電路 (第四版) 全套教學(xué)課件

目錄第1章基本概念與基本定律第2章電路的等效變換第3章電路的基本分析方法第4章電路定理第5章含運(yùn)算放大器電路分析第6章電容元件和電感元件第7章一階電路分析第8章二階電路分析第9章正弦量與相量全套可編輯PPT課件目錄第10章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析第11章三相電路第12章耦合電感電路第13章電路的頻率響應(yīng)第14章非正弦周期信號電路分析第15章拉普拉斯變換及其在電路中的應(yīng)用第16章電路的矩陣方程第17章二端口網(wǎng)絡(luò)第18章非線性電路簡介第1章基本概念與基本定律1.1電荷與電流1.2電壓1.3功率和電能1.4電路元件和電路模型1.5電阻元件和歐姆定律1.6電壓源和電流源1.7受控源1.8基爾霍夫定律

在電氣工程中,我們感興趣的問題是將能量(電能)或信息(電信號)從一個地方傳送到另一個地方,或者將它們由一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式。為了實現(xiàn)這些目的,必須采用一些實際的電路元件或器件,對它們進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪B接,這樣連接而成的對象稱為一個實際電路。例如,圖1-1所示為一個簡單的實際電路,組成它的基本元件是一個電池、一個燈泡和兩根導(dǎo)線。這樣的一個電路可以用于照明或信號指示等。

圖1-1-一個實際的電路

圖1-2所示是一個復(fù)雜的實際電路,它是由TB2204單片收音機(jī)集成電路、揚(yáng)聲器和若干個電阻、電容和電感等組成的一個實際的收音機(jī)電路。該電路可以將無線電信號轉(zhuǎn)換成聲音。

圖1-2TB2204調(diào)幅收音機(jī)電路

1.1電荷與電流

1.1.1-電荷的定義和特性在電路中,電荷是最基本的物理量,它是解釋眾多電現(xiàn)象的基礎(chǔ)。如用絲綢摩擦過的玻璃棒可以吸引輕小物體,雷雨天的打雷閃電,顯示屏幕上的圖像以及互聯(lián)網(wǎng)中的信息等,都是電荷作用的結(jié)果。電荷是組成物質(zhì)并具有電特性的一種微小粒子,電荷量(簡稱為電荷)的單位為庫侖(C,Coulombs)。

從普通物理學(xué)知道,所有物質(zhì)都是由原子組成的。原子由帶正電的原子核和一定數(shù)目繞核運(yùn)動的電子組成。原子核又由帶正電的質(zhì)子和不帶電的中子組成。質(zhì)子所帶正電量和

電子所帶負(fù)電量是等值的,通常用+e和-e表示。原子內(nèi)的電子數(shù)和原子核內(nèi)的質(zhì)子數(shù)是相等的,所以整個原子呈中性。

1.1.2電流的參考方向

在圖1-1所示的電路中,燈泡發(fā)光的原因是有持續(xù)不斷的電荷流過燈泡。電流就是電荷的流動。由于歷史的原因,人們規(guī)定正電荷流動的方向為電流的方向,實際上電路中流動的是電子,因為帶正電的原子核是不能移動的。但是人們?nèi)匀谎赜谜姾闪鲃拥姆较驗殡娏鞯姆较?。在分析一個電路時,有時很難判斷流過電路某部分或某一元件電流的實際方向,甚至有些電流的方向是隨時間變化的。為了便于分析,在電路中通常假設(shè)電流的方向,這個假設(shè)的方向稱為電流的參考方向。

圖1-3表示電路的一部分,其中長方框表示一個二端元件。假設(shè)流過這個元件電流i的參考方向為由a到b,如果計算得到i>0,則說明實際電流也是從a流到b;如果計算得到i<0,則說明實際電流從b流到a(和假設(shè)相反)。圖1-3電流的參考方向

1.1.3電流的定義

電流定義為電荷隨時間的變化率,單位為安培。電流定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中,q表示電荷;t表示時間,單位為秒(s)。

由電流的定義知,電流大小是電荷隨時間的變化率。如果電荷隨時間的變化率是常數(shù),則稱此電流為直流,即i(t)=I,如圖1-4(a)所示,如電池所提供的電流為直流。如果電荷隨時間的變化率是以正弦規(guī)律變化的,則稱此電流為正弦交流,簡稱為交流,如圖1-4(b)所示,如供電網(wǎng)對線性負(fù)載(在后續(xù)章節(jié)中會給出定義)提供的是交流電流。如果電荷隨時間的變化率是任意的,則可用對應(yīng)的時間函數(shù)來表示,即i(t)=f(t),如圖1-4(c)所示。

圖1-4電流的波形

例1-1已知流入電路中某點的總電荷為q(t)=[2tsin(10t)]mC,求流過該點的電流,并計算t=0.5s時的電流值。

解由電流的定義知

1.2電壓

1.2.1電壓的定義電荷移動就形成了電流,那么電荷在什么條件下才能移動呢?由物理學(xué)知道,處于電場中的電荷由于受到電場力的作用而產(chǎn)生了移動,這樣電場力對電荷就做了功。電場力對電荷做功的能力是由電壓來度量的。圖1-5(a)所示為電路中的任意兩點a和b,其兩點電壓的定義為:電壓在量值上等于將單位正電荷由a點移到b點電場力所做的功,單位為伏特(V,Volts)。

如果電場力是時間的函數(shù),則電壓也是時間的函數(shù),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中,w表示能量,單位為焦耳(J,Joules);q表示電荷,單位為庫侖(C)。1伏特表示1牛頓(N,Newton)的力可以將1庫侖(C)的電荷移動1米(m,meter)。

圖1-5電壓的定義與參考方向

電壓也稱為電位差,如果uab(t)>0,則說明在t時刻a點的電位比b點的電位高;如果uab(t)<0,則說明t時刻a點的電位比b點的電位低;如果uab(t)=0,則說明t時刻a點和b點的電位是相等的,即等電位。

如果電場力不隨時間變化,則電場力所做的功也不隨時間變化,此時的電壓為常數(shù),可表示為uab(t)=U,該電壓稱為直流(DC)電壓。若電壓隨時間按正弦規(guī)律變化,則稱為交流(AC)電壓。電壓也可以隨時間任意變化,即可以為任意時間函數(shù)f(t)。

