數(shù)值分析試題及答案

一、單項選擇題（每小題3分，共15分）的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字.

A．4和3

B．3和2

C．3和4

D．4和42.已知求積公式，則＝（）A．

B．

C．

D．3.通過點的拉格朗日插值基函數(shù)滿足（

）

A．＝0，

B．＝0，

C．＝1，

D．＝1，4.設(shè)求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（

）斂速。

A．超線性

B．平方

C．線性

D．三次5.用列主元消元法解線性方程組

作第一次消元后得到的第3個方程（

）.

A．

B．

C．

D．單項選擇題答案得分評卷人

二、填空題（每小題3分，共15分）

1.設(shè),則

，

.

2.一階均差

3.已知時，科茨系數(shù)，那么

4.因為方程在區(qū)間上滿足

，所以在區(qū)間內(nèi)有根。5.取步長，用歐拉法解初值問題的計算公式

.填空題答案1.

9和2.

3.

4.

5.

得分評卷人

三、計算題（每題15分，共60分）1.已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計算的近似值.1.

解，

，所以分段線性插值函數(shù)為

2.已知線性方程組（1）

寫出雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式；（2）

對于初始值，應用雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式分別計算（保留小數(shù)點后五位數(shù)字）.

1.解原方程組同解變形為

雅可比迭代公式為

高斯－塞德爾迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德爾迭代公式得3.用牛頓法求方程在之間的近似根（1）請指出為什么初值應取2？（2）請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.

3.解，，，，，故取作初始值迭代公式為，，，，

方程的根4.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分.4解

梯形公式

應用梯形公式得

辛卜生公式為

應用辛卜生公式得

得分評卷人

四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度證明題答案證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即，將分別代入求積公式，并令其左右相等，得

得，。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。

又由于

故具有三次代數(shù)精確度。

一、

填空（共20分，每題2分）1.設(shè)，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=

.2.設(shè)一階差商，

則二階差商3.設(shè),則

，

。4．求方程

的近似根，用迭代公式，取初始值，那么

5．解初始值問題近似解的梯形公式是

6、，則A的譜半徑＝

。7、設(shè)

，則

和

。

8、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都

。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為

。

10、為了使計算的乘除法運算次數(shù)盡量的少,應將表達式改寫成

。填空題答案1、2.3150

2、3、6和4、1.5

5、6、7、8、收斂9、

10、二、計算題

（共75分，每題15分）1．設(shè)

（1）試求在上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足以升冪形式給出。

（2）寫出余項的表達式1、（1）

（2）2．已知的滿足，試問如何利用構(gòu)造一個收斂的簡單迭代函數(shù)，使0，1…收斂？2、由，可得，

3．試確定常數(shù)A，B，C和a，使得數(shù)值積分公式

有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？3、，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的4．推導常微分方程的初值問題的數(shù)值解公式：

（提示：利用Simpson求積公式。）4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程在區(qū)間上積分，得，記步長為h,對積分用Simpson求積公式得

所以得數(shù)值解公式：5．

利用矩陣的LU分解法解方程組5、解：三、證明題（5分）1．設(shè)

，證明解的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案1、

一、填空題（20分）(1).設(shè)是真值的近似值，則有

位有效數(shù)字。(2).對,差商(

)。(3).設(shè),則

。(4).牛頓—柯特斯求積公式的系數(shù)和

。填空題答案（1）3

（2）1

（3）7

（4）1二、計算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項式的值。

插值節(jié)點和相應的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。1）

2).（15分）用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個根，誤差限。2)3).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組，取，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計算).。

3）迭代公式

4).（15分）求系數(shù)。4）5).(10分)對方程組

試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由

5)解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)

取,經(jīng)7步迭代可得：.

三、簡答題1)（5分）在你學過的線性方程組的解法中,你最喜歡那一種方法,為什么?2)（5分）先敘述Gauss求積公式,再闡述為什么要引入它。一、填空題（20分）1.若a=2.42315是2.42247的近似值，則a有(

)位有效數(shù)字.2.

是以為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則

(

).3.

設(shè)f(x)可微，則求方程的牛頓迭代格式是(

).4.

迭代公式收斂的充要條件是

。5.解線性方程組Ax=b(其中A非奇異，b不為0)的迭代格式中的B稱為(

).給定方程組，解此方程組的雅可比迭代格式為(

)。填空題答案1．32.

3.4.

5.迭代矩陣，

得分評卷人

二、判斷題（共10分）1.

若，則在內(nèi)一定有根。

(

)2.

區(qū)間[a,b]上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超過三次的多項式。

(

)3.

若方陣A的譜半徑，則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。

(

)4.

若f(x)與g(x)都是n次多項式，且在n+1個互異點上，則。

(

)5.

