃,公差為1的等差數(shù)列,
所以?!?〃+。一1,
由于數(shù)列{〃}滿足b?=匕"=—+1,
a?a?
所以對任意的”eN都成立,
ana5
故數(shù)列單調(diào)遞增,且滿足%<0,%>0,
%=5+〃-1<0
所以
4=6+〃一1>0
解得-5<a<-4.
故選:D.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合
題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。
9.(5分)某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位:噸)與需求某種材料y(單位:噸)之間
的相關(guān)關(guān)系,在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示:
X3467
y2.5345.9
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程$=0.7x+a,則以下正確的是()
A.變量x與y正相關(guān)
B.y與x的相關(guān)系數(shù)r<0
C.。=0.35
D.產(chǎn)量為8噸時預測所需材料約為5.95噸
【解答】解:對于A,表中變量y隨x的增大而增大,是正相關(guān)關(guān)系,選項A正確;
對于3,因為y與x是正相關(guān),所以相關(guān)系數(shù)廠>0,選項5錯誤;
對于C,計算斤='x(3+4+6+7)=5,y=-x(2.5+3+4+5.9)=3.85,
44
代入回歸直線方程得a=3.85-0.7x5=0.35,所以選項C正確;
對于。,由題意得回歸直線方程$=0.7x+0.35,
x=8時,9=0.7x8+0.35=5.95,
即產(chǎn)量為8噸時預測所需材料約為5.95噸,選項。正確.
故選:ACD.
10.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(<yx+夕)(<y>0,0<萬)將y=f(x)的圖象上所有點向右平
移看個單位長度,然后橫坐標縮短到原來的;倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖
象.若g。)為偶函數(shù),且最小正周期丐,則下列說法正確的是()
A.y=/(x)的圖象關(guān)于(^,0)對稱
B./(x)在(0,言)上單調(diào)遞減
c.g(初」的解集為任+竺,。竺1,keZ
26232
D.方程/(x)=g(?在(0牛上有且只有兩個相異實根
【解答】解:將y=/(x)的圖象上所有點向右平移,個單位長度,
得到y(tǒng)=sin[3(x-,)+e)]=sin((yx-,o+e),然后橫坐標縮短到原來的;倍(縱坐標不
變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象.
2冗
即g(x)=sin(2d>x--co+(p),
若g(x)的最小正周期為1,則行=g,得69=2,此時g(x)=5也(4大一日+。),
?.?g(x)為偶函數(shù),
——44+(p=k幾+上TC,keZ,
32
即夕=左)H----,攵£Z,
,:3<中<冗,/.當k=-\時.,(p=--
g(x)=sin(4x----+:—)=sin(4x——)=-sin(---4x)=-cos4x,
/(x)=sin(2x+--),
6
則當x后時,2x嗯=2弋笠=兀,則/(x)的圖象關(guān)于哈,0)對稱,故A正確,
當、€(0,“),則2xe(0,紅),2x+—G(—,—),此時f(x)不是單調(diào)函數(shù),故3錯誤,
126663
由g(x)得一cos4x」得即cos4K,-,,即2人乃+旦觸x2左1+9,keZ、得
22233
—k^+—^)ic—k7i+—,keZ,故C正確,
2623
由/W=g(—)得sin(2x+—)=-cos2x=sin(2x-—),
262
則2x+2=2工一二+2攵乃①或2x+且=4—(2x—工)+2攵萬,②
6262
得①不成立,
冗1
由②得x=——v—kTiykeZ,
62
,.,XG(0,—),
4
?,?左=0時,x=—9
6
左=1時,x=—,
3
%=2時,8=衛(wèi),則在(0,')上有且只有3個相異實根,故O錯誤,
64
故選:AC.