1.2.2電壓的參考方向

在分析直流電路時,有時很難判斷電路中兩點間哪一點的電位高。對于正弦交流電路或電壓是任意時間函數(shù)變化的電路,因為電路中任意兩點間電位的高低是隨時間變化的,更是無法確定哪一點的電位高。因此,在分析電路前,首先應(yīng)假設(shè)電路中兩點間電壓的正方向(從高電位指向低電位),將這個假設(shè)的方向稱為該電壓的參考方向。圖1-5(b)所示為電路中連接到a、b兩點的一個二端元件,假設(shè)電壓的參考方向為uab(為簡單起見省去時間變量t)。如果計算得到uab>0,則說明在t時刻電壓的參考方向和實際方向相同;如果得到uab<0,則說明t時刻電壓的參考方向和實際方向相反。為簡化,可以省去u的下標(biāo)。電路中兩點間的電壓也可以用箭頭來表示,如圖1-5(c)所示。

電流和電壓是電路中兩個最為基本的物理量或變量。電流和電壓變量既可以表示能量,也可以表示信息。就是說,電流或電壓的大小和變化可以反映出能量的大小和變化;另外,電流或電壓的變化還可以反映出信息的變化。例如在電力系統(tǒng)中,研究電流、電壓的目的是從能量的角度出發(fā)的;而在通信等用于信息傳輸?shù)南到y(tǒng)中,主要考慮電流、電壓所攜帶的信息。在信息傳輸?shù)南到y(tǒng)中通常將電流、電壓變量稱為電流信號或電壓信號。

1.3功率和電能

1.3.1電功率的定義由物理學(xué)知道,功率是能量隨時間的變化率,即式中,p(t)表示功率,單位為瓦(W,Watts);w表示能量,單位為焦耳(J);t表示時間,單位為秒(s)。

將式(1-3)的分子和分母同乘以dq,即

可見,功率是電壓和電流的乘積,若電壓、電流是時間的函數(shù),則功率也是時間的函數(shù),即功率p(t)是隨時間變化的,該功率稱為瞬時功率;若電壓、電流不隨時間變化(DC),則功率也不隨時間變化,則p(t)=P=UI為定值。

由電壓的定義知,uab表示電場力將正電荷從a點移到b點,電場力在做正功。如圖1-6所示,正電荷q在電場E的作用下由正極板A移到負(fù)極板B,電荷移動就形成電流i。由電流的定義知,電流i的方向也是正電荷流動的方向。所以,式(1-4)表示的功率為正功率,即功率的定義是表示吸收(或消耗)的功率。

圖1-6電荷在電場中移動示意圖

1.3.2電壓、電流的關(guān)聯(lián)參考方向

為了分析方便,將電流、電壓的參考方向引入到功率的表達(dá)式中。如果給出電壓的參考方向為uab,即假設(shè)a點的電位比b點的電位高,正電荷從a移到b;如果假設(shè)功率為正,則電流的參考方向必須假設(shè)為由a到b。對于這種電流、電壓參考方向假設(shè)上的相互制約稱為關(guān)聯(lián)參考方向。如果電流、電壓的參考方向不滿足上述制約關(guān)系,則稱為不關(guān)聯(lián),此圖1-7電壓、電流的關(guān)聯(lián)參考方向時有

該式仍然滿足電場力做正功(功率為正)的思想。如圖1-7(a)所示電路中的電壓、電流是關(guān)聯(lián)參考方向,而圖1-7(b)則不關(guān)聯(lián)。圖1-7電壓、電流的關(guān)聯(lián)參考方向

1.3.3功率守恒與電能的計算

根據(jù)能量守恒定律,在一個完整的電路中,任一瞬時所有元件吸收功率的代數(shù)和等于零,即

由此可見,一個電路中吸收功率之和等于釋放功率之和。

根據(jù)式(1-4),一個元件從t0時刻到t時刻吸收的電能為

在實際中,電能的度量單位為度,即

1.4電路元件和電路模型

1.4.1電路元件的集總假設(shè)一個實際電路是由實際的電路元件、器件或設(shè)備構(gòu)成的。實際電路元器件端子上的電流和端子間的電壓反映出它們的電能消耗以及電能的存儲現(xiàn)象。電能消耗發(fā)生在元器件所有導(dǎo)體的通路中,電能存儲在元件或器件的電場或磁場之中。

一般情況下,耗能與儲能現(xiàn)象往往是同時存在的,且發(fā)生在整個元件或器件之中,并常常是交織在一起的。為了簡化分析,將這些交織在一起的物理現(xiàn)象進(jìn)行分離,由此引入電路元件的集總假設(shè),即集總參數(shù)元件(簡稱集總元件)的概念。所謂集總參數(shù)元件,是指一個集總元件只表示一種基本物理現(xiàn)象,且可用數(shù)學(xué)方法定義,稱集總元件為“理想電路元件”,或簡稱為“理想元件”。

實際的電路中還有一類能產(chǎn)生能量或信息的元器件,如電池、發(fā)電機(jī)、信號源和晶體三極管等。如果用集總參數(shù)元件表示實際元器件中產(chǎn)生能量或信息的物理現(xiàn)象,則這類元

件稱為理想的有源元件。若理想電源的電壓或電流不受其他電量的控制,則稱該類電源為獨(dú)立源,否則稱為非獨(dú)立源或受控源(元件)。

前一類元件不能產(chǎn)生能量,而后一類元件可以產(chǎn)生能量。不能產(chǎn)生能量的元件稱為無源元件,能產(chǎn)生能量的元件稱為有源元件。

根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的不同,元件可分為線性元件和非線性元件,時不變元件和時變元件等。本書涉及的元件主要為線性元件。

有兩個接線端子的元件稱為二端元件(或一端口元件),上述元件均為二端元件。除二端元件外,實際中還有三端、四端元件等。

1.4.2電路模型

用理想電路元件表示一個實際元器件的過程稱為給元器件建模,如果對一個實際電路中的所有元器件進(jìn)行建模并保證它們之間的連接關(guān)系不變,就可得到一個理想化的電路,這樣的電路稱為電路模型。換句話說,電路模型中的元件均為理想元件。在分析實際電路前,首先要將實際電路理想化,即建立電路模型。在電路模型中元件與元件之間的連線也被理想化了。這里聲明,本書涉及的元件均為集總元件,研究的電路均為理想電路。

1.5電阻元件和歐姆定律

1.5.1電阻元件和歐姆定律的概念在電路中,最簡單的元件是電阻元件,簡稱為電阻。由物理學(xué)可知,將材料阻止電流流動(或?qū)щ娦阅?的物理性質(zhì)稱為電阻特性,該特性可以用一個理想的電路元件——電阻來表示。電阻是一個二端元件,記為R。另外一種解釋是,當(dāng)電流流過材料時,材料中消耗電能的現(xiàn)象可以用理想的電阻元件R來描述。