用近似表示產(chǎn)生舍入誤差。

(

)判斷題答案1.×

2.×

3.×

4.√

5.×得分評卷人

三、計算題（70分）1.

（10分）已知f(0)＝1，f(3)＝2.4，f(4)＝5.2，求過這三點的二次插值基函數(shù)l1(x)=(

)，=(

),插值多項式P2(x)=(

),用三點式求得(

).1．2.（15分）已知一元方程。1）求方程的一個含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。2.（1）（2）（3）3.（15分）確定求積公式

的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.4.（15分）設(shè)初值問題

.

(1)

寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2)

寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解，保留兩位小數(shù)。4.

5.（15分）取節(jié)點，求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項式，并估計誤差。5．

=1+2(

，一、填空題(每題4分，共20分)1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有

和

。2、設(shè)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則

；

。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為

；插值型求積公式中求積系數(shù)

；且

。4、辛普生求積公式具有

次代數(shù)精度，其余項表達式為

。5、則。填空題答案1.相對誤差

絕對誤差2.

13.至少是n

b-a4.3

5.1

0二、計算題1、已知函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)

由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算的近似值。解：差商表由牛頓插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，。解：3、（15分）確定求積公式。中待定參數(shù)的值，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時求積公式的代數(shù)精度。解：分別將，代入求積公式，可得。令時求積公式成立，而時公式不成立，從而精度為3。4、（15分）已知一組試驗數(shù)據(jù)如下：求它的擬合曲線（直線）。解：設(shè)則可得于是，即。5、（15分）用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根時，若要求精確到小數(shù)點后二位，(1)需要二分幾次；(2)給出滿足要求的近似根。解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解線性方程組解：即模擬試卷（一）一、填空題（每小題3分，共30分）1．有3個不同節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度是次的.2．設(shè)，，則=.，=______.3．已知y=f(x)的均差（差商），，，,那么均差=.4．已知n=4時Newton－Cotes求積公式的系數(shù)分別是：則＝.5．解初始值問題的改進的Euler方法是階方法；6．求解線性代數(shù)方程組的高斯—塞德爾迭代公式為，若取,則.7．求方程根的牛頓迭代格式是

.8．是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則=.9．解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是.10．設(shè)，則的三次牛頓插值多項式為，其誤差估計式為.二、綜合題（每題10分，共60分）1．求一次數(shù)不超過4次的多項式滿足：，，，.2．構(gòu)造代數(shù)精度最高的形式為的求積公式，并求出其代數(shù)精度.3．用Newton法求方程在區(qū)間內(nèi)的根,要求.4．用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：192530385．用矩陣的直接三角分解法解方程組.6試用數(shù)值積分法建立求解初值問題的如下數(shù)值求解公式，其中.三、證明題（10分）設(shè)對任意的，函數(shù)的導數(shù)都存在且,對于滿足的任意，迭代格式均收斂于的根.參考答案一、填空題1．5；2.8,9;3.；4.；5.二；6.,，，0.1543)7.;8.;9.;10.二、綜合題1．差商表：11122151515575720204272152230781其他方法：設(shè)令，，求出a和b.2．取，令公式準確成立，得：,,,.時，公式左右；時，公式左,公式右∴公式的代數(shù)精度.3．此方程在區(qū)間內(nèi)只有一個根，而且在區(qū)間（2，4）內(nèi)。設(shè)則，，Newton法迭代公式為，取，得。

4．，，.解方程組，其中，解得：所以，.5．解設(shè)由矩陣乘法可求出和解下三角方程組有，，，.再解上三角方程組得原方程組的解為，，，.6解初值問題等價于如下形式，取，有，利用辛卜森求積公式可得.三、證明題證明將寫成，由于，所以所以迭代格式均收斂于的根.模擬試卷（二）一、填空題（每小題3分，共30分）的近似值，則其有效位數(shù)分別有位和位；2．設(shè)，，則=________，=.3．對于方程組,Jacobi迭代法的迭代矩陣是=________.4．設(shè)，則差商=__________，=_______.5．已知,則條件數(shù)_________.6．為使兩點的數(shù)值求積公式具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點應為=__________，=__________7．解初始值問題近似解的梯形公式是8．求方程根的弦截法迭代公式是