11.(5分)如圖,在直三棱柱ABC—44G中,AC=BC=\,A4,=2,。是棱A4,的中點,
OC—BQ,點£在網(wǎng)上,且BB]=4BE,則下列結(jié)論正確的是()
A.直線£>G與8c所成角為90。
B.三棱錐£>-8CG的體積為:
C.CE_L平面BCQ
D.直三棱柱ABC-4與£外接球的表面積為
【解答】解:對于A,在矩形ACGA中,因為抽=2,AC=\,。為棱A4,的中點,所以
CD=C、D=4i,
貝|JC£>2+GO2=CG2,所以CD_LG。,又因為CQJLBO,BD^\CD=D,所以CQJ.平
面BC£>,則GOJ.5C,
即直線G。與BC所成角為90。,故A正確;
對于8,在直三棱柱A6C-ABC|中,CCt1BC,又D”BC,DC.QCC,=C1(
所以8c,平面OCG,又£>Cu平面OCG,所以Z)C_L8C,
則%-see,=%-BCD=gxgx夜xlx夜=(,故5正確;
對于C,由他可知,AC,BC,CC兩兩垂直,如圖,以C為原點建立空間直角坐標系,
則8(0,1,0),D(l,0,1),E(0,1,g),則在=(0,1,;),BD=(1,-1,1),
所以屈方=-1+'=—'*0,
22
則CE,班>不垂直,所以CE不垂直平面3G。,故C錯誤;
對于。,連接42,則線段A8即為直三棱柱ABC-A8cl外接球的直徑,
則48=7171^=遙,所以外接球的半徑R=當,
所以直三棱柱ABC-A的外接球表面積為4萬/?2=6萬,故。正確;
故選:ABD.
12.(5分)已知函數(shù)/(x)=<1一4“*<1,g(x)=kx-k
,ksR,則下列結(jié)論正確的
Inx-vx-\,x.A
是()
A./(x)在(0,2)上單調(diào)遞增
B.當欠=9時,方程f(x)=g(x)有且只有3個不同實根
4
C./(尢)的值域為[-1,+oo)
D.若對于任意的xwH,都有(x-l)(/(x)-^(x))?0成立,則ke[29+8)
【解答】解:對于4"*)=,七一1'"〈I
/nx+x-1,x..l
(3)2
因為片)=*T4吟=吟+"=*+小
4
所以一/(》=i一歷]>0,所以/?(1)>/§),
所以/(x)在(0,2)上不是增函數(shù).故A錯誤;
X"32)
—T=」T)或.+”T=—T)
Ix<1x.l
x25
由,二二一|二/一1)可解得:.J.,
i3
x<1
對于,,"+xT=*T),顯然x=l代入方程成立,所以x=l是方程的根,
X..1
當x..l時,記〃(x)=/nx+x-1--(x-1)=/nr-—(x-1),
44
所以令〃(x)>0,解得:1cx<4;令〃(x)<0,解得:x>4;
所以6(x)在(1,4)上單增,在(4,+oo)上單減,
所以〃(4)>h(1)=0,
所以〃(x)在(1,4)上沒有零點;
11Q3
而/?(x)在(4,+co)上單減,且〃(4)>0>h(e,)=Ine3—(e3-1)=-----<0,
44
所以在(4,Ko)上有且只有一個零點.
綜上所述:當A=3時,方程/(x)=g(x)有且只有3個不同實根,故B正確;
-----1,x<1
對于C:對于Cx)=,1-X
lnx+x-\,x.A
當x..1時,/(x)=/nr+x-1,/r(x)=—+1>0,
所以f(x).J(1)=/nl+l-l=O;
當XV1時,f(x)=—---1,ff(x)=――?
令r(x)>0,解得:Ovxvl;令,r(x)<0,解得:x<0;
所以/(x)在(-00,0)上單減,在(0,+oo)上單增,
所以/。)../(。)=0-1=-1;
故/(x)的值域為[-1,+oo)成立,故C正確;
對于。:對于任意的xwA,都有(x-l)(/(x)-g(x)),,0成立,
X<1
X..1
所以f及恒成立.
-----
l-x
X<\2
若丁恒成立,則有%...——........—U<1).
-----(l-x)(x-l)x-1
A-x
令‘⑴=n―J—r—一二a<1),只需七?八X)M?
(l-x)(x-l)x-1
令m=x-1,則6vO,
(機+1)21.13八/I3、25
貝miiljy=---5------=-(-2-)*■D=T—1"-)+—,
-mmmmml4
所以5I,即北+
X..1
若恒成立,
lnx+x-\..k(x-\)
當x=l,無論上取何值,不等式均成立,所以AwR.
當x>l,則有
x-\
令P(x)=…上巴+l(x>1),只需k..p(x\nax.
x-1
—(x-1)-Inx1----Inx
"0)=------;—=--——
(x—1)~(工一1)~
t己/n(x)=1----Inx?則〃?x)=”——=-<0,
xxxx~
所以砥%)=1-工-阮¥在。,+00)上單減,
x
所以m(x)<m(1)=0,
即p(x)<0,
所以P(x)=..凡+1在(1,+00)上單減,
X-1
所以p(x)=lim(-^-+1)=lim"詞+1=1+1=2,
皿,田X-],5(X7),
所以k.2.