1.5.2線性電阻的特性

在任何時刻,如果式(1-9)的比值為常數(shù),則稱該電阻為線性電阻。線性電阻的符號如圖1-8(a)所示,它的伏安特性(VCR)如圖1-8(b)所示。

如果電阻上電壓和電流的參考方向是非關(guān)聯(lián)的,則歐姆定律表達(dá)式為

式中負(fù)號的意思說明假設(shè)某個變量的參考方向與實際相反。在分析電路時這點要特別注意。圖1-8線性電阻的符號和伏安特性

在任一瞬時,如果式(1-9)的比值不是常數(shù),則稱電阻為非線性電阻,圖1-9(a)所示為一種非線性電阻的伏安特性;若式(1-9)的比值隨時間變化,則稱電阻為時變電阻,線性時變電阻的伏安特性如圖1-9(b)所示。例如,半導(dǎo)體二極管的伏安特性是非線性的,如圖1-9(c)所示。如果非線性電阻的伏安特性不是通過u-i平面原點的直線,則其伏安特性可以寫為u=f(i)或i=h(u)。線性時變電阻的伏安特性可以寫為u(t)=R(t)i(t)或

i(t)=G(t)u(t)。

圖1-9非線性電阻和線性時變電阻的伏安特性

線性電阻有兩種極端情況。一種是當(dāng)R=∞(G=0)時,無論電阻兩端的電壓多大,流過電阻的電流恒為零,該情況稱為開路,其伏安特性如圖1-10(a)所示;另一種情況是當(dāng)R=0(G=∞)時,無論流過電阻的電流多大,它兩端的電壓恒為零,此時稱為短路,其伏安特性如圖1-10(b)所示。圖1-10表明,在u-i平面上,開路的伏安特性是u軸,短路的伏安特性是i軸。

圖1-10開路和短路的伏安特性

1.5.3電阻元件上的功率與能量

例1-3

已知一個阻值為51Ω的碳膜電阻接在電源電壓為12V的直流電源上,求流過該電阻的電流和所消耗的功率。

1.6電壓源和電流源

1.6.1電壓源的概念與伏安特性電路中兩個基本的物理量(或變量)是電壓和電流。如果用電壓變量表示理想電源產(chǎn)生能量的能力或信息變化的現(xiàn)象,則這種理想電源被稱為電壓源元件,簡稱電壓源。電壓源為二端有源元件。

電壓源兩端的電壓u(t)表示為

式中uS(t)為給定的時間函數(shù),電壓u(t)與通過它的電流無關(guān)。也就是說,它始終能提供一個按時間函數(shù)uS(t)變化的電壓,而電流則由和它連接的外電路決定。電壓源的符號如圖1-11(a)所示,正負(fù)號表示其參考方向。當(dāng)uS(t))=US時,說明電壓源的電壓不隨時間變化,稱為直流電壓源,符號如圖1-11(b)或圖1-11(c)所示,今后多用圖1-11(c)的符號。

圖1-11-電壓源的符號

當(dāng)電壓源和外電路相連時,如圖1-12(a)所示,設(shè)向外部提供的電流為i,參考方向如圖所示,則可以畫出電壓源的伏安特性或外特性。當(dāng)電壓源的端電壓u(t)是任意時間函數(shù)或直流時,它們的伏安特性分別如圖1-12(b)和(c)所示。

圖1-12電壓源的伏安特性

1.6.2電流源的概念與伏安特性

如果用電流變量表示理想電源產(chǎn)生能量的能力或信息變化的現(xiàn)象,則這種理想電源稱為電流源元件,簡稱為電流源。電流源輸出的電流i(t)為

式中iS(t)為給定的時間函數(shù),它向外提供的電流i(t)與它兩端的電壓無關(guān)。就是說,它始終能提供一個按時間函數(shù)iS(t)變化的電流,而電壓則由和它連接的外電路決定。電流源的符號如圖1-13(a)所示,箭頭表示其參考方向。當(dāng)iS(t)=IS時,說明電流源的電流不隨時間變化,稱為直流電流源,符號如圖1-13(b)所示。電流源為二端有源元件。

圖1-13電流源的符號

當(dāng)電流源和外電路相連時,如圖1-14(a)所示,此時電流源向外部提供一個電流i(t)=iS(t),設(shè)它兩端的電壓為u,參考方向如圖1-14(a)所示。電流源的伏安特性如圖1-14(b)和(c)所示。圖1-14(b)說明,在任意時刻t1,電流源的電流i(t)=iS(t1),電壓由外電路決定(根據(jù)外電路求得),由于iS(t)隨時間變化,iS(t1)直線也隨之變化;圖1-14(c)說明,電流源的電流i(t)=IS(直流)不隨時間變化,電壓同樣由外電路決定。

圖1-14電流源的伏安特性

1.6.3電壓源和電流源的功率

在圖1-12(a)中,由于電壓源電壓和電流的參考方向是非關(guān)聯(lián)的,因此電壓源所吸收的功率為

1.7受控源

1.7.1受控源的定義電路中,若元件的端電壓或輸出的電流是受其他電量控制的,則稱它們?yōu)槭芸卦椿蚍仟?dú)立電源。

1.7.2線性受控源

理想受控源的控制量是電壓或電流,被控量同樣是電壓或電流,所以理想受控源有4種類型,即電壓控制的電壓源(VCVS,Voltage-ControlledVoltageSource)、電壓控制的電流源(VCCS,Voltage-ControlledCurrentSource)、電流控制的電流源(CCCS,Current_x0002_ControlledVoltageSource)和電流控制的電壓源(CCVS,Current-ControlledCurrent

Source)。它們的符號分別如圖1-15(a)、(b)、(c)和(d)所示。為了和獨(dú)立源區(qū)別,受控源符號用菱形表示。

圖1-15受控源的符號

由于受控源同樣能對外電路提供能量,所以它們也被稱為有源元件。

獨(dú)立電源和非獨(dú)立電源的區(qū)別為:獨(dú)立電源的電壓或電流是由其他能量形式轉(zhuǎn)換而來的,和電路中的其他電量無關(guān);而非獨(dú)立電源(受控源)的電壓或電流是受電路中其他電量

(電壓或電流)控制的。

獨(dú)立或非獨(dú)立電源均為理想電源元件。就理想電源而言,它們可以向外部提供無限大的能量。一個理想的電壓源(獨(dú)立的或非獨(dú)立的),能向外部提供任意大小的電流,而電壓為給定的值或函數(shù);一個理想的電流源(獨(dú)立的或非獨(dú)立的),它向外部提供的電流為給定的值或函數(shù),而端電壓由外電路決定。

