第五章 彎曲應(yīng)力

第五章彎曲應(yīng)力目錄§5-1純彎曲時梁的正應(yīng)力§5-2橫力彎曲時梁的正應(yīng)力及其強度條件§5-3梁的切應(yīng)力及其強度條件§5-4梁的極限彎矩梁的合理截面§5-1純彎曲時梁的正應(yīng)力請看一個實例：CD段：剪力為零，彎矩為常量。這種彎曲稱為純彎曲。AC、DB兩段：這種彎曲稱為橫力彎曲。同時存在剪力和彎矩。即：1、表面變形情況：（1）兩相鄰橫向線仍保持為直線，只是相對轉(zhuǎn)動一個小角度。純彎曲時梁的正應(yīng)力分析一、變形幾何方面（2）縱向線變成弧線，仍垂直于變形后的橫向線，bb伸長，aa

縮短。2、平面假設(shè)：梁彎曲變形后，其原來的橫截面仍保持為平面，只是相鄰橫截面繞某一軸相對轉(zhuǎn)了一個小角度，且仍垂直于梁變形后的軸線。中性層：靠近底部的縱向線伸長，靠近頂部的縱向線縮短，根據(jù)變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向線既不伸長也不縮短。中性軸：中性層與橫截面的交線軸，橫截面就是繞中性軸轉(zhuǎn)動的。根據(jù)變形的對稱性：中性層與縱向?qū)ΨQ平面垂直，也就是說中性軸與對稱軸垂直，即求距中性層為y處的纖維的線應(yīng)變：變形前：3、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律即：故r

：中性層的曲率半徑。變形后：二、物理關(guān)系由于彎曲變形微小，可設(shè)各層纖維之間沒有擠壓，亦即可認為各縱向纖維處于單向應(yīng)力狀態(tài)。并設(shè)當時故說明：由于未知，中性軸位置未定，所以不能由式計算正應(yīng)力三、靜力學條件橫截面上各法向微內(nèi)力構(gòu)成空間平行力系，只能簡化成三個內(nèi)力分量說明中性軸過形心由（1）式：（1）（2）（3）由（2）式：故上式自然滿足。M由（3）式：（5-1）（5-2）其中：M：橫截面上彎矩

y：所求點的坐標

Iz：橫截面對中性軸的慣性矩由靜力學關(guān)系得到由變形幾何關(guān)系得到由物理關(guān)系得到綜上分析，可以得到梁純彎曲時橫截面上的彎曲正應(yīng)力計算公式：推導(dǎo)過程簡單總結(jié)：（三方面）（5）對于用鑄鐵、木材以及混凝土等材料制成的梁，在應(yīng)用上述公式時，都帶有一定的近似性。（2）應(yīng)用公式時，通常M和y都用絕對值，所求點的應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，可根據(jù)梁的變形情況直接判斷。幾點說明（1）公式成立條件：材料在線彈性范圍內(nèi)，即（3）由公式推導(dǎo)可知，公式不僅適用于矩形截面梁，而且還適用于其它一些截面梁，如：圓截面梁、工字形截面梁、T字形截面梁，等等。（4）由于y、z軸就是橫截面的形心主軸，從而可得到啟示：當橫截面沒有對稱軸時，只要外力偶作用在形心主軸之一（例如

