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文檔簡介

2022年山東泰安市高考數(shù)學一模試卷

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的。

1.(5分)已知復數(shù)z滿足方程紀匚=2?為虛數(shù)單位),則5=()

Z

A11.D11.11.n11.

A.-H—iD.----------1C.---1—iU.------1

22222222

2.(5分)已知集合A={x[12-X-2..0},8={x|y=則AUB=()

A.RB.[I,+oo)C.(-oo,,+oo)D.(-oo,,

+8)

3.(5分)下列選項中,〃是q的必要不充分條件的是()

A.p:a>\f4:/0)=108.13>0,。,1)在(0,+00)上為增函數(shù)

B.p.a>\,b>\q:/(工)=優(yōu)一伙。>0,。工1)的圖象不過第二象限

C./?:%..2且y..2,q:f+y2.4

D.p:a+c>b+d,q\a>bh.c>d

22

4.(5分)若雙曲線與-4=l(a>0S>0)的一條漸近線被圓/+/-4),+2=0所截得的弦

ab

長為2,則雙曲線。的離心率為()

A.x/3B.—C.2D.&

3

5.(5分)某食品保鮮時間y(單位:小時)與儲臧溫度x(單位:。C)滿足函數(shù)關(guān)系

y=eg〃(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,6為常數(shù)).若該食品在0°C的保鮮時間是192

小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33°C的保鮮時間是()

A.16小時B.20小時C.24小時D.28小時

6.(5分)已知sing-a)=;,則sin(二一2a)=()

7771

C+

A.8-B.8--8-D.8-

7.(5分)已知拋物線。:>2=2〃兀(〃>0)的焦點為尸,點加在拋物線。上,射線R0與y軸

交于點A(0,2)與拋物線C的準線交于點N,向0=(而河,則p的值等于()

A.-B.2C.-D.4

84

8.(5分)已知數(shù)列僅“}是首項為“,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{2}滿足d=匕”.若

a“

對任意的〃eN*,都有..年成立,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-6,-5]B.(-6,-5)C.[-5,-4]D.(-5,-4)

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合

題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。

9.(5分)某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位:噸)與需求某種材料y(單位:噸)之間

的相關(guān)關(guān)系,在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示:

X3467

y2.5345.9

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程S,=0.7x+a,則以下正確的是()

A.變量x與y正相關(guān)

B.y與x的相關(guān)系數(shù)r<0

C.a=0.35

D.產(chǎn)量為8噸時預測所需材料約為5.95噸

10.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(0x+s)(0>O,0<乃)將y=f(x)的圖象上所有點向右平

移笄個單位長度,然后橫坐標縮短到原來的;倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖

象.若g(x)為偶函數(shù),且最小正周期為則下列說法正確的是()

A.y=/(x)的圖象關(guān)于哈,0)對稱

B.f(x)在(0,葛)上單調(diào)遞減

C.g(x)...g的解集為仁+自,(+4],k&Z

D.方程/(》)=聯(lián)當在((),女)上有且只有兩個相異實根

24

11.(5分)如圖,在直三棱柱ABC-ASG中,AC=BC=\,AA,=2,。是棱A4,的中點,

DC,1BD,點E在網(wǎng)上,且BB、=4BE,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線£>G與3c所成角為90。

B.三棱錐£>-BCC的體積為:

C.CE_L平面BCQ

D.直三棱柱ABC-4與G外接球的表面積為6萬

12.(5分)已知函數(shù),(x)=匚77’“°,g(x)=kx-k,keR,則下列結(jié)論正確的

/nx+x-1,x..l

是()

A./(幻在(0,2)上單調(diào)遞增

B.當左=2時,方程/(x)=g(x)有且只有3個不同實根

4

C./(x)的值域為[-1,+O0)

D.若對于任意的xeR,都有(x-l)(/(x)-g(x)),,0成立,則ke[2,+oo)

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.(5分)在(l-x)4(2x+l)5的展開式中,含產(chǎn)的項的系數(shù)是.

14.(5分)如圖,在四邊形A88中,AB=3DC,E為邊8C的中點,若=2/\方+〃4萬,

貝!IA.+ju-.