例1-4圖1-16所示是由單個晶體三極管組成放大器的簡化等效電路,已知R1=1kΩ,R2=2kΩ,輸入電壓ui(t)=50sin(1000t)mV,求放大器的輸出電壓uo(t)。圖1-16例1-4圖

解由圖1-16和歐姆定律知

1.8基爾霍夫定律

在集總參數(shù)電路中,元件之間均是由理想導(dǎo)線連接而成的。如果只關(guān)心由連接關(guān)系決定的VCR,便稱為連接約束,這種約束關(guān)系可用基爾霍夫定律來描述。當(dāng)電路中包括元件較多時,電路可以稱為網(wǎng)絡(luò)(電路和網(wǎng)絡(luò)有時可以混用),所以連接約束也稱為拓?fù)?連接關(guān)系)約束。

1.8.1支路、節(jié)點和回路的概念

在電路中,一個二端元件稱為一條支路(branch)。流經(jīng)支路的電流和支路兩端的電壓分別稱為支路電流和支路電壓,它們是電路分析中最基本的電路變量。圖1-17所示是由5個元件連接而成的電路,所以它有5條支路。常把多個二端元件

串聯(lián)的部分也稱為一條支路,如圖1-17中的元件C、D和E可看作一條支路,因為其中流過同一電流,這樣圖中支路可簡化為3條。

圖1-17支路、節(jié)點和回路

1.8.2基爾霍夫電流定律

KCL表明:對于集總參數(shù)電路中的任一節(jié)點,在任一瞬時,流入(或流出)該節(jié)點所有支

式中,ik(t)為流入(或流出)該節(jié)點的第k條支路的電流,N為和該節(jié)點相連的支路總數(shù)。代數(shù)和說明如果假設(shè)流入該節(jié)點的電流為“+”,則流出該節(jié)點的電流就為“-”。

圖1-18電路中的一個節(jié)點

例如,圖1-18所示為電路中的一個節(jié)點,設(shè)流出該節(jié)點的電流為正,流入的電流為負(fù),則根據(jù)KCL有

上式可改寫為

可見,流入一個節(jié)點的所有電流等于流出該節(jié)點的所有電流。所以KCL也可以敘述為:在任一瞬時,流出一個節(jié)點的所有電流之和等于流入該節(jié)點的所有電流之和。

KCL的依據(jù)是電荷守恒定律。一個節(jié)點是電路中理想導(dǎo)線的連接點,在任一瞬時,流出該節(jié)點的電荷量等于流入的電荷量,因為在該節(jié)點上既不能存儲電荷也不能產(chǎn)生電荷。

在一個電路中,KCL不僅適用于一個節(jié)點,同時也適用于一個閉合面,即在任一瞬時,流入(或流出)一個閉合面電流的代數(shù)和為零;或者說,流出一個閉合面的電流等于流入該閉合面的電流之和。這是KCL的推廣。

例如,在圖1-19中虛線所示為一個閉合面,在該閉合面上根據(jù)KCL,設(shè)流入該閉合面的電流為正,則

同樣根據(jù)電荷守恒定律可以解釋KCL適合于閉合面。

因為在任一瞬時,閉合面中的每一元件上流出的電荷等于流入的電荷,每一元件存儲的凈電荷為零,所以整個閉合面內(nèi)部存儲的凈電荷為零。

圖1-19KCL的推廣

圖1-20例1-5圖

1.8.3基爾霍夫電壓定律

KVL表明:在集總參數(shù)電路中,任一瞬時,任一回路中所有支路電壓的代數(shù)和為零,即

式中,uk(t)為回路中的第k條支路的支路電壓,N為回路中的支路數(shù)。經(jīng)過任一回路所有支路的方向可以順時針也可以逆時針(繞行方向)。代數(shù)和說明,當(dāng)沿回路所經(jīng)過支路電壓的參考方向和繞行方向一致時,該電壓前取“+”號,與繞行方向相反取“-”號。

圖1-21所示為某電路中的一個回路,設(shè)從a點出發(fā)以順時針方向(虛線箭頭所示)沿該回路繞行一圈,因為u2和u3的參考方向和繞行方向一致,取“+”號;u1-和u4的參考方向和繞行方向相反,取“-”號。則根據(jù)KVL有

KVL可以解釋為,任一時刻,對于電路中的任一回路而言,從該回路中的任一點出發(fā),當(dāng)繞行一圈回到出發(fā)點時,該點處的電壓降為零。KVL實質(zhì)上是能量守恒定律的體現(xiàn)。在一個電路中,KCL是支路電流之間

圖1-21-電路中的一個回路

例1-6

電路如圖1-22所示,求電路中的u1,u2和u3。圖1-22例1-6圖

例1-7電路如圖1-23所示,求電路中的u和i,并驗證功率守恒。圖1-23例1-7圖

本章討論了電路中的基本物理量,其中電壓和電流是電路中最為重要的兩個物理量(變量)。電壓和電流反映出電路(模型)元件上以及電路中各處的行為(響應(yīng)),同時它們描述了電路中能量或信息的變化規(guī)律。電路是由元件連接而成的,組成電路的基本元件分為無源元件(電阻)和有源元件(獨(dú)立電源和非獨(dú)立電源),它們是組成電路的最基本元件。電路中的電壓和電流遵循一定的規(guī)律,在電阻元件上遵循歐姆定律,電路中節(jié)點(或閉合面)上的電流遵循KCL,回路中的電壓遵循KVL,它們是電路中的基本定律,是分析電路的依據(jù)第2章電路的等效變換2.1電路等效的概念2.2

無源一端口的等效電阻2.3電壓源、電流源的串聯(lián)與并聯(lián)2.4實際電源模型和等效變換2.5電阻Y連接和△連接電路的等效變換

2.1電路等效的概念

在介紹電路等效概念之前,首先介紹一端口網(wǎng)絡(luò)(電路)的概念。設(shè)電路中的某個部分可以用兩端電路來表示,如圖2-1(a)所示。

圖2-1一端口網(wǎng)絡(luò)及其表示

有了一端口的概念以后,下面討論電路等效的概念。設(shè)一個復(fù)雜電路可以表示為圖2-2

所示的形式。由圖可見,左邊為一個含源一端口,右邊為一個無源一端口。設(shè)兩個一端口連接處(端口)的電壓和電流分別為u和i。電路等效的概念是,可以用兩個簡單的(或其他的)電路分別替代左右兩個一端口,替代的原則是替代前后端口電壓u和電流i的關(guān)系保持不變,即保持兩個端口的伏安特性不變。注意,等效僅僅是對端口而言的。