y軸）所構(gòu)成的縱向平面內(nèi)，上述公式仍適用。例5-1T形截面外伸梁尺寸及受力如圖所示。已知橫截面對中性軸的慣性矩Iz=5.33×106mm4。求跨中C截面上a、b、c點的彎曲正應(yīng)力。解：首先作剪力圖和彎矩圖，由圖可知，AB段為純彎曲。（拉）（壓）（中性軸上）（上側(cè)受拉）例5-2：懸臂梁如圖所示，在其下面有一個半徑為R的圓柱面，欲使梁彎曲后剛好與圓柱面貼合，但圓柱面不受力，問梁上該受什么荷載？大小等于多少？已知EIz為常量。l解：由題意可得，梁彎曲后其軸線變成圓弧線，即每個截面處的曲率半徑均為常量R，由曲率公式（5-1）§5-2橫力彎曲時梁的正應(yīng)力及其強度條件梁的合理截面一.橫力彎曲時梁的正應(yīng)力及其強度條件由于τ的存在，橫截面發(fā)生翹曲（§5-3）。平面假設(shè)不成立，且還有沿y的擠壓正應(yīng)力。由彈性力學結(jié)果表明，當l/h≥5時（細長梁），用（5-2）式計算以上梁跨中截面的最大正應(yīng)力，其誤差≤1.07%。所以工程中仍用純彎曲時的正應(yīng)力公式來計算橫力彎曲時的正應(yīng)力。但要注意，橫力彎曲時，彎矩是x的函數(shù)，所以等截面梁（5-3）（5-4）（5-5）Wz稱為彎曲截面系數(shù)，單位：m3則幾種常見截面的Wz其中：正應(yīng)力強度條件：(等直梁)由于σmax發(fā)生在|Mmax|橫截面的上、下邊緣處，而該處的τ=0或很?。ā?-3），且不計擠壓應(yīng)力，σmax點處于單向應(yīng)力狀態(tài)。（5-6）即材料的彎曲許用正應(yīng)力塑性材料：脆性材料：拉、壓強度不等，應(yīng)近似地分別用材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力來代替材料的彎曲許用拉、壓應(yīng)力。脆性材料：例5-3材料為紅松，,按正應(yīng)力強度條件選擇b和h解：作彎矩圖，如圖所示由采用BACD1m1m1m已知：Iz＝5.493×107mm4，鑄鐵[σt]=30MPa，[σc]=90MPa。例5-4試確定此梁的許用荷載F。解：設(shè)F的單位為kN。86134B截面86134C截面40120180861342020C40120180861342020C86134B截面86134C截面所以最大壓應(yīng)力必定在B截面的下邊緣處Iz＝5.493×107mm4由此可得[σt]=30MPa[σc]=90MPa。40120180861342020C86134B截面86134C截面Iz＝5.493×107mm4則最大拉應(yīng)力一定在C截面的下邊緣處[σt]=30MPa[σc]=90MPa。由此可得故應(yīng)取已知：F1=8kN，F(xiàn)2=20kN，a=0.6m，Iz=5.33×106mm4

σbt=240MPa，σbc=600MPa，安全系數(shù)n=4。試：校核梁的強度。解：作彎矩圖，很容易求出：a許用應(yīng)力為：校核強度：截面A下邊緣：截面A上邊緣：截面C下邊緣：故：滿足強度要求由圖可得危險截面彎矩：練習已知：l=1.2m[σ]=170MPa，18號工字鋼，不計自重。練習求：F的最大許可值。解：作彎矩圖，得：故：查附錄型鋼表3，由：由圖可得：二.梁的合理設(shè)計由上式可見，降低最大彎矩、提高彎曲截面系數(shù)，或局部加強彎矩較大的梁段，都能降低梁的最大正應(yīng)力，從而提高梁的承載能力，使梁的設(shè)計更為合理。（一）合理配置梁的荷載和支座按強度要求設(shè)計梁時，主要是依據(jù)梁的正應(yīng)力強度條件工程中經(jīng)常采用的幾種措施：最大彎矩減小了50%輔梁x=0.207l的時候，最大彎矩減小了82.8%同理，合理地設(shè)置支座位置，也可降低梁內(nèi)的最大彎矩值a=0.2l的時候，最大彎矩減小了20%a=0.2l(二)選擇合理的截面形狀截面由可知，當彎矩確定時，橫截面上的最大正應(yīng)力與彎曲截面系數(shù)成反比。因此，在截面面積相同的條件下，選用各種不同截面形式，其中