15.(5分)隨著時代發(fā)展和社會進步,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少

人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年共

有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績(滿

分100分)作為樣本,整理得到如表頻數(shù)分布表:

筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)51025302010

由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布其中,〃近

似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替),則

〃=—.若(7=12.9,據(jù)此估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)(結(jié)果四舍五入

精確到個位)為—.

參考數(shù)據(jù):若X~N5b°),則尸(〃_源哌〃+cr)=0.6827,PQi-2a<X?〃+2b)?0.9545,

P(N-3b<X<〃+3b)=0.9973.

16.(5分)已知匕,工是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且

?設(shè)橢圓,雙曲線的離心率分別為弓,/,則e:+e;的最小值為一.

四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在A4BC中,內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為。,b,c,且=tan3+tanA.

acos8

(1)求A;

(2)若。為8c上一點,且BC=38O=GA8,AD=3,求AABC的面積.

18.(12分)己知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,4=5,a3,%+2成等比數(shù)列.

(1)求{”“}的通項公式;

⑵設(shè)數(shù)列電}滿足”“(3%-1)=1,7;為數(shù)列電}的前"項和,求證:

19.(12分)如圖,在五面體中,已知AC_L平面BCD,ED//AC,且

AC=BC=2ED=2,DC=DB=y/3.

(1)求證:平面"E_L平面/WC;

(2)求二面角A-8E-C的余弦值.

D

20.(12分)某工廠對一批零件進行質(zhì)量檢測.具體檢測方案為:

從這批零件中任取10件逐一進行檢測,當檢測到有2件不合格零件時,停止檢測,此批零

件檢測未通過,否則檢測通過.假設(shè)每件零件為不合格零件的概率為0」,且每件零件是否

為不合格零件之間相互獨立.

(1)若此批零件檢測未通過,求恰好檢測5次的概率:

(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元,合格零件的售價為150元/件,現(xiàn)對不合格零件進

行修復,修復后合格的零件正常銷售,修復后不合格的零件以10元/件按廢品處理,若每

件零件的修復費用為20元,每件不合格零件修復后為合格零件的概率為0.8,記X為生產(chǎn)

一件零件獲得的利潤,求X的分布列和數(shù)學期望.

21.(12分)已知橢圓C:-y+方=1(。>匕>0)的左,右焦點分別為耳,尸2,上,下頂點分

別為A,B,四邊形AF;即的面積和周長分別為2和4夜.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線/:y=k(x+l)(&x0)與橢圓C交于E,F兩點,線段的中垂線交y軸于M點,

且為直角三角形,求直線/的方程.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=a/心+l)+:-x,其中,。為非零實數(shù).

(1)當4=-1時,求/(X)的極值;

(2)討論/‘(X)的單調(diào)性;

(3)若/'(x)有兩個極值點X],x2,且為<々,求證;/(-%,)+/(%2)>%).

2022年山東泰安市高考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的。

1.(5分)已知復數(shù)z滿足方程山=4?為虛數(shù)單位),則2=()

Z

11

A-D11.11.11.

A.—F—zD.----------1C.---\--iU.------1

22222222

【解答】解:由紀〕=i,得z+i=zi,

z

._T+_1i

"Z"7^-(l-z)(l+z)~~Y~2~2?

22

故選:A.

2.(5分)已知集合A={x|f一x_2..O},3={x[y=J』},則)

A.RB.[1,+oo)C.(-oo,,+00)D.(-oo,-1]|J[O,

+8)

【解答】vA=1x|x2-x-2..01,B={x|y=\Jx-l},

二.A={x|用,—1或x..2},B={x\x..\}>

6=(-8,TlJU,+00)-

故選:C.

3.(5分)下列選項中,〃是q的必要不充分條件的是()

A.p\a>\,q:/(%)=log”0,〃Hl)在(。,+°°)上為增函數(shù)

B.p\a>\,b>\夕:,f(x)=a"-仇。>0,。wl)的圖象不過第二象限

C.p:x..2且y..2,q:Y+y2.4

D.p:a+c>b+d,且c>d

【解答】解:若〃是<7的必要不充分條件,則q=>p,〃不能推出外

A:p:a>\,夕:/a)=108”道〃>0,。。1)在(0,+00)上為增函數(shù),則a>l,此時〃04,不滿

足題意;

B:p:a>T,b>\,q"(")="-仇。>0,。Hl)的圖象不過第二象限,則a>l,h.A,此時

pnq,,不能推出〃,不滿足題意;

C:p:x.2且y..2,q:x2+y2..4,則〃二,,q不能推出p,不滿足題意;

D:p:a+c>b+d,q:a>bS.c>d,此時4=〃,〃不能推出q,符合題意.

