2023屆福建省晉江市永春縣高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處二

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.過(guò)雙曲線(xiàn)C：A-2=1（a>0/>0）的右焦點(diǎn)尸作雙曲線(xiàn)C的一條弦A3,且E4+EB=0,若以A3為直徑的圓經(jīng)

crb

過(guò)雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）

A.0B.73C.2D.石

2.已知尸為拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，且|4目=5,過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)&C交于兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與、軸的交點(diǎn)為M.給出下列四個(gè)命題：

①在拋物線(xiàn)上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A僅有一個(gè)；

②若尸是拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，貝!||附|+|「。|的最小值為2加；

③無(wú)論過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)/在什么位置，總有ZOMB=ZOMC；

④若點(diǎn)C在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為。，則三點(diǎn)B、O、。在同一條直線(xiàn)上.

其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.如圖是二次函數(shù)/（x）=x2-法+。的部分圖象，則函數(shù)8（幻=311》+7@）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.B.C.（1,2）D.（2,3）

sin—------]<x<3

4.已知函數(shù)/（力=2'一一-,若函數(shù)“X）的極大值點(diǎn)從小到大依次記為％;4?凡，并記相應(yīng)的極

2/（x-2）,3<x<100

大值為乙也,？b“,則t（4+〃）的值為（）

/=!

A.250+2449B.250+2549C.249+2449D.249+2549

2

5.已知耳，尼是雙曲線(xiàn)丁2=］（。＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)耳且垂直于x軸的直線(xiàn)與。相交于A,8兩點(diǎn)，若

a

|=J5,則"8鳥(niǎo)的內(nèi)切圓半徑為（）

A四n有「3&n2石

A.B.C.---D.---

3333

6.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)

的概率為

1111

A.—B.-C.-D.—

23612

7.如圖，正三棱柱ABC-AgG各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為A4的中點(diǎn)，分別是線(xiàn)段Bg和線(xiàn)段CG的動(dòng)點(diǎn)

（含端點(diǎn)），且滿(mǎn)足BM=GN,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不亞項(xiàng)的是

A.在ADMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線(xiàn)段

B.平面。MN_L平面BCG4

C.三棱錐4-。MN的體積為定值

D.ADMN可能為直角三角形

8.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）

/（/n）+/（n-2）>0

9.已知奇函數(shù)/（x）是R上的減函數(shù)，若人〃滿(mǎn)足不等式組f（加一〃-1）20，貝！12加一〃的最小值為（）

./0?）<0

A.-4B.-2C.0D.4

10.在區(qū)間［一3,3］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,使得=20成立的概率為等差數(shù)列?。墓?，且4+%=-4,若?！?gt;0,

X—1

則〃的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

11.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立

即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）

A.36種B.44種C.48種D.54種

12.已知耳，凡是雙曲線(xiàn)W-g=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)F,關(guān)于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A滿(mǎn)足

CTb-

NGAO=NA。6（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）

A.y—±2xB.y=±yfixC.y=±yf2xD."土x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.的展開(kāi)式中，V項(xiàng)的系數(shù)是.

14.已知關(guān)于空間兩條不同直線(xiàn)小、"，兩個(gè)不同平面a、/3，有下列四個(gè)命題：①若且〃〃a,貝！!〃?//〃；②

若〃且加_L〃，則〃〃,；③若小」a且〃〃/￡,則④若〃ua,且加，々，則〃其中正確命題的

序號(hào)為.

2

15.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，若雙曲線(xiàn)V一方=1僅>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,則該雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.

16.已知角。+工的終邊過(guò)點(diǎn)P（—1,—2五），貝！|sinc=___.

6

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓￡；:：■+』=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小一1,0）、6（1,0）,點(diǎn)。在橢圓E上，

尸鳥(niǎo)_14鳥(niǎo)且忸叫=3|尸用.

（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（口）設(shè)直線(xiàn)/：%=皎+1（"6/?）與橢圓后相交于4、3兩點(diǎn)，與圓/+y2=/相交于。、D兩點(diǎn),求|45卜|0）「

的取值范圍.