越大越經(jīng)濟合理。型鋼除了要把中性軸附近的材料減少到最低限度以外，還應(yīng)當顧及材料本身的性能。脆性材料：應(yīng)選中性軸為非對稱軸的截面，例如：T形截面、槽型截面等，并將頂板置于受拉一側(cè)。塑性材料：應(yīng)選中性軸為對稱軸的截面，例如：工字形截面、圓環(huán)形截面、箱形截面等。不合理合理(三)合理設(shè)計梁的外形由等直梁的強度條件可知，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩為最大的橫截面上距中性軸最遠的各點處。也就是說，當最大彎矩截面上的最大正應(yīng)力達到材料的許用應(yīng)力時，其余各截面上的最大正應(yīng)力都還小于材料的許用應(yīng)力。因此，為了充分發(fā)揮材料的作用，并節(jié)約材料和減輕自重，將梁設(shè)計變截面的。例如，可在彎矩較大的部分進行局部加強。若使梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達到材料的許用應(yīng)力，通常稱為等強度梁。魚腹梁得§5-3梁的切應(yīng)力及其強度條件一、梁的切應(yīng)力即：切應(yīng)力分析方法：對切應(yīng)力分布規(guī)律作一些假設(shè)利用分離體的平衡條件水平切應(yīng)力橫截面上的切應(yīng)力1、矩形截面梁的切應(yīng)力（重點掌握）τ分布規(guī)律假設(shè)：(1)橫截面上各點處切應(yīng)力τ的方向均與截面?zhèn)冗?豎直邊)平行(2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布(即只與y的大小有關(guān))由彈性力學可以證實，當h大于b時，依據(jù)上述假設(shè)所得出的切應(yīng)力公式對于長梁是足夠精確的。x同理可得yA帶入并整理得到(5-7)計算時FS和Sz都以絕對值代入計算，而τ的指向與Fs指向一致yASz是距中性軸為y的橫線以下(或是以上)部分的橫截面面積對中性軸的靜面矩。FS為橫截面上的剪力；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；b為橫截面的寬度；(5-7)例5-5矩形截面懸臂梁如圖所示。試求C截面上1、2、3點的應(yīng)力，并用單元體示出各點的應(yīng)力狀態(tài)?！ぁぁぁぁぁそ猓篊截面的彎矩和剪力分別為1點：(拉應(yīng)力)2點：(拉應(yīng)力)(正負號與剪力一致)例5-5矩形截面懸臂梁如圖所示。試求C截面上1、2、3點的應(yīng)力，并用單元體示出各點的應(yīng)力狀態(tài)。······3點：繪出1、2、3點應(yīng)力狀態(tài)（單向應(yīng)力狀態(tài)）（復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)）（純剪切應(yīng)力狀態(tài)）2、工字形截面梁的切應(yīng)力(a)腹板上的切應(yīng)力（重點掌握）翼緣腹板腹板是狹長矩形，完全適用對矩形截面梁的切應(yīng)力分布所作的兩個假設(shè)。（5-9）（5-9）式中，d為腹板的厚度；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；Sz是距中性軸為y的橫線以下（或以上）部分的橫截面面積對中性軸的靜面矩；（y的二次函數(shù)）Sz，max是中性軸一側(cè)的半個橫截面面積對中性軸的靜面矩。型鋼查表：(中性軸處)(腹板與翼緣交界處)（5-10）(b)翼緣上的切應(yīng)力（5-11）（5-11）從右圖可見，橫截面上彎曲切應(yīng)力的指向，猶如源于上翼緣兩端的水流，經(jīng)由腹板，再分成兩股流入下翼緣的兩端。除非某點的切應(yīng)力為零，否則絕不會在該點相向或相背而流。通常把切應(yīng)力的這一特點稱為切應(yīng)力流。由狹長矩形組成的組合截面的切應(yīng)力二、切應(yīng)力強度條件等直梁：其中，是中性軸一側(cè)的橫截面面積對中性軸的靜面矩;注：彎曲正應(yīng)力強度條件一般起著控制作用，通常先按正應(yīng)力強度條件選擇梁的截面尺寸或許用荷載，再按切應(yīng)力強度條件進行校核。b為橫截面在中性軸處的寬度或厚度;Iz為橫截面對中性軸的慣性矩。(一般位于中性軸處)（5-17）例5-6矩形截面簡支梁受力如圖。材料為紅松，其彎曲許用正應(yīng)力，順紋許用切應(yīng)力。試選擇梁的截面尺寸。解：(1)繪梁的剪力圖和彎矩圖(2)按正應(yīng)力強度條件選擇截面尺寸得從而(3)按切應(yīng)力強度條件選擇截面尺寸得又故取例5-6矩形截面簡支梁受力如圖。材料為紅松，其彎曲許用正應(yīng)力，順紋許用切應(yīng)力。試選擇梁的截面尺寸。例5-7跨度為6m的簡支梁，是由32a號工字鋼在其中間區(qū)段焊上兩塊100mm×10mm×3000mm的鋼板制成。材料均為Q235鋼，其，，試校核該梁的強度。解：求反力，并繪剪力圖和彎矩圖正應(yīng)力強度校核D截面：查表：32a工字鋼查表：32a工字鋼C左截面：相對誤差：切應(yīng)力強度校核(AC段)故該梁是安全的例5-8