故選:D.

22

4.(5分)若雙曲線二-與=1(a>0力>0)的一條漸近線被圓^+尸-4),+2=0所截得的弦

a~h~

長為2,則雙曲線C的離心率為()

A.GB.空C.2D.y/2

3

22

【解答】解:雙曲線「—當=1(。>0力>0)的一條漸近線不妨為:bx+ay=0,

a-b-

圓/+9―4x+2=0即為(>一2)2+爐=2的圓心(0,2),半徑為四,

雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2-4y+2=0所截得的弦長為2,

可得圓心到直線的距離為:萬斤=12a,

解得:"二々J=],

C

由e=£,

a

可得/=4,即e=2.

故選:C.

5.(5分)某食品保鮮時間y(單位:小時)與儲臧溫度x(單位:。C)滿足函數(shù)關(guān)系

y=*,〃(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,6為常數(shù)).若該食品在0°C的保鮮時間是192

小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33°C的保鮮時間是()

A.16小時B.20小時C.24小時D.28小時

【解答]解:y=*+"(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,匕為常數(shù)).

當x=0時,e"=192,

當x=22時才從"=48,

481

/.e~~==—

1924

2

eh=192

當x=33時,*"人=(*"另?(/)=(夕x192=24

故選:C.

6.(5分)已知sing-。)=;,則sin弓一2a)=()

7771

A.-B.~C.±-D.--

8888

【解答】解:因為sing-a)=cosg-g-2)]=85。+2)=;,

所以sin(工-2a)=cos[—-2<z)]=cos2(-+a)=2cos2(-+a)-l=2x(-)2-1=--.

6266648

故選:B.

7.(5分)已知拋物線。:>2=2〃式〃>0)的焦點為尸,點用在拋物線。上,射線R0與y軸

交于點40,2)與拋物線C的準線交于點N,麗麗,則p的值等于()

11

2C

A.8-B.4-D.4

【解答】解:依題意尸點的坐標為(“,0),

2

設(shè)M在準線上的射影為K

由拋物線的定義知IMFR|,

...而=立麗…也=立,可得也=好,

5|MN|5\MN\5

則|MV|:|KM|=2:1,

4

—=—2,求得p=2,

P

故選:B.

8.(5分)已知數(shù)列他“}是首項為“,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{5}滿足"=匕幺.若

a?

對任意的“eN*,都有如.用成立,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[-6,-5]B.(-6,-5)C.[-5,-4]D.(-5,-4)

【解答】解:根據(jù)題意:數(shù)列{〃〃}是首項為〃,公差為1的等差數(shù)列,

所以?!?〃+。一1,

由于數(shù)列{〃}滿足b?=匕"=—+1,

a?a?

所以對任意的”eN都成立,

ana5

故數(shù)列單調(diào)遞增,且滿足%<0,%>0,

%=5+〃-1<0

所以

4=6+〃一1>0

解得-5<a<-4.

故選:D.

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合

題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。

9.(5分)某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位:噸)與需求某種材料y(單位:噸)之間

的相關(guān)關(guān)系,在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示:

X3467

y2.5345.9

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程$=0.7x+a,則以下正確的是()

A.變量x與y正相關(guān)

B.y與x的相關(guān)系數(shù)r<0

C.。=0.35

D.產(chǎn)量為8噸時預測所需材料約為5.95噸

【解答】解:對于A,表中變量y隨x的增大而增大,是正相關(guān)關(guān)系,選項A正確;

對于3,因為y與x是正相關(guān),所以相關(guān)系數(shù)廠>0,選項5錯誤;

對于C,計算斤='x(3+4+6+7)=5,y=-x(2.5+3+4+5.9)=3.85,

44

代入回歸直線方程得a=3.85-0.7x5=0.35,所以選項C正確;

對于。,由題意得回歸直線方程$=0.7x+0.35,

x=8時,9=0.7x8+0.35=5.95,

即產(chǎn)量為8噸時預測所需材料約為5.95噸,選項。正確.