18.(12分)已知點(diǎn)M(—1,O),N(1,O),若點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足|尸M|+|PN|=4.

(I)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(H)過(guò)點(diǎn)。(-6,0)的直線(xiàn)/與(I)中曲線(xiàn)相交于A8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AAOB面積的最大值及此時(shí)直

線(xiàn)/的方程.

19.(12分)為了保障全國(guó)第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部

選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)，然后再逐級(jí)確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過(guò)

程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn)，然后確定對(duì)象，最后入戶(hù)登記，由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致入戶(hù)登記不夠順利，這為正式普

查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)，普查情況如下表所示：

普查對(duì)象類(lèi)別順利不順利合計(jì)

企事業(yè)單位401050

個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)10050150

合計(jì)14060200

(1)寫(xiě)出選擇5個(gè)國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)采用的抽樣方法；

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶(hù)登記是否順利與普查對(duì)象的類(lèi)別有關(guān)”；

(3)以該小區(qū)的個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)為樣本，頻率作為概率，從全國(guó)個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)中隨機(jī)選擇3家作為普查對(duì)象，入戶(hù)登記順利

的對(duì)象數(shù)記為X,寫(xiě)出X的分布列，并求X的期望值.

n(ad-he)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)

00.100.0100.001

k。2.7066.63510.828

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，NDAB=60°,ZADP=90。，平面ADP±

平面ABCD,點(diǎn)尸為棱PO的中點(diǎn).

(I)在棱A3上是否存在一點(diǎn)￡,使得AE平面PCE,并說(shuō)明理由;

(D)當(dāng)二面角。-FC-3的余弦值為也時(shí)，求直線(xiàn)依與平面488所成的角.

4

21.(12分)如圖，四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AB//CD,ZBAD=90°,AB=2CD=4,PA1CD,

在銳角△PAO中，E是邊產(chǎn)。上一點(diǎn)，且AD=PD=3ED=3g-

(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，AC與平面尸皿所成的角為30。？

22.(10分)如圖，在矩形ABCO中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且A￡=2ED,點(diǎn)H是BE的中點(diǎn),

將八鉆￡沿著8E折起，使點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)S處，且滿(mǎn)足SC=SO.

(1)證明：SH上平面BCDE；

(2)求二面角C—SB-￡的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由E4+所=0得廠是弦的中點(diǎn).進(jìn)而得A〃垂直于x軸，得2=a+c,再結(jié)合關(guān)系求解即可

a

【詳解】

因?yàn)镋4+EB=0,所以?是弦AB的中點(diǎn).且A5垂直于x軸.因?yàn)橐?5為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，所以

—^a+c,即￡_^L=a+c,則c-a=a,故e=-=2.

aaa

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題是對(duì)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)以及離心率的綜合考查，是考查基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

①：由拋物線(xiàn)的定義可知|4丹=。+1=5,從而可求A的坐標(biāo)；②：做A關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)x=—1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，，通過(guò)分析

可知當(dāng)A',P,。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PA|+|PO|取最小值，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求此時(shí)最小值|A'O|；③：設(shè)出直線(xiàn)/方程,

聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求kMH+kMC=0,從而可判斷出NOMB,NOMC

的關(guān)系；④：計(jì)算直線(xiàn)ODOB的斜率之差，可得兩直線(xiàn)斜率相等，進(jìn)而可判斷三點(diǎn)B、O、。在同一條直線(xiàn)上.