9.計算積分，取4位有效數(shù)字，用梯形公式計算求得的近似值是，用辛卜生公式計算的結(jié)果是10．任一非奇異矩陣的條件數(shù)＝，其一定大于等于二、綜合題（每題10分，共60分）1證明方程在區(qū)間有且只有一個根，若利用二分法求其誤差不超過近似解，問要迭代多少次？2已知常微分方程的初值問題：試用改進的Euler方法計算的近似值，取步長.用矩陣的分解法解方程組.4用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合.xy5設(shè)方程組，試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯－賽德爾迭代法的收斂性。6按冪法求矩陣的按模最大特征值的近似值，取初始向量，迭代兩步求得近似值即可.三、證明題（10分）已知求的迭代公式為：證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂.參考答案一、填空題1．6，7；2.9,;3.;4.1,0;5.9;6.,;7.;8.；9.0.4268,0.4309;10.,1二、綜合題1解令，則，，且故在區(qū)間內(nèi)僅有一個根.利用二分法求它的誤差不超過的近似解，則解此不等式可得所以迭代14次即可.2、解：3解設(shè)利用矩陣乘法可求得，，，，，解方程組得，再解方程組得.解令，則容易得出正規(guī)方程組，解得.故所求經(jīng)驗公式為.5解（1）由于，所以在內(nèi)有根且，故利用雅可比迭代法不收斂.（2）由于所以，故利用高斯－賽德爾迭代法收斂.6解因為，故，且，.從而得，，.三、證明題證明:由于故對一切，，又所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂.模擬試卷（三）一、填空題（每小題3分，共30分）1．設(shè)是真值的近似值，則有位有效位數(shù)，相對誤差限為；2．若用二分法求方程在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分次。3．有n個節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度為次.4．設(shè)，要使迭代格式局部收斂到，則的取值范圍是5．設(shè)線性方程組有唯一解，在不考慮系數(shù)矩陣擾動的情況下，若方程組右端項的擾動相對誤差，就一定能保證解的相對誤差；6．給定線性方程組，則解此線性方程組的Jacobi迭代公式是，Gauss-Seidel迭代公式是7．插值型求積公式的求積系數(shù)之和是8．數(shù)值求解初值問題的龍格--庫塔公式的局部截斷誤差是9.已知函數(shù)，用此函數(shù)表作牛頓插值多項式，那么插值多項式的系數(shù)是10．設(shè)，為使可分解為，其中是對角線元素為正的下三角矩陣，則的取值范圍是。二、綜合題（每題10分，共60分）1．用Newton法求方程在區(qū)間內(nèi)的根,要求.2．設(shè)有方程組，其中，，已知它有解，

如果右端有小擾動，試估計由此引起的解的相對誤差。3．試用Simpson公式計算積分的近似值,并估計截斷誤差.4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0,3]上具有四階連續(xù)導數(shù),試用埃爾米特插值法求一個次數(shù)不高于3的多項式，使其滿足，并寫出誤差估計式。5．，給出用古典Jacobi方法求的特征值的第一次迭代運算。6．用梯形方法解初值問題，

證明其近似解為，并證明當時，它收斂于原初值問題的準確解。三、證明題（10分）若有個不同的實根，證明.參考答案一、填空題1.3,;2.10;3.;4.;5.;6.,7.;8.;9.－2.4;10.二、綜合題1．此方程在區(qū)間內(nèi)只有一個根，而且在區(qū)間（2，4）內(nèi)。設(shè)則，，Newton法迭代公式為，取，得。2．解，，由公式，有3．，，截斷誤差為4．由所給條件可用插值法確定多項式，(由題意可設(shè)為確定待定函數(shù)，作輔助函數(shù)：,則在上存在四階導數(shù)且在上至少有5個零點（為二重零點），反復應用羅爾定理，知至少有一個零點，使，從而得。故誤差估計式為，。5．首先取，因，故有，于是，，6.梯形公式為，由，得，所以，用上述梯形公式以步長經(jīng)步計算得到，所以有，所以．三、證明題證明由于有個不同的實根，故,于是記，則，再由差商與導數(shù)的關(guān)系知.模擬試卷（四）一、填空題（每小題3分，共30分）1．為了減少運算次數(shù)，應將算式改寫為，為減少舍入誤差的影響，應將算式改寫為。2．，，。3．設(shè)在的根附近有連續(xù)的二階導數(shù)，且，則當時迭代過程是線性收斂的，則當時迭代過程是平方收斂的。4．設(shè)，則當滿足時，有5．用列主元消去法解線性方程組時，在第k－1步消元時，在增廣矩陣的第k列取主元，使得。6．已知函數(shù)，則=，=，的二次牛頓插值多項式7．求解方程，若可以表成，則用簡單迭代法求根，那么滿足，近似根序列一定收斂。8．點插值型數(shù)值積分公式的代數(shù)精度至少是次，最高不超過次。在上歐拉計算格式10．解初始值問題的梯形方法是階方法二、綜合題（每題10分，共60分）1．證明方程在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一根x*，用牛頓迭代法求x*(精確至3位小數(shù))。2．用列主元消去法解線性方程組;3．給定數(shù)據(jù)x=0,1,2,3，對應函數(shù)值分別為y=1,3,2,4，求三次拉格朗日或牛頓插值多項式。4．設(shè)有矩陣用“規(guī)范化”的方法求其按模最大的特征值及對應的特征向量（注：求迭代4次即可）5．用改進的Euler方法