故選:ACD.

10.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(<yx+夕)(<y>0,0<萬)將y=f(x)的圖象上所有點向右平

移看個單位長度,然后橫坐標縮短到原來的;倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖

象.若g。)為偶函數(shù),且最小正周期丐,則下列說法正確的是()

A.y=/(x)的圖象關(guān)于(^,0)對稱

B./(x)在(0,言)上單調(diào)遞減

c.g(初」的解集為任+竺,。竺1,keZ

26232

D.方程/(x)=g(?在(0牛上有且只有兩個相異實根

【解答】解:將y=/(x)的圖象上所有點向右平移,個單位長度,

得到y(tǒng)=sin[3(x-,)+e)]=sin((yx-,o+e),然后橫坐標縮短到原來的;倍(縱坐標不

變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象.

2冗

即g(x)=sin(2d>x--co+(p),

若g(x)的最小正周期為1,則行=g,得69=2,此時g(x)=5也(4大一日+。),

?.?g(x)為偶函數(shù),

——44+(p=k幾+上TC,keZ,

32

即夕=左)H----,攵£Z,

,:3<中<冗,/.當k=-\時.,(p=--

g(x)=sin(4x----+:—)=sin(4x——)=-sin(---4x)=-cos4x,

/(x)=sin(2x+--),

6

則當x后時,2x嗯=2弋笠=兀,則/(x)的圖象關(guān)于哈,0)對稱,故A正確,

當、€(0,“),則2xe(0,紅),2x+—G(—,—),此時f(x)不是單調(diào)函數(shù),故3錯誤,

126663

由g(x)得一cos4x」得即cos4K,-,,即2人乃+旦觸x2左1+9,keZ、得

22233

—k^+—^)ic—k7i+—,keZ,故C正確,

2623

由/W=g(—)得sin(2x+—)=-cos2x=sin(2x-—),

262

則2x+2=2工一二+2攵乃①或2x+且=4—(2x—工)+2攵萬,②

6262

得①不成立,

冗1

由②得x=——v—kTiykeZ,

62

,.,XG(0,—),

4

?,?左=0時,x=—9

6

左=1時,x=—,

3

%=2時,8=衛(wèi),則在(0,')上有且只有3個相異實根,故O錯誤,

64

故選:AC.

11.(5分)如圖,在直三棱柱ABC—44G中,AC=BC=\,A4,=2,。是棱A4,的中點,

OC—BQ,點£在網(wǎng)上,且BB]=4BE,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線£>G與8c所成角為90。

B.三棱錐£>-8CG的體積為:

C.CE_L平面BCQ

D.直三棱柱ABC-4與£外接球的表面積為

【解答】解:對于A,在矩形ACGA中,因為抽=2,AC=\,。為棱A4,的中點,所以

CD=C、D=4i,

貝|JC£>2+GO2=CG2,所以CD_LG。,又因為CQJLBO,BD^\CD=D,所以CQJ.平

面BC£>,則GOJ.5C,

即直線G。與BC所成角為90。,故A正確;

對于8,在直三棱柱A6C-ABC|中,CCt1BC,又D”BC,DC.QCC,=C1(

所以8c,平面OCG,又£>Cu平面OCG,所以Z)C_L8C,

則%-see,=%-BCD=gxgx夜xlx夜=(,故5正確;

對于C,由他可知,AC,BC,CC兩兩垂直,如圖,以C為原點建立空間直角坐標系,

則8(0,1,0),D(l,0,1),E(0,1,g),則在=(0,1,;),BD=(1,-1,1),

所以屈方=-1+'=—'*0,

22

則CE,班>不垂直,所以CE不垂直平面3G。,故C錯誤;

對于。,連接42,則線段A8即為直三棱柱ABC-A8cl外接球的直徑,

則48=7171^=遙,所以外接球的半徑R=當,

所以直三棱柱ABC-A的外接球表面積為4萬/?2=6萬,故。正確;

故選:ABD.