跨度l=4m的箱形截面簡支梁受力如圖。該梁是用四塊木板膠合而成。彎曲許用正應(yīng)力[s]=10MPa，順紋許用切應(yīng)力[t]=1.1MPa；膠合縫許用切應(yīng)力[t膠]=0.35MPa。試求該梁的許用荷載q的值。Iz＝1.474×108mm4

。解:(1)求最大彎矩和最大剪力（其中q的單位：kN/m）(2)按正應(yīng)力強度計算q的值(3)再按切應(yīng)力強度進行校核中性軸以下半個橫截面面積對中性軸的靜面矩為：橫截面在中性軸處寬度b＝2×45＝90mm底板的面積對中性軸的靜面矩為：膠合處截面的寬度b＝2×45＝90mm，故膠合縫的切應(yīng)力為：故該梁的許用荷載集度q＝6.14kN/m。練習：

梁由鋼板焊接而成，許用正應(yīng)力[s]＝120MPa，許用切應(yīng)力為[t]＝60MPa，其中橫截面對z軸的慣性矩Iz＝39.7×106mm4。試校核其強度。并作C左截面切應(yīng)力分布圖。0.5m2mBAC解：（1）求支座反力并畫內(nèi)力圖208040140202020yzC8211814082118202020yz最大正應(yīng)力發(fā)生在C截面的下邊緣處(2)正應(yīng)力強度校核正應(yīng)力滿足強度要求Iz＝39.7×106mm40.5m2mBAC208040最大切應(yīng)力發(fā)生在AC段任一橫截面的中性軸處z軸以下面積對z軸的靜面矩為14082118202020yz(3)切應(yīng)力強度校核Iz＝39.7×106mm4切應(yīng)力亦滿足強度要求，該梁安全。0.5m2mBAC208040（3）C左截面切應(yīng)力分布圖14082118202020yzaca點以右部分的腹板面積對z軸的靜面矩為c點以下一塊腹板的面積對z軸的靜面矩為§5-4梁的極限彎矩在§5-2中，對鋼梁進行強度計算時，是把梁橫截面上的最大正應(yīng)力達到鋼材的屈服極限ss作為整個梁的危險狀態(tài)的。此時在控制截面處的最外邊緣纖維達到屈服，其余部分的材料還在線彈性范圍內(nèi)工作，鋼梁還可以承受更大的荷載。下面將研究當考慮材料塑性時梁的承載能力。這里僅討論具有明顯屈服階段的塑性材料（如Q235鋼），它們在拉伸和壓縮時的s-

曲線通常簡化成如下圖所示。即認為屈服前材料服從胡克定律，屈服后不考慮強化，且拉伸和壓縮時的彈性模量E和屈服極限ss也分別相同。我們把具有這種s-

曲線的材料稱為理想彈塑性材料。純彎曲為方便起見，設(shè)梁的橫截面具有兩個對稱軸，外力偶作用在豎直縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。屈服彎矩Ms------由實驗證實，當梁超過彈性范圍進入塑性階段時，平面假設(shè)仍成立。這樣，縱向線應(yīng)變

沿截面高度必定是線性變化的。當把Me加大到一定程度時，最外邊緣處的線應(yīng)變首先達到

s，此時橫截面上的正應(yīng)力沿截面高度也是線性變化的，最外邊緣處的正應(yīng)力恰好等于

s。這就是§5-2中認為的整個梁已達到危險狀態(tài)。這時橫截面上的彎矩稱為屈服