圖2-2

復(fù)雜電路的一端口表示

一端口電路等效的概念也可以推廣到多端電路的等效。對于一個多端電路,可以用另外一個端點個數(shù)相同的多端電路替代。替代的原則是,替代前后兩個多端電路對應(yīng)端子間

的電壓和對應(yīng)端子上的電流保持不變。這就是多端電路的等效。換句話說,多端電路的等效就是只要保持多端電路對應(yīng)端子間的電壓和對應(yīng)端子上的電流不變,一個多端電路就可以由另一個多端電路等效替代。

2.2

無源一端口的等效電阻

2.2.1無源一端口等效電阻的概念一個無源一端口N0包括兩種情況:其一是內(nèi)部僅含電阻的一端口;其二是內(nèi)部除了含有電阻外,還含有受控源。對于這樣的一端口N0可以用一個電阻等效替代。設(shè)無源一端口的電壓u和電流i如圖2-3(a)所示,其中u、i為關(guān)聯(lián)參考方向,則該無源一端口等效電阻的定義為

當(dāng)無源一端口作為電路的輸入端口(有時也稱為驅(qū)動點)時,等效電阻稱為輸入電阻Rin。注意,含有受控源一端口的等效電阻有時可能為負(fù)值。

求取一端口的等效電阻一般有兩種方法,即電壓法或電流法。電壓法是在端口外加一個電壓源uS,即設(shè)u=uS,然后求出在該電壓源作用下的電流i,如圖2-3(b)所示。電流法是在端口外加一個電流源iS,即設(shè)i=iS,然后求出在該電流源作用下的電壓u,如圖2-3(c)所示。最后根據(jù)式(2-1)就可以求出該一端口的等效電阻或輸入電阻。

圖2-3一端口的等效電阻

2.2.2

電阻元件的串聯(lián)與并聯(lián)

圖2-4(a)所示電路為n個電阻R1、R2、…、Rk、…、Rn的串聯(lián)連接電路,由于電阻串聯(lián)時,每個電阻中流過同一個電流,所以用上述的電流法可以求得等效電阻,即外加一個電流源iS,令i=iS,如圖2-4(b)所示。

圖2-4電阻的串聯(lián)

圖2-5電阻的并聯(lián)

根據(jù)式(1-10)和式(2-5),有

該式是電阻并聯(lián)時的分流公式?？梢?當(dāng)端口電流確定以后,流過每個電導(dǎo)(阻)的電流和其電導(dǎo)值成正比。如果n=2,即兩個電阻并聯(lián),其分流公式為

例2-1圖2-6(a)所示電路,已知uS=10V,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,R4=6Ω,求電壓u1和u3,電流i1、i3和i4。圖2-6例2-1圖

2.2.3含受控源一端口等效電阻的計算

對于內(nèi)部僅含電阻的一端口,用電阻串聯(lián)和并聯(lián)的方法可以求出端口的等效電阻。但是,如果一個一端口內(nèi)部除了電阻外還有受控源,則端口等效電阻的求取要復(fù)雜一些,這時就要嚴(yán)格按等效電阻的定義來計算。

例2-2-圖2-7(a)所示電路,求一端口的等效電阻。圖2-7例2-2圖

2.3電壓源、電流源的串聯(lián)與并聯(lián)

2.3.1電壓源的串聯(lián)與并聯(lián)圖2-8(a)所示為n個電壓源的串聯(lián),根據(jù)KVL有

圖2-8電壓源的串聯(lián)

下面分析電壓源能否并聯(lián)。圖2-9所示為兩個電壓源的并聯(lián)。如果u=uS=uS1=uS2,和電壓源的串聯(lián)類似,可以用一個電壓為uS

的電壓源等效替代,則uS是等效的電壓源。如果uS1≠uS2,則u≠uS1≠uS2,其結(jié)果違背了KVL,所以兩個不相等的電壓源是不允許并聯(lián)的。

圖2-9電壓源的并聯(lián)

2.3.2

電流源的串聯(lián)與并聯(lián)

首先研究電流源的并聯(lián)。圖2-10(a)所示為n個電流源的并聯(lián),根據(jù)KCL有

可見,當(dāng)n個電流源并聯(lián)時,可以用一個電流源iS等效替代,等效電流源如圖2-10(b)所示。如果iSk(k=1,2,…,n)與iS的參考方向一致,則前面取“+”號,否則取“-”號。

圖2-10電流源的并聯(lián)

圖2-11所示為兩個電流源的串聯(lián)。如果i=iS=iS1=iS2,則可以用一個電流源iS等效。如果iS1≠iS2,則i≠iS1≠iS2,由于違背了KCL,故兩個不相等的電流源是不允許串聯(lián)的。圖2-11電流源的串聯(lián)

2.3.3電壓源和電流源的串聯(lián)與并聯(lián)

由電壓源的定義知,電壓源兩端的電壓為定值US(DC)或者是給定的函數(shù)uS(t),而流過電壓源的電流則是由外電路決定的。所以當(dāng)一個電壓源和一個電流源串聯(lián)時,電壓源的電流就等于電流源的電流,如圖2-12(a)所示。因此,電壓源可以和電流源串聯(lián)。由電流源的定義知,當(dāng)電流源的電流為定值(IS)或者是給定的函數(shù)iS(t)時,它兩端的電壓由外電路決定。當(dāng)一個電流源和一個電壓源并聯(lián)時,電流源的電壓就等于電壓源的電壓,如圖2-12(b)所示。所以,電流源可以和電壓源并聯(lián)。

圖2-12-電壓源、電流源的串聯(lián)與并聯(lián)

2.4實際電源模型和等效變換

2.4.1實際電源的兩種模型圖2-13所示是一個實際的直流電源外接一個負(fù)載電阻RL的電路。當(dāng)RL=∞(開路)時,電源的輸出電壓u=uoc為最大值,電流i=0;隨著RL的減小,電源向外提供的電流i隨之增大,與此同時,電源自身的發(fā)熱也隨之增加;當(dāng)RL=0(短路)時,電源的端電壓u=0,此時電流i=isc為最大值,電源的發(fā)熱也達(dá)到最大值。

圖2-13外接負(fù)載的實際電源

電源發(fā)熱說明電流在其中流過時消耗了能量,根據(jù)1.5節(jié)的知識可知,耗能現(xiàn)象可以用電阻元件R來描述;如果將實際電源中產(chǎn)生能量的部分用電壓源描述,則實際電源可以用一個電壓源和一個電阻的串聯(lián)來表示,稱為等效模型Ⅰ,如圖2-14(a)所示。圖中uS=uoc為圖2-13所示實際電源的開路電壓,R=RS為實際電源的內(nèi)阻。