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=<1一4“*<1,g(x)=kx-k

,ksR,則下列結(jié)論正確的

Inx-vx-\,x.A

是()

A./(x)在(0,2)上單調(diào)遞增

B.當欠=9時,方程f(x)=g(x)有且只有3個不同實根

4

C./(尢)的值域為[-1,+oo)

D.若對于任意的xwH,都有(x-l)(/(x)-^(x))?0成立,則ke[29+8)

【解答】解:對于4"*)=,七一1'"〈I

/nx+x-1,x..l

(3)2

因為片)=*T4吟=吟+"=*+小

4

所以一/(》=i一歷]>0,所以/?(1)>/§),

所以/(x)在(0,2)上不是增函數(shù).故A錯誤;

X"32)

—T=」T)或.+”T=—T)

Ix<1x.l

x25

由,二二一|二/一1)可解得:.J.,

i3

x<1

對于,,"+xT=*T),顯然x=l代入方程成立,所以x=l是方程的根,

X..1

當x..l時,記〃(x)=/nx+x-1--(x-1)=/nr-—(x-1),

44

所以令〃(x)>0,解得:1cx<4;令〃(x)<0,解得:x>4;

所以6(x)在(1,4)上單增,在(4,+oo)上單減,

所以〃(4)>h(1)=0,

所以〃(x)在(1,4)上沒有零點;

11Q3

而/?(x)在(4,+co)上單減,且〃(4)>0>h(e,)=Ine3—(e3-1)=-----<0,

44

所以在(4,Ko)上有且只有一個零點.

綜上所述:當A=3時,方程/(x)=g(x)有且只有3個不同實根,故B正確;

-----1,x<1

對于C:對于Cx)=,1-X

lnx+x-\,x.A

當x..1時,/(x)=/nr+x-1,/r(x)=—+1>0,

所以f(x).J(1)=/nl+l-l=O;

當XV1時,f(x)=—---1,ff(x)=――?

令r(x)>0,解得:Ovxvl;令,r(x)<0,解得:x<0;

所以/(x)在(-00,0)上單減,在(0,+oo)上單增,

所以/。)../(。)=0-1=-1;

故/(x)的值域為[-1,+oo)成立,故C正確;

對于。:對于任意的xwA,都有(x-l)(/(x)-g(x)),,0成立,

X<1

X..1

所以f及恒成立.

-----

l-x

X<\2

若丁恒成立,則有%...——........—U<1).

-----(l-x)(x-l)x-1

A-x

令‘⑴=n―J—r—一二a<1),只需七?八X)M?

(l-x)(x-l)x-1

令m=x-1,則6vO,

(機+1)21.13八/I3、25

貝miiljy=---5------=-(-2-)*■D=T—1"-)+—,

-mmmmml4

所以5I,即北+

X..1

若恒成立,

lnx+x-\..k(x-\)

當x=l,無論上取何值,不等式均成立,所以AwR.

當x>l,則有

x-\

令P(x)=…上巴+l(x>1),只需k..p(x\nax.

x-1

—(x-1)-Inx1----Inx

"0)=------;—=--——

(x—1)~(工一1)~

t己/n(x)=1----Inx?則〃?x)=”——=-<0,

xxxx~

所以砥%)=1-工-阮¥在。,+00)上單減,

x

所以m(x)<m(1)=0,

即p(x)<0,

所以P(x)=..凡+1在(1,+00)上單減,

X-1

所以p(x)=lim(-^-+1)=lim"詞+1=1+1=2,

皿,田X-],5(X7),

所以k.2.

綜上所述:k..2.故O正確.

故選:BCD.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.(5分)在(l-x)4(2x+iy的展開式中,含?的項的系數(shù)是6.

【解答】解:二項式可以化為(1-4》+6/-4/+/)(2》+1)5,

則二項式的展開式中含V的項為1XC;(2X)2-4xxC;(2x)‘+6Wx點(2x)°=,

所以V的系數(shù)為6,

故答案為:6.

14.(5分)如圖,在四邊形中,AB=3DC,E為邊BC的中點,若荏=%A月+/d萬,

【解答】解:連接AC,因為E是的中點,

所以AE=g(A豆+蔗),

又因為4乙=4萬+£>乙=4方+1與,

3

所以在=2A2+LAZJ,

32

71

即;1=』,A=l,

32

,7

4+〃=—?