【詳解】

解：對(duì)于①，設(shè)A(a,b),由拋物線(xiàn)的方程得打1,0),則|AF|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,T),所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A有二個(gè)，故①不正確；

對(duì)于②，不妨設(shè)4(4,4),則A關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)x=—l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(-6,4),

ifl\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'O\=y/52=2y/i3,

當(dāng)且僅當(dāng)力',R。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，故②正確；

對(duì)于③，由題意知，M（-1,O）,且/的斜率不為0,則設(shè)/方程為：x=,政+1（加工0）,

設(shè)I與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為3（玉,y））,C（x2,y2）,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程為，

x=my+1、

,',整理得?-4:町>一4=0,則%+%=4根,y%=-4,所以

y2=4x

222

xl+x2=4m4-2,x1x2=（緲］+l）（my2+1）=-4m+4m+1=1

則A加+kM<=_2L_+%=%（，+1）+%（為+1）=2y1+2%+2町％

MRMCX{+1x2+1（Xj+l）（x2+1）X,4-x2+x1x24-1

?x4/I?—'m*4

=上羋上上f=0故MB,VC的傾斜角互補(bǔ)，所以NOM3=NQ0C,故③正確.

4"+2+1+1

對(duì)于④，由題意知力（T%），由③知，X+必=4",）1%=一4

則="=*，％0。=一丹，由=。8_%。。=4+%=4+.，2=0,

司MMM

知及8=及1）,即三點(diǎn)&O、。在同一條直線(xiàn)上，故④正確?

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線(xiàn)的定義，考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查了直線(xiàn)方程，考查了兩點(diǎn)的

斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題，結(jié)合初中的“飲馬問(wèn)題”分析出何時(shí)取最小值.

3.B

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸得出。范圍，>軸截距，求出。的范圍，判斷g（x）在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論.

【詳解】

-：f（x）=x2-bx+a,結(jié)合函數(shù)的圖象可知，

二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=g,0</（0）=?<1,

1h

=—<1,Vfr（x）=2x-b,

所以g(x)=。Inx+尸(x)=aInx+2%-〃在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間[g)=alng+l-b<0,g(l)=6zlnl+2-/?>0,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是［g，l

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)x=2時(shí)有極大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),

而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)%的通項(xiàng)公式4=2〃，且相應(yīng)極大值

b,,=2"-',分組求和即得

【詳解】

，,X；r

當(dāng)時(shí)，,/(x)=^cos^~j>

顯然當(dāng)x=2時(shí)有，r(x)=o,

.?.經(jīng)單調(diào)性分析知

x=2為/(X)的第一個(gè)極值點(diǎn)

又?.?3<xV100時(shí)，j\x)=2f(x-2)

??x=49x=6tx=8,…，均為其極值點(diǎn)

???函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值

/.an=2n,1<n<49,neZ

...對(duì)應(yīng)極值〃=2"T,1</7<49,neZ

+4)J2+98)X49+1X(1-2-)=+2W

I=I21-2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對(duì)數(shù)列

和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題

5.B

【解析】

首先由|A3卜及求得雙曲線(xiàn)的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長(zhǎng)乘以?xún)?nèi)切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意〃=1將％=-。代入雙曲線(xiàn)。的方程，得y=±l■則2=忘,。=艱1=石,由

aa

\AF2\-\AFl\=\BF2\-\BFl\=2a=2y[2,n^ABF2的周長(zhǎng)為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+|Af；|+2a+怛制+|A6|=4a+21ABi=6忘，

設(shè)"BF,的內(nèi)切圓的半徑為j則_Lx6"。=2JIxr=且

223

本題考查雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.

6.B

【解析】

c2c2

求得基本事件的總數(shù)為〃==6,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為加=C；C；$=2,

利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),

c2c2

基本事件的總數(shù)為〃=七"X屈=6,

其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為機(jī)=C；CX=2,

所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為〃='=!，故選B.

n3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基

本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查

了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線(xiàn)與平面ABC平行；

B項(xiàng)利用線(xiàn)面垂直的判定定理；

C項(xiàng)三棱錐A-的體積與三棱錐N-\DM體積相等，三棱錐N-\DM的底面積是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項(xiàng)用反證法說(shuō)明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線(xiàn)平行于平面ABC,故正確;

B項(xiàng)，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBi、CG上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿(mǎn)足BM=CN,則線(xiàn)段MN必過(guò)正方形BCGBi的中心O,由DO垂直于平面BCGBi

可得平面平面BCGg,故正確；

C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BBKCCI上運(yùn)動(dòng)時(shí),AAiDM的面積不變,N到平面AiDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐A1-DMN的體積為定值，故正確；

D項(xiàng)，若ADMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BCi,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于

BBi,所以ADMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線(xiàn)面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

8.A

【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計(jì)算體積.

