直接證明與間接證明

高二數(shù)學選修2-2

第二章推理與證明2023/12/13孝高蔣志方12.2直接證明與間接證明推理演繹推理三段論（一般到特殊）合情推理類比（特殊到特殊）歸納(特殊到一般）演繹推理是證明數(shù)學結論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.數(shù)學結論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.合情推理得到的結論是不可靠的，需要證明。數(shù)學中證明的方法有哪些呢？例:已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因為b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因為c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.證明:在數(shù)學證明中，我們經常從已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理、性質等出發(fā)通過推理導出所要的結論。１.綜合法——由因導果

從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.(又稱順推證法)探索求知注：用P表示已知條件,已有的定義,定理,公理等.Q表示所要證明的結論,則綜合法可用框圖表示為:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…探索求知例：求證不等式：.注：從求證的結論出發(fā)，逐步尋求使結論成立的條件。證明：要證即證故不等式成立.只需證只需證2.分析法探索求知

從證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知,定理,定義,公理等).這種證明的方法叫做分析法.（又稱倒推證法）——執(zhí)果索因

注：用Q表示所要證明的結論,則分析法可用框圖表示為:得到一個明顯成立的條件QP1P1P2P2P3…證法1:對于正數(shù)a,b,有證法2:要證只要證只要證只要證因為最后一個不等式成立，故結論成立。綜合法分析法表達簡潔!目的性強,易于探索!【分析法】從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件。要證：

只要證：

只需證：

顯然成立上述各步均可逆所以結論成立要證：

所以結論成立格式解:要證只需證展開,只需證只需證21<25因為21<25成立,所以成立.例3：在△ＡＢＣ中，三個內角Ａ、Ｂ、Ｃ對應的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形．分析：把題中的文字語言轉化為符號語言：A+C=2B⑴，b2=ac⑵由（1）聯(lián)想到內角各能得到什么？由（2）聯(lián)想到三角形什么知識？余弦定理，二者聯(lián)系起來能得到什么結論證明：

由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C①

由①②，得②③由a，b，c成等比數(shù)列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此，a=c從而有A=C由②③⑤，得

②①①②①②③③直接證明分析法

解題方向比較明確，利于尋找解題思路；

綜合法

條理清晰，易于表述。通常以分析法尋求思路，再用綜合法有條理地表述解題過程分析法綜合法概念路邊苦李

王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動.伙伴問他為什么不去摘？

情景導學

王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下,果然是苦李.

王戎是怎么知道李子是苦的呢?他運用了怎樣的推理方法?

王戎的推理方法是:假設李子不苦,則因樹在“道”邊,李子早就被別人采摘而沒有了,這與“多李”產生矛盾.所以假設不成立,李為苦李.探究點1

反證法的定義引例：證明：在一個三角形中至少有一個角不小于60°.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個不小于60°.

探究新知證明：假設的三個內角∠A，∠

B，

∠

C都小于60°，則有∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°所以∠A+∠B+∠C<180°這與相矛盾.三角形內角和等于180°所以假設不成立，所求證的結論成立.

先假設結論的反面是正確的，然后通過邏輯推理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾，說明假設不成立，從而得到原結論正確.這種證明方法就是——反證法

把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明.注：反證法是最常見的間接證法.

一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），經過正確的推理，最后得出矛盾.因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.反證法

歸納總結

否定結論——推出矛盾——肯定結論即分三個步驟：反設—歸謬—存真反設——假設命題的結論不成立；歸謬——從假設出發(fā)，經過一系列正確的推理，得出矛盾；反證法的證明過程存真——由矛盾結果，斷定反設不成立，從而肯定原結論成立.

歸謬矛盾：（1）與已知條件矛盾.（2）與假設矛盾或自相矛盾.（3）與已有公理、定理、定義、事實矛盾.反證法的思維方法：正難則反.1.應用反證法推出矛盾的推導過程中，要把下列哪些作為條件使用(

)①結論相反判斷，即假設②原命題的結論③公理、定理、定義等④原命題的條件A．①④ B．①②③C．①③④ D．②③C

小試牛刀2.用反證法證明命題“三角形中最多有一個是直角”時，應假設________________________________.三角形中有兩個或三個角是直角

小試牛刀原詞語否定詞原詞語否定詞等于任意的是至少有一個都是至多有一個大于至少有n個小于至多有n個對所有x,成立對任何x，不成立

準確地作出反設(即否定結論)是非常重要的，下面是一些常見的結論的否定形式.

不是不都是不大于大于或等于一個也沒有至少有兩個至多有（n-1)個至少有（n+1)個存在某x，不成立存在某x,成立不等于某個宜用反證法證明的題型

（1）以否定性判斷作為結論的命題.（2）某些定理的逆命題.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題.（4）關于“唯一性”結論的命題.（8）涉及各種“無限”結論的命題等.（7）有些基本定理或某一知識體系的初始階段.（6）一些不等量命題的證明.（5）解決整除性問題.反證法的一般步驟先假設命題的結論不成立從假設出發(fā)，經過推理得出矛盾否定假設肯定原命題分清條件和結論

總結升華證明：因為a∥b

所以經過直線a,b確定一個平面.因為,而，所以與是兩個不同的平面.因為，所以.例1已知直線a，b和平面

,如果,且,求證:.abP

典例解析下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點，假設直線a與平面

有公共點P，則P，即點P是直線a與b的公共點，這與a∥b矛盾，所以a∥.1.命題“△ABC中,若∠A>∠B,則a>b”的結論的否定應該是(

)A.a<bB.a≤bC.a=bD.a≥bB

當堂檢測2.實數(shù)a,b,c不全為0等價于(

)A.a,b,c均不為0B.a,b,c中至多有一個為0C.a,b,c中至少有一個為0D.a,b,c中至少有一個不為0D3.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時,反設正確的是(

)A.假設三內角都不大于60°B.假設三內角都大于60°C.假設三內角至多有一個大于60°D.假設三內角至多有兩個大于60°B4．如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)(

)A．一個是正數(shù)，一個是負數(shù)B．兩個都是正數(shù)C．至少有一個正數(shù)D．兩個都是負數(shù)C5.用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內角和為180°矛盾,故假設錯誤;②所以一個三角形不能有兩個直角;③假設△ABC中有兩個直角,不妨設∠A=90°,∠B=90°.上述步驟的正確順序為________(填序號).③①②6.已知p3+q3=2,求證p+q≤2.【證明】假設p+