6

故答案為:—.

6

15.(5分)隨著時代發(fā)展和社會進步,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少

人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前,中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年共

有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試,現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績(滿

分100分)作為樣本,整理得到如表頻數(shù)分布表:

筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)51025302010

由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布Na。?),其中,〃近

似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替),則〃=

73.若b=12.9,據(jù)此估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)(結(jié)果四舍五入精確

到個位)為一.

參考數(shù)據(jù):若X~NQid),則P(ju-品考〃+cr)a0.6827,P(〃-2a<X?〃+2a)?0.9545,

P1/j-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

45x5+55x10+65x25+75x30+85x20+95x10力

【解答】解:由題意知//?-------------------------------------------=73,

100

1_M

易知P(X>85.9)=P(X>73+12.9)=——=0.15865,

故該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)大約為10000x().15865B1587.

故答案為:73,1587.

16.(5分)已知尸「馬是橢圓和雙曲線的公共焦點,。是它們的一個公共點,且

設(shè)橢圓,雙曲線的離心率分別為q,%,則e;+e;的最小值為_1+乎

【解答】解:由題意,可設(shè)橢圓的長半軸為“,雙曲線的實半軸為4,

由橢圓和雙曲線的定義可知,PFt+PF2=2a,,PFt-PF2=2a2,

則PFX=ciy+a2,PF2=a}—a2,

又/F'PF2=60。,由余弦定理可得(2c)2=(4+生)2+(q-生產(chǎn)一2(4+a2)(a1-?2)cos60°,

1717

整理得4c2=/+342,即3+2=4,則」^+二1,

e~e;4e「4e;

所以e;+e;=(:、+一3)(6;=1+4■,當且僅當'=""時,等號

4e}4e2~2e}2e22ete2

成立,

故答案為:1+立.

2

四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在&48C中,內(nèi)角A,3,。所對的邊分別為。,人,c,且」一=tanB+tanA.

acosB

(1)求A;

(2)若。為8c上一點,S.BC=3BD=>/3AB,AD=3,求AABC的面積.

_A

【解答】解:(1)在AA3C中,因為二YJ=tan8+tanA,

67COSB

所以由正弦定理得:一3sinC=包£+包1,即

sinAcosJ?cos8cosA

-gsinC_sinBcosA+cossinA_sin(A+B)_sinC

———f

sinAcos8cosBcosAcos/?cosAcosBcosA

因為sinCw0,cos3w0,

所以也=—L,即tanA=-6,

sinAcosA

因為Ae(0z),

所以A=型.

3

(2)在A4BC中,因為BC=3BZ)=6AB,A=—,所以a=6c,

3

由余弦定理得:a2=b2+c2—2bccosA,BPZ?24-be-2c2=0,解得:〃=c(b=—2c舍去),

__ii2.i

因為亞=麗+麗=麗+-元=麗+-灰一通)=一通+-冠,

3333

所以4萬2=(2A月+2正)2.即32=-c2+2x-Z7CCOS—+-b2.

339939

因為。=c,所以32=?。2,解得:,2=27,

9

所以AABC的面積SMHC=;bcsinA=1x27x^=笞巨,即A4BC的面積為笞叵.

18.(12分)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{4},生=5,2q,%,牝+2成等比數(shù)列.

(1)求{4}的通項公式;

⑵設(shè)數(shù)列{2}滿足4,(3*-1)=1,7;為數(shù)列出}的前"項和,"eN*求證:7;,<log^.

【解答】解:(1)設(shè)等差數(shù)列{”“}的公差為4,

由4=5,2q,a3,%+2成等比數(shù)列,得(5+=2(5-d)(7+3d),

即7d2-6d-45=0,解得"=3或4=一”(舍去).

7

an=5+(〃—2)x3=3〃—1;

證明:(2)由〃“(3加一1)=1,得3%=—!—+1=1+3、T=3L,

3/T-I3〃-13〃-1

..3n

b?=^g-~

33〃一1

假設(shè)數(shù)列{%}的前〃項和為4,4=log,-=log.g2,則Ai=log、四二!,

...3〃+2.3〃一1.3〃+2/?