圖2-14實際電源的等效模型Ⅰ和伏安特性

圖2-15實際電源的等效模型Ⅱ和伏安特性

2.4.2

兩種電源模型的等效變換

因為實際電源兩種模型的伏安特性完全相同,所以模型Ⅰ和模型Ⅱ在a、b兩端是等效的,這樣兩個模型之間可以進(jìn)行等效變換。由以上分析可知等效變換的關(guān)系為

例2-3用電源變換法求圖2-16(a)所示電路中的電壓u。圖2-16例2-3圖

例2-4用電源變換求圖2-17(a)中的電流i。

解通過電源變換由圖2-17(a)依次得到圖2-17(b)、(c)和(d),注意有伴受控源的等效變換,然后根據(jù)圖2-17(d)和KVL,有

圖2-17例2-4圖

2.5電阻Y連接和△連接電路的等效變換

圖2-18橋式連接電路

圖2-19(a)和圖2-19(b)所示分別為Y形和△形連接電路。圖2-19Y和△連接電路

例2-5電路如圖2-20(a)所示,用Y△變換求電路中的電流i。

本章學(xué)習(xí)了電路等效的概念,等效是電路分析的一種方法,利用它可以將一個復(fù)雜的電路變換成一個簡單的電路。無論是二端(一端口)或者多端電路,等效的原則是對應(yīng)端點之間的電壓和對應(yīng)端點上的電流相等,就是說,等效是對端點而言的。等效是對端點的外部等效,對內(nèi)則不等效。對于一個不含獨(dú)立源的一端口,可以用一個電阻等效;一個實際的電源可以用兩種模型進(jìn)行等效,即電壓源和電阻的串聯(lián)或電流源和電阻(電導(dǎo))的并聯(lián);Y形連接和△連接的電阻之間可以進(jìn)行等效變換。第3章電路的基本分析方法3.1電路的拓?fù)潢P(guān)系3.2電路KCL和KVL方程的獨(dú)立性3.3-支路電流法3.4網(wǎng)孔電流法和回路電流法3.5節(jié)點電壓法

3.1電路的拓?fù)潢P(guān)系

3.1.1圖的初步概念

圖(Graph)是節(jié)點和支路的集合。在圖G中支路用線段(直線段或曲線段)表示,支路和支路的連接點稱為節(jié)點。在圖論中,節(jié)點稱為頂點,支路稱為邊。注意:在圖的定義中允許獨(dú)立的節(jié)點存在,即沒有支路和該節(jié)點相連,獨(dú)立節(jié)點也稱為孤立節(jié)點;在圖G中,不允許不和節(jié)點相連的支路存在,就是說,任何支路的兩端必須落在節(jié)點上。

如果移去一個節(jié)點,就必須把和該節(jié)點相連的所有支路均移去,移去一條支路則不影響和它相連的節(jié)點(若將和某一節(jié)點相連的所有支路均移去,則該節(jié)點就變成了孤立節(jié)點)。若一條支路和某節(jié)點相連稱該支路和該節(jié)點相關(guān)聯(lián),那么和一個節(jié)點所連的所有支路稱為這些支路和該節(jié)點相關(guān)聯(lián)。

例如圖3-1所示的圖,在圖G1中有4個節(jié)點、6條支路;圖G2中有5個節(jié)點和5條支路,節(jié)點⑤是孤立節(jié)點。如果在圖G1中移去節(jié)點④,則和它關(guān)聯(lián)的支路(3,5,6)均要移去,這樣圖G1就變成圖G3;如果在圖G1中分別移去支路2、3、6(和它們關(guān)聯(lián)的節(jié)點不能移去),則圖G1就變成了圖G4。

圖3-1圖的概念說明圖

圖3-2是在圖3-1(a)圖G1的基礎(chǔ)上變換而來的,請判斷哪些圖是圖G1的樹,哪些不是,為什么?你能找出G1中剩余的樹嗎?

圖3-2圖3-1中G1的衍生圖

3.1.2電路模型和圖的關(guān)系

有了關(guān)于圖的初步知識以后,接下來學(xué)習(xí)如何利用圖的有關(guān)知識幫助我們分析電路。在實現(xiàn)這個目的之前,先研究如何將電路模型轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的圖。

在電路模型中,一個二端元件或若干個二端元件串聯(lián)所形成的分支稱為一條支路,兩個或兩個以上支路的連接點稱為節(jié)點。只要將電路中的支路用圖中的支路表示,電路中的

節(jié)點保持不變,這樣一個電路模型就可以轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的圖。

例如圖3-3(a)所示的電路可以轉(zhuǎn)換成圖3-3(b)所示的圖G。由于R2、R4、R5和受控的電壓源u3-均為二端元件,因此可以用不同的支路(2,4,5,3)分別表示它們;uS6和R6串聯(lián)形成一條支路,所以可用一條支路(6)表示;R1和iS1并聯(lián)也可以用一條支路(1)表示,因為利用電源變換可以將其變換成電壓源和電阻的串聯(lián)形式,所以有伴的電流源可以轉(zhuǎn)換成一條支路。可見,轉(zhuǎn)換后的圖G有4個節(jié)點、6條支路。要說明的是,由一個完整的電路所轉(zhuǎn)換成的圖G均是連通的。

圖3-3-電路模型到圖的例子

分析電路的目的是(最多)求出電路中所有支路上的電壓和電流。有了電路的圖G以后,對于圖G可以設(shè)出每條支路的電壓和電流,并標(biāo)出它們的參考方向,則圖G就變成有向圖。上例中圖G的有向圖如圖3-3(c)所示。有向圖中每條支路上的方向既表示該支路電壓的參考方向又表示電流的參考方向,并且電壓和電流的參考方向均是關(guān)聯(lián)的。