【詳解】

由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2,

1Q

直觀圖如圖所示，V=-x2x2x2=-.

33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

9.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

m<2-n

奇函數(shù)/（x）是R上的減函數(shù)，則/（0）=0,且，-〃-140,畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，

m>0

z=2m—n,即〃=2加一z,z表示直線(xiàn)與），軸截距的相反數(shù)，

根據(jù)平移得到：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0,2）,即加=0.〃=2時(shí)，Z=2〃Z-/7有最小值為-2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.

10.D

【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長(zhǎng)度以及使不等式成立的X的范圍區(qū)間長(zhǎng)度，利用幾何概型公式可得概

率，即等差數(shù)列的公差，利用條件出+4=2%，求得出=-2,從而求得?！?-￥+三，解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間［-3,3］長(zhǎng)度為6,

使得三、20成立的x的范圍為(1,3］,區(qū)間長(zhǎng)度為2,

x—\

3-r?1

故使得-—>0成立的概率為:=；=d,

x-163

4cc10AZ

又出+4==2%,/.%=-2,=-2+(〃-4)x—=----F—9

令4〉0,則有〃>10,故”的最小值為11,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,

屬于基礎(chǔ)題目.

11.B

【解析】

分三種情況，任務(wù)4排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)4排在第三位時(shí)，E

排在第四位，結(jié)合任務(wù)8和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案.

【詳解】

六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、GD、E、F,

如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好。、F,再在。、尸之間的3個(gè)空位中插入8、C,

此時(shí)共有排列方法：AX=12；

如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則8,C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有C；A；A；=12,可能都在4、

E的右側(cè)，排列方法有國(guó)8=4；

如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則8,C分別在A、E的兩側(cè)8=16；

所以不同的執(zhí)行方案共有12+12+4+16=44種.

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

12.B

【解析】

先利用對(duì)稱(chēng)得A用_LOM,根據(jù)/64。=乙4?！昕傻?￡=。，由幾何性質(zhì)可得乙46。=60,即/加。行=60,

從而解得漸近線(xiàn)方程.

【詳解】

如圖所示：

由對(duì)稱(chēng)性可得：/為A8的中點(diǎn)，且4工，。用，

所以

因?yàn)?片/10=乙404，所以AE=6O=c,

故而由幾何性質(zhì)可得NA^O=60,即NMOg=60,

故漸近線(xiàn)方程為y=±JIx,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的知識(shí)，考查了雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，由題意得出//0乃=60是解題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.240

【解析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于3,計(jì)算展開(kāi)式中含有父項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】

由題意得：=墨(2x)6-吐)，，只露6一|r=3,可得r=2,

代回原式可得7；=240%)

故答案：240.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用，相對(duì)不難.

14.(3XD

【解析】

由直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線(xiàn)面垂直的定義判斷.

【詳解】

①若〃〃/。且〃〃。，加，〃的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；

②若〃力且〃2_L〃，則〃〃尸或者〃U力，②錯(cuò)；

③若就//7,設(shè)過(guò)加的平面與夕交于直線(xiàn)〃，則加/〃，又〃U二，則〃_1。，...0，△，③正確；

④若〃ua,且加J_a,由線(xiàn)面垂直的定義知〃?_!_〃，④正確.

故答案為：③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線(xiàn)面垂直的定義，考查空間線(xiàn)面間

的位置關(guān)系，掌握空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).

15.x=±—

3

【解析】

代入(3,4)求解得〃=拒，再求準(zhǔn)線(xiàn)方程即可.