?“仆尸如丁一/明丁:姐不產(chǎn)⑵,

驗證〃=1時q,成立.

要證(〈log,也,即證7;<4,只需證

也就是證上L〈生E,即證3“<3〃+2,此式顯然成立.

3〃—13〃—1

.-.7;,<log3-^.

19.(12分)如圖,在五面體45CDE中,已知AC_L平面8C£),ED//AC,且

AC=BC=2ED=2,DC=DB=6

(1)求證:平面ABE_L平面MC;

(2)求二面角A-3E-C的余弦值.

【解答】(1)證明:取3c中點用,AB中點N,連接。M,MN,EN.

:.MNUAC且MN=>AC,

2

又DE=;AC,DEUAC,:.DEHMN,且。E=MV,

所以四邊形MNED是平行四邊形,

:.ENIIDM且EV=DW,

又ACJ■平面88,ACu平面ABC,,平面ABC_L平面88,

.DC=DB,;.DMA.BC,

又平面ABCC平面BC£)=BC,DWu平面BCD,

DM±平面ABC,EN_L平面ABC,

又ENu平面ABE,所以平面45EJL平面MC

(2)解:由(1)知,ACLBC,EN//DM且EN=DM,EN_L平面ABC,平面ABE_L

平面ABC,

以。為原點,CA,CB所在直線為x,y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(2,0,0),B(O,2,0),N(1,1,0),,

則。=(0,2,0),CW=(1,1,0),CE=(l,1,>/2),

設(shè)平面3CE的一個法向量為力=(x,y,z),

,,[ii-CE=x+y+五z=0r/-,i\x~~^r

則n《一,取11z=0,則n《,n=(-2,0,V2),

n-CB=2y=0(7=°

又AC=BC,則GV_LAB,

又平面ABCC平面ABE=/W,CNu平面ABC,

所以CN_L平面ME,即函為平面ABE的一個法向量,

\n-CN\|-2|>/3

cos(fi,CN)==

\n\\CN\~3

顯然二面角A-BE-C為銳角’故其余弦值為亨.

y

20.(12分)某工廠對一批零件進行質(zhì)量檢測.具體檢測方案為:

從這批零件中任取10件逐一進行檢測,當檢測到有2件不合格零件時,停止檢測,此批零

件檢測未通過,否則檢測通過.假設(shè)每件零件為不合格零件的概率為0.1,且每件零件是否

為不合格零件之間相互獨立.

(1)若此批零件檢測未通過,求恰好檢測5次的概率:

(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元,合格零件的售價為150元/件,現(xiàn)對不合格零件進

行修復,修復后合格的零件正常銷售,修復后不合格的零件以10元/件按廢品處理,若每

件零件的修復費用為20元,每件不合格零件修復后為合格零件的概率為0.8,記X為生產(chǎn)

一件零件獲得的利潤,求X的分布列和數(shù)學期望.

【解答】解:(1)若此批零件檢測未通過,恰好檢測5次,

則第五次檢驗不合格,前四次有一次檢驗不合格,

故恰好檢測5次的概率尸=C:x0.1x(1-0.x0.1=0.02916.

(2)由題意可得,合格產(chǎn)品利潤為70元,

不合格產(chǎn)品修復合格后利潤為50元,

不合格產(chǎn)品修復后不合格的利潤為-90元,

則X可取70,50,-90,

故尸(X=70)=0.9,

p(X=50)=0.1x0.8=0.08,

P(X=-90)=0.1x0.2=0.02,

故X的分布列為:

X7050-90

p0.90.080.02

£,(%)=70x0.9+50x0.08-90x0.2=65.2(元).

21.(12分)已知桶圓C:=+《=l(a>6>0)的左,右焦點分別為月,F(xiàn),,上,下頂點分

ab~

別為A,B,四邊形g的面積和周長分別為2和40.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線/:),=%(x+1)(%/0)與橢圓C交于E,F兩點,線段EF的中垂線交y軸于M點,

且AEMF為直角三角形,求直線/的方程.

—x2cxhx2=2

2_r

【解答】解:(1

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