有了電路的有向圖以后,就可以列出圖中所有節(jié)點上的KCL方程和所有回路的KVL方程。

3.2電路KCL和KVL方程的獨(dú)立性

3.2.1電路KCL方程的獨(dú)立性對圖3-3(c)所示有向圖中的節(jié)點①、②、③、④分別列出KCL方程為

對于有n個節(jié)點b條支路的有向圖而言,KCL方程的獨(dú)立個數(shù)為n-1個。這是因為,n個節(jié)點的所有KCL方程之和為

可見,這n個KCL方程是非獨(dú)立的(線性相關(guān)),原因是支路電流ij(j=1,2,…,b)作為正負(fù)在所有的方程中各出現(xiàn)一次。

3.2.2電路KVL方程的獨(dú)立性

由上一節(jié)知,一個有n個節(jié)點、b條支路的連通圖G,其中的基本回路或獨(dú)立回路的個數(shù)為b-(n-1)。對于有n個節(jié)點、b條支路的有向圖或電路,任何樹的樹支數(shù)是n-1個,連支數(shù)是b-(n-1)個。如果所有回路均是單連支回路,并且和所有連支一一對應(yīng),則這些回路就是基本回路,基本回路是彼此獨(dú)立的,則基本回路對應(yīng)的KVL方程相互之間是獨(dú)立的。另一種解釋是,因為一個基本回路中僅含一條連支,所以連支電壓在各自的KVL方程中均是新變量,它不同于其他方程中的所有變量,所以基本回路的KVL方程彼此之間是獨(dú)立的。設(shè)獨(dú)立方程數(shù)的個數(shù)為l,則它等于連支數(shù)的個數(shù),即l=b-(n-1)。

對于一個有n個節(jié)點、b條支路的電路,設(shè)獨(dú)立回路數(shù)為l=b-(n-1),則

該式說明,將l個獨(dú)立的KVL方程相加,其結(jié)果必不等于零?？梢宰C明,若電路中任意數(shù)目的回路數(shù)g>l,上面求和(代數(shù)和)式中的部分KVL方程相加等于零,則說明這些部分方程之間是非獨(dú)立的。就是說,當(dāng)g>l時,g個KVL方程之間不是彼此獨(dú)立的,所以l是一個具有n個節(jié)點b條支路電路的最大線性無關(guān)KVL方程的個數(shù)。

例如,圖3-4是圖3-3(c)所示的有向圖,設(shè)支路1、4、5為樹支,則連支為2、3、6支路,這樣所有的單連支(獨(dú)立)回路為(2,1,4)、(3,1,4,5)、(6,5,4)。分別定義它們?yōu)榛芈穕1、l2和l3,

設(shè)所有回路的繞行方向均為順時針方向,則KVL方程依次為

再列出回路(2,3,5)的KVL方程為

則上述4個方程是非獨(dú)立的,因為由式(3-1a)和式(3-1b)中可得出式(3-1d)式。

3.3-支路電流法

分析電路的目的是已知電路求響應(yīng),一個電路中最多的響應(yīng)是所有支路上的電壓和電流。對于一個具有n個節(jié)點、b條支路的電路,它的全部響應(yīng)就是b條支路的電流和b條支路的電壓,所以總響應(yīng)(變量)為2b個。

由前面的分析知道,對于一個具有n個節(jié)點、b條支路的電路,可以列出n-1個獨(dú)立的KCL方程和b-(n-1)個獨(dú)立的KVL方程,兩者相加,其個數(shù)為b個。對于b條支路,利用每條支路上的VCR,又可以列出b條支路的約束方程,則列出的方程總數(shù)為2b個。利用這2b個方程可以求出該電路中2b個響應(yīng),所以該方法也稱為2b法。

為了減少方程數(shù),先以b條支路電流為未知變量,列出n-1個KCL方程,再用支路電流表示b-(n-1)個KVL方程中的各個電壓變量,這樣就得到b個關(guān)于支路電流的方程,然后再利用每條支路上的VCR求出b條支路上的電壓,所以該方法稱為支路電流法,簡稱支路法。

該方法的具體步驟介紹如下。

例如圖3-5(a)所示電路,該電路所對應(yīng)的有向圖如圖3-5(b)所示,圖中節(jié)點數(shù)n=4,支路數(shù)b=6。圖3-5支路電流法

最后需說明的是,若某支路由無伴的電壓源或電流源構(gòu)成,無法寫出該支路的VCR方程,就無法將該支路的電壓用支路電流來表示。對于無伴電壓源支路,因為支路電壓為已知,所以使問題簡單了;對于無伴電流源支路,因為支路電流是已知的,需要設(shè)出該支路的電壓然后再列方程,這樣問題就可以解決了。

3.4網(wǎng)孔電流法和回路電流法

由支路法知道,一個b條支路的電路要列b維方程組。例如圖3-5(a)所示電路必須列一個6維方程組。能不能在目的不變的情況下將方程的維數(shù)降下來呢?回答是肯定的。

已經(jīng)知道,一個具有n個節(jié)點b條支路的電路,由KCL能列出n-1個獨(dú)立方程,由KVL能列出b-(n-1)個獨(dú)立方程。若能設(shè)定一種變量只用KCL或者KVL方程,就可以將b維方程組降為n-1或b-(n-1)維方程組。本節(jié)的網(wǎng)孔電流法(簡稱網(wǎng)孔法)和回路電流法(簡稱回路法)就是只依據(jù)KVL間接地求出b條支路電流的方法。網(wǎng)孔法僅適用于平面電路,而回路法既適用于平面電路也適用于非平面電路。下面先介紹平面電路和非平面電路的概念。

就電路所對應(yīng)的圖G而言,如果圖G中支路和支路之間(進(jìn)行變換后)除了節(jié)點以外沒有交叉點,這樣的圖稱為平面圖,所對應(yīng)的電路稱為平面電路,否則稱為非平面圖或非平面電路。例如圖3-6(a)是一個平面圖,圖3-6(b)是一個非平面圖。圖3-1中的圖G1就是一個平面圖。

圖3-6平面圖和非平面圖

3.4.1網(wǎng)孔電流法

對于一個平面電路而言,網(wǎng)孔的個數(shù)就等于基本回路的個數(shù),對于較為簡單的平面圖,網(wǎng)孔和基本回路可以一一對應(yīng),而對于復(fù)雜電路,網(wǎng)孔的個數(shù)等于基本回路的個數(shù)(見習(xí)題3-3),因此,網(wǎng)孔上的KVL方程是相互獨(dú)立的。

網(wǎng)孔電流法(網(wǎng)孔法)是以網(wǎng)孔電流im為未知變量的。設(shè)平面電路有m個網(wǎng)孔,網(wǎng)孔電流的個數(shù)就等于獨(dú)立回路的個數(shù)[m=b-(n-1)],設(shè)網(wǎng)孔電流分別為im1、im2、…、imm。網(wǎng)孔電流是一種假想的變量,電路中所有支路電流可以用它們來表示。就是說,它們可以替換形式如式(3-6)中的電流ik,這樣KVL方程就變成以網(wǎng)孔電流為變量的方程。為了便于比較,仍然采用圖3-5(a)所示的電路,將支路3經(jīng)電源變換后其結(jié)果如圖3-7(a)所示,圖中uS3=R3iS3,圖3-7(b)是它的有向圖。