【詳解】

解：雙曲線(xiàn)/一卷=1e>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),

.02161

??3市=1,

解得。2=2,即Q&.

又a=l，，c=J7壽=JL故該雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=±￥?

故答案為：L土&

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程求解,屬于基礎(chǔ)題.

16.1二y

【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得553+今午的值.

【詳解】

解：?.?角a+工的終邊過(guò)點(diǎn)尸(―1,—2a),

6

-2a2忘-12

-J1+8丁I6JVF+83

.?.sina=sin(a+-兀

A6J~6

故答案為：上建.

6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(I)y+y2=1；(II)[4五,16五).

【解析】

(I)利用勾股定理結(jié)合條件|P6|=3|P勾求得歸國(guó)和|P周，利用橢圓的定義求得”的值，進(jìn)而可得出。，則橢圓

E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;

(II)設(shè)點(diǎn)A(x”y)、B(x2,y2),將直線(xiàn)/的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出|AB|,利用

幾何法求得直線(xiàn)/截圓，2+丁=2所得弦長(zhǎng)仁。|,可得出|/3卜|8『關(guān)于〃?的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求

得的取值范圍.

【詳解】

(I)P在橢圓上，.?.|「周+|「勾=2。，歸耳|=3忸閭，周=冬歸用=春,

叫，丹瑪，??.|PKf+|EK|2=|尸￡『，

又|月5|=2,.?々2=2,；c=l,.-.b=yla1-c2=b

二橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+丁=|；

(n)設(shè)點(diǎn)A(XpX)、8(9,必)，

：：蕓:消去心得尸+沖一「。，.必=加＞。,

聯(lián)立《2"+228+8

2

nl2m1,,I------.2^2(w+1)

，，，1

設(shè)圓/+f=2的圓心。到直線(xiàn)I的距離為d,則〃=/,

+1

+1

.?.31=2,2-屋=2

+1

2企(>+1)42歷+1_8應(yīng)(2m2+1(

:.\AB\-\CDf==85/22-3

rn2+2m2+1m2+2m2+2

?！创盒A/<2,;.42|明.|C優(yōu)<16"

：.\AB\-\CDf的取值范圍為［472,1672).

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中弦長(zhǎng)之積的取值范圍的求解，涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查

計(jì)算能力，屬于中等題.

18.(I):+]=1；(D)AAOB面積的最大值為道，此時(shí)直線(xiàn)/的方程為x=土曰＞一百.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；

(2)設(shè)出直線(xiàn)方程后，采用』x|AB|xd(d表示原點(diǎn)到直線(xiàn)A3的距離)表示面積，最后利用基本不等式求解最值.

2

【詳解】

解：(I)由定義法可得，尸點(diǎn)的軌跡為橢圓且2a=4,c=l.

22

因此橢圓的方程為土+乙=1.

43

22

(D)設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=)-6與橢圓'+《=1交于點(diǎn)A(%,y),

3(々，％)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程消去x可得(3/+4)/-6島，—3=0,

nn66t_一3

即X+)'2=E'，%=記才

由OB面積可表示為SAAOB=g|0。|?|X-％1=g?百?+%)2-今防

=L6/(恪)2—4二=3?也?J9/+3*+4=3-^/^

2V3『+43『+423『+43r2+4

____6〃6V色

令百幣=M，則aNl，上式可化為1+3一，

Un--

U

當(dāng)且僅當(dāng)"=6,即，=±亞時(shí)等號(hào)成立，

3

因此MOB面積的最大值為小,此時(shí)直線(xiàn)/的方程為X=±半y一石.

【點(diǎn)睛】

常見(jiàn)的利用定義法求解曲線(xiàn)的軌跡方程問(wèn)題：

(1)已知點(diǎn)M(-c,0),N(c,0),若點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足|PM|+|PN|=2a且2a>2c,則P的軌跡是橢圓；

(2)已知點(diǎn)M(-c,0),N(c,0),若點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足||9|-|川||=2。且2?<橘,則P的軌跡是雙曲線(xiàn).