綜上所述:k..2.故O正確.
故選:BCD.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.(5分)在(l-x)4(2x+iy的展開式中,含?的項的系數(shù)是6.
【解答】解:二項式可以化為(1-4》+6/-4/+/)(2》+1)5,
則二項式的展開式中含V的項為1XC;(2X)2-4xxC;(2x)‘+6Wx點(2x)°=,
所以V的系數(shù)為6,
故答案為:6.
14.(5分)如圖,在四邊形中,AB=3DC,E為邊BC的中點,若荏=%A月+/d萬,
【解答】解:連接AC,因為E是的中點,
所以AE=g(A豆+蔗),
又因為4乙=4萬+£>乙=4方+1與,
3
所以在=2A2+LAZJ,
32
71
即;1=』,A=l,
32
,7
4+〃=—?
6
故答案為:—.
6
15.(5分)隨著時代發(fā)展和社會進步,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少
人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年共
有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績(滿
分100分)作為樣本,整理得到如表頻數(shù)分布表:
筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
人數(shù)51025302010
由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布Na。?),其中,〃近
似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替),則〃=
73.若b=12.9,據(jù)此估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)(結(jié)果四舍五入精確
到個位)為一.
參考數(shù)據(jù):若X~NQid),則P(ju-品考〃+cr)a0.6827,P(〃-2a<X?〃+2a)?0.9545,
P1/j-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.
45x5+55x10+65x25+75x30+85x20+95x10力
【解答】解:由題意知//?-------------------------------------------=73,
100
1_M
易知P(X>85.9)=P(X>73+12.9)=——=0.15865,
故該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)大約為10000x().15865B1587.
故答案為:73,1587.
16.(5分)已知尸「馬是橢圓和雙曲線的公共焦點,。是它們的一個公共點,且
設(shè)橢圓,雙曲線的離心率分別為q,%,則e;+e;的最小值為_1+乎
【解答】解:由題意,可設(shè)橢圓的長半軸為“,雙曲線的實半軸為4,
由橢圓和雙曲線的定義可知,PFt+PF2=2a,,PFt-PF2=2a2,
則PFX=ciy+a2,PF2=a}—a2,
又/F'PF2=60。,由余弦定理可得(2c)2=(4+生)2+(q-生產(chǎn)一2(4+a2)(a1-?2)cos60°,
1717
整理得4c2=/+342,即3+2=4,則」^+二1,
e~e;4e「4e;
所以e;+e;=(:、+一3)(6;=1+4■,當且僅當'=""時,等號
4e}4e2~2e}2e22ete2
成立,
故答案為:1+立.
2
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(10分)在&48C中,內(nèi)角A,3,。所對的邊分別為。,人,c,且」一=tanB+tanA.
acosB
(1)求A;
(2)若。為8c上一點,S.BC=3BD=>/3AB,AD=3,求AABC的面積.
_A
【解答】解:(1)在AA3C中,因為二YJ=tan8+tanA,
67COSB
所以由正弦定理得:一3sinC=包£+包1,即
sinAcosJ?cos8cosA
-gsinC_sinBcosA+cossinA_sin(A+B)_sinC
———f
sinAcos8cosBcosAcos/?cosAcosBcosA
因為sinCw0,cos3w0,
所以也=—L,即tanA=-6,
sinAcosA
因為Ae(0z),
所以A=型.
3
(2)在A4BC中,因為BC=3BZ)=6AB,A=—,所以a=6c,
3
由余弦定理得:a2=b2+c2—2bccosA,BPZ?24-be-2c2=0,解得:〃=c(b=—2c舍去),
__ii2.i
因為亞=麗+麗=麗+-元=麗+-灰一通)=一通+-冠,
3333
所以4萬2=(2A月+2正)2.即32=-c2+2x-Z7CCOS—+-b2.
339939
因為。=c,所以32=?。2,解得:,2=27,
9
所以AABC的面積SMHC=;bcsinA=1x27x^=笞巨,即A4BC的面積為笞叵.
18.(12分)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{4},生=5,2q,%,牝+2成等比數(shù)列.
(1)求{4}的通項公式;
⑵設(shè)數(shù)列{2}滿足4,(3*-1)=1,7;為數(shù)列出}的前"項和,"eN*求證:7;,<log^.
【解答】解:(1)設(shè)等差數(shù)列{”“}的公差為4,
由4=5,2q,a3,%+2成等比數(shù)列,得(5+=2(5-d)(7+3d),
即7d2-6d-45=0,解得"=3或4=一”(舍去).