圖3-7網(wǎng)孔電流法

如果電路中含有無伴的電流源支路,由于電流源的端電壓為未知量,處理方法是設(shè)它的端電壓為u,這樣就多出一個電壓變量,由于無伴電流源的電流為已知,可以增加一個電流方程(或電流約束)。

根據(jù)上述,并設(shè)電路有m個網(wǎng)孔,網(wǎng)孔法的具體步驟可歸納如下。

例3-1電路如圖3-8所示,根據(jù)網(wǎng)孔法求電路中的電流i2,i3。圖3-8例3-1圖

再根據(jù)KCL,有

用所計算的結(jié)果進(jìn)行檢驗,例如在第2個網(wǎng)孔中根據(jù)KVL有

可見答案是正確的。

3.4.2回路電流法

網(wǎng)孔法只適用于平面電路,而回路電流法(回路法)既適用于平面電路也適用于非平面電路。對于任意電路所對應(yīng)的圖而言,當(dāng)選定樹以后,由單連支確定的回路是基本回路,根據(jù)基本回路可以列出其KVL方程。

回路法是以回路電流il為未知變量,變量的個數(shù)等于基本回路的個數(shù)[l=b-(n-1)],即回路電流分別為il1、il2、…、ill。和網(wǎng)孔電流相同,回路電流也是一種假想電流,而每個支路上的電流同樣可以用這些假想的電流來表示。例如在圖3-9所示的有向圖中,選樹為支路4,2,3,則連支為支路1、5、6,對應(yīng)的基本回路如圖3-9所示。

圖3-9回路電流和支路電流的關(guān)系

設(shè)回路電流分別為il1、il2和il3,由圖3-9知回路電流等于對應(yīng)的連支電流,其參考方向和連支電流的參考方向相同,即i1=il1、i5=il2、i6=il3,根據(jù)KCL,有

可見,所有支路電流均可以用假設(shè)的回路電流表示。

例3-2電路如圖3-10(a)所示,列出回路方程。圖3-10例3-2圖

例3-3-電路如圖3-11(a)所示,列出回路方程并整理。圖3-11例3-3圖

3.5節(jié)點電壓法

例如圖3-12(a)所示電路,圖3-12(b)是對應(yīng)的有向圖。

圖3-12節(jié)點電壓法

例3-4電路如圖3-13所示,列出該電路的節(jié)點電壓方程。圖3-13-例3-4圖

解選節(jié)點③為參考點,設(shè)節(jié)點①、②的節(jié)點電壓分別為un1、un2,將電阻寫成電導(dǎo)的形式,直接列出節(jié)點電壓方程,即

值得注意的是,電阻R1沒有被計入節(jié)點①的自導(dǎo)中,原因是節(jié)點電壓方程實質(zhì)上是KCL方程,和電流源串聯(lián)的電阻R1不會影響該支路電流的大小,所以也不會影響節(jié)點①的KCL方程,因此在列寫節(jié)點電壓方程時,要注意和電流源串聯(lián)的電阻(或電導(dǎo))不需要被計入。受控的電流源也是如此。

如果電路中含有無伴的電壓源支路,因為電壓源的電流為未知量,處理方法是設(shè)出它的電流i,這樣就多出一個電流變量,由于已知無伴電壓源的電壓,可以增加一個電壓方程(或電壓約束)。另外,對于電路中的受控源,將其先按獨(dú)立源對待列方程,然后將控制量用節(jié)點電壓變量表示,整理方程即可。

例3-5電路如圖3-14所示,試用節(jié)點法求圖中的電壓u。圖3-14例3-5圖

例3-6電路如圖3-15所示,試列出電路的節(jié)點電壓方程。圖3-15例3-6圖

本章討論了電路分析的基本方法,KCL和KVL是分析電路的基礎(chǔ),對于一個具有n個節(jié)點b條支路的電路,可以列出n-1個獨(dú)立的KCL方程和b-(n-1)個的獨(dú)立的KVL方程。由此得出分析電路的基本分析方法,即支路法、回路法(含網(wǎng)孔法)和節(jié)點法。利用支路法可以求出給定電路所有支路的支路電流,進(jìn)而可以求出所有支路的電壓;利用回路法(或網(wǎng)孔法)可以求出所有獨(dú)立回路(或網(wǎng)孔)的電流,從而可以間接地求出所有支路的電流和電壓;利用節(jié)點法可以求出n-1個節(jié)點到參考點的電壓,從而可以間接地求出所有的支路的電壓和電流。可見,利用基本分析方法能夠求出給定線性電路的全部響應(yīng)。對于

一個具體的電路,除指定以外,選用求解方法的原則是哪一種方法所列的電路方程少則選用哪一種。

因為本書分析的對象限定為線性電路,因而上述諸方法所列的方程均為線性方程,可將它們統(tǒng)一寫成矩陣的形式,即

式中,X分別表示支路電流、回路(或網(wǎng)孔)電流以及節(jié)點電壓的列向量,對于線性電路來說A是常系數(shù)矩陣,B是由電路中所有激勵組合而成的列向量。對于復(fù)雜電路,式(3-18)的維數(shù)將增加,此時可以借助計算機(jī)求解第4章電路定理4.1線性電路4.2疊加定理和齊性定理4.3替代定理4.4

戴維南定理和諾頓定理4.5特勒根定理4.6互易定理4.7最大功率傳輸條件4.8對偶原理

4.1線性電路

4.1.1線性電路的概念

由1.4節(jié)集總參數(shù)元件的概念知,集總參數(shù)元件是一類只表示實際元器件中一種基本物理現(xiàn)象的元件。如果元件的集總參數(shù)值不隨和它有關(guān)的物理量變化,這樣的元件稱為線性元件。例如,線性電阻的阻值不隨流過它的電流以及兩端的電壓而變化,線性受控源的系數(shù)也不隨控制量和被控量變化等。

4.1.2線性電路方程的性質(zhì)

對于線性元件或線性電路而言,描述它們的方程是線性方程。在數(shù)學(xué)中,如果一個函數(shù)(方程)既滿足齊次性又滿足可加性,則稱該函數(shù)是線性函數(shù),齊次性和可加性也是線性函數(shù)的兩個性質(zhì)。

4.2疊加定理和齊性定理4.2.1疊加定理圖4-1所示電路有兩個獨(dú)立源共同激勵,設(shè)3個響應(yīng)分別為i1、i2和u1并求解。圖4-1兩個獨(dú)立源激勵的電路

以i1、i2為變量列出電路的支路電流方程為

由克萊姆法則求解,得

圖4-2兩個獨(dú)立源分別作