以參數(shù)量子群Ur,s(sln)的子代數(shù)UA的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)及其表示的中期報告

以參數(shù)量子群Ur,s(sln)的子代數(shù)UA的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)及其表示的中期報告首先介紹一下量子群和參數(shù)量子群的基本概念。量子群是一類非交換的Hopf代數(shù)，它具有類似于李群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，但是由于其非交換性質(zhì)，導(dǎo)致它的表示理論和李群有所不同。參數(shù)量子群則是一類比量子群更為廣義的概念，它引入了一個參數(shù)q，使得量子群可以像q→1的極限下還原為李群，從而可以更好地描述量子場論中的對稱性。下面進入本文重點，介紹參數(shù)量子群Ur,s(sln)的子代數(shù)UA的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)及其表示。首先要介紹的是參數(shù)量子群Ur,s(sln)的定義。Ur,s(sln)是一個參數(shù)量子群，它的生成元為aij，i,j=1,2,...,n和ui,ui^-1，其中ui和ui^-1是相互逆的元素，滿足下列關(guān)系：uiuj=ujujui(i<j)ui^-1uj^-1=uj^-1ui^-1(i<j)uiuj^-1=quj^-1ui(i≠j)ui^-1uj=q^-1ujui^-1(i≠j)[aij,akl]=δjkaij-δikajl(i,j,k,l=1,2,...,n)其中q和r是任意的參數(shù)。而UA是Ur,s(sln)的子代數(shù)，它的生成元為aij和ti，i,j=1,2,...,n，它的關(guān)系式為：[ti,tj]=0[ti,aij]=(s+r)(δijaij-δitj)[aij,akl]=δjkaij-δikajl[ti,uj]=ujti+1[ti,uj^-1]=-tiuj^-1-1其中s和r是與Ur,s(sln)中的參數(shù)相同的參數(shù)。UA是一個Hopf代數(shù)，它的結(jié)構(gòu)如下：1.乘法運算：m:UAxUA->UAti*tj=tj*ti=0ti*aij=aij*(ti-ti+1)aij*akl=δjkaij*akl+δilakj*aij2.單位元：ε:UA->kε(ti)=ε(aij)=03.反元素：inv:UA->UAinv(ti)=-tiinv(aij)=-s^-1aij4.余單位元：c:UA->UA?U(k)c(ti)=ti?1+1?tic(aij)=aij?1+1?aij-(s+r)ti?ti5.共軛結(jié)構(gòu)：**：UA->UA,α->α**(ti**)=ti(aij**)=aji6.共代數(shù)結(jié)構(gòu)：Δ:UA->UA?UAΔ(ti)=ti?1+1?tiΔ(aij)=∑(aih?ahj)其中h=1,2,...,n，并且我們定義ti=ti?1+1?ti。7.余乘法運算：?:UA?UA->UA?ti=ti?ti?aij=∑(aih?haj)其中h=1,2,...,n。最后，我們介紹一下UA在對稱代數(shù)和楊-比爾斯特拉姆模型中的表示。UA的表示是由一個n元系數(shù)組成的，這個數(shù)組被稱為q-對稱多項式。q-對稱多項式是一種特殊的對稱多項式，它具有良好的代數(shù)性質(zhì)，在楊-比爾斯特拉姆模型中起著重要作用。它們還