7
an=5+(〃—2)x3=3〃—1;
證明:(2)由〃“(3加一1)=1,得3%=—!—+1=1+3、T=3L,
3/T-I3〃-13〃-1
..3n
b?=^g-~
33〃一1
假設(shè)數(shù)列{%}的前〃項和為4,4=log,-=log.g2,則Ai=log、四二!,
...3〃+2.3〃一1.3〃+2/?
?“仆尸如丁一/明丁:姐不產(chǎn)⑵,
驗證〃=1時q,成立.
要證(〈log,也,即證7;<4,只需證
也就是證上L〈生E,即證3“<3〃+2,此式顯然成立.
3〃—13〃—1
.-.7;,<log3-^.
19.(12分)如圖,在五面體45CDE中,已知AC_L平面8C£),ED//AC,且
AC=BC=2ED=2,DC=DB=6
(1)求證:平面ABE_L平面MC;
(2)求二面角A-3E-C的余弦值.
【解答】(1)證明:取3c中點用,AB中點N,連接。M,MN,EN.
:.MNUAC且MN=>AC,
2
又DE=;AC,DEUAC,:.DEHMN,且。E=MV,
所以四邊形MNED是平行四邊形,
:.ENIIDM且EV=DW,
又ACJ■平面88,ACu平面ABC,,平面ABC_L平面88,
.DC=DB,;.DMA.BC,
又平面ABCC平面BC£)=BC,DWu平面BCD,
DM±平面ABC,EN_L平面ABC,
又ENu平面ABE,所以平面45EJL平面MC
(2)解:由(1)知,ACLBC,EN//DM且EN=DM,EN_L平面ABC,平面ABE_L
平面ABC,
以。為原點,CA,CB所在直線為x,y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(2,0,0),B(O,2,0),N(1,1,0),,
則。=(0,2,0),CW=(1,1,0),CE=(l,1,>/2),
設(shè)平面3CE的一個法向量為力=(x,y,z),
,,[ii-CE=x+y+五z=0r/-,i\x~~^r
則n《一,取11z=0,則n《,n=(-2,0,V2),
n-CB=2y=0(7=°
又AC=BC,則GV_LAB,
又平面ABCC平面ABE=/W,CNu平面ABC,
所以CN_L平面ME,即函為平面ABE的一個法向量,
\n-CN\|-2|>/3
cos(fi,CN)==
\n\\CN\~3
顯然二面角A-BE-C為銳角’故其余弦值為亨.
y
20.(12分)某工廠對一批零件進行質(zhì)量檢測.具體檢測方案為:
從這批零件中任取10件逐一進行檢測,當檢測到有2件不合格零件時,停止檢測,此批零
件檢測未通過,否則檢測通過.假設(shè)每件零件為不合格零件的概率為0.1,且每件零件是否
為不合格零件之間相互獨立.
(1)若此批零件檢測未通過,求恰好檢測5次的概率:
(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元,合格零件的售價為150元/件,現(xiàn)對不合格零件進
行修復,修復后合格的零件正常銷售,修復后不合格的零件以10元/件按廢品處理,若每
件零件的修復費用為20元,每件不合格零件修復后為合格零件的概率為0.8,記X為生產(chǎn)
一件零件獲得的利潤,求X的分布列和數(shù)學期望.
【解答】解:(1)若此批零件檢測未通過,恰好檢測5次,
則第五次檢驗不合格,前四次有一次檢驗不合格,
故恰好檢測5次的概率尸=C:x0.1x(1-0.x0.1=0.02916.
(2)由題意可得,合格產(chǎn)品利潤為70元,
不合格產(chǎn)品修復合格后利潤為50元,
不合格產(chǎn)品修復后不合格的利潤為-90元,
則X可取70,50,-90,
故尸(X=70)=0.9,
p(X=50)=0.1x0.8=0.08,
P(X=-90)=0.1x0.2=0.02,
故X的分布列為:
X7050-90
p0.90.080.02
£,(%)=70x0.9+50x0.08-90x0.2=65.2(元).
21.(12分)已知桶圓C:=+《=l(a>6>0)的左,右焦點分別為月,F(xiàn),,上,下頂點分
ab~
別為A,B,四邊形g的面積和周長分別為2和40.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線/:),=%(x+1)(%/0)與橢圓C交于E,F兩點,線段EF的中垂線交y軸于M點,
且AEMF為直角三角形,求直線/的方程.
—x2cxhx2=2
2_r
【解答】解:(1
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