19.(1)分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽亦可)(2)有(3)分布列見(jiàn)解析，E(X)=2

【解析】

(1)根據(jù)題意可以選用分層抽樣法，或者簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.

(2)由已知條件代入公式計(jì)算出結(jié)果，進(jìn)而可以得到結(jié)果.

(3)由已知條件計(jì)算出X的分布列，進(jìn)而求出X的數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)分層抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽亦可).

(2)將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得

n(ad-hc)2200(40x50-lOOxlO)2_.

k=----------------------------------=-------------------------------?3.175>2.706

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)140x60x50x150

所以有90%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶(hù)登記是否順利與普查對(duì)象的類(lèi)別有關(guān)”.

2

(3)以頻率作為概率，隨機(jī)選擇1家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶(hù)作為普查對(duì)象，入戶(hù)登記順利的概率為；.X可取0,L2,3,計(jì)

3

算可得X的分布列為：

X0123

1248

p

279927

2

E(X)=3x-=2

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際生活問(wèn)題，運(yùn)用合理的抽樣方法，計(jì)算公以及數(shù)據(jù)的分布列和數(shù)學(xué)期望，需要正確

運(yùn)用公式進(jìn)行求解，本題屬于?？碱}型，需要掌握解題方法.

20.(1)見(jiàn)解析(2)60°

【解析】

(I)取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,得到故AE//FQ且=進(jìn)而得到AF//EQ,利用線(xiàn)面平行的判

定定理，即可證得AE//平面PEC.

(D)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=求得平面bBC的法向量為“，和平面的法向量

n,利用向量的夾角公式，求得〃=后，進(jìn)而得到NP8D為直線(xiàn)PB與平面ABC。所成的角，即可求解.

【詳解】

(I)在棱上存在點(diǎn)E,使得AE//平面PCE,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).

理由如下：取PC的中點(diǎn)。，連結(jié)EQ、FQ,由題意，F(xiàn)Q//DC且FQ=；CD,

他//。。且4￡=48,故AE//EQ且AE=FQ.所以，四邊形AEQ尸為平行四邊形.

2

所以，AF//EQ,又EQJ?平面PEC,Ab_L平面PEC,所以，AF//平面PEC.

<n)由題意知AABD為正三角形，所以亦即E￡>J_CD,

又NADP=90°,所以P￡>J_AD,且平面ADP_L平面ABC。，平面ADPc平面ABCD=AD,

所以RD，平面ABC。，故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)RD=a,則由題意知。(0,0,0),尸(0,0,a),C(0,2,0),

FC=(O,2,-<Z),CB=(V3,-l,0),

設(shè)平面FBC的法向量為m=(x,y,z),

則由『",'C="得“'一。，令x=l,則y=6，Z=—，

[mCB=0〔島-y=0a

(

所以取機(jī)=,顯然可取平面?；?。的法向量〃=(1,0,0),

由題意：￥=際行㈤卜一屋，所以"石

1+3+靛

由于PDJ_平面ABC。，所以尸8在平面ABC。內(nèi)的射影為BO,

所以NPBD為直線(xiàn)依與平面ABCO所成的角,

易知在HAP3O中，tanZPBD=——=a=上,從而NPBD=60°,

BD

所以直線(xiàn)PB與平面ABC。所成的角為60°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線(xiàn)與平面所成角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理

能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)

成，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.

21.(1)證明見(jiàn)解析；(2)當(dāng)期="時(shí)，AC與平面PC。所成的角為30。.

【解析】

(D連接交AC于。，由相似三角形可得絲=1，結(jié)合”=:得出OE//PB,故而28//平面ACE；

OB2EP2

(2)過(guò)A作4尸，?￡>,可證平面PCD,根據(jù)NACF=30計(jì)算AE,得出NAD/的大小，再計(jì)算Q4的長(zhǎng).

【詳解】

（1）證明：連接50交AC于點(diǎn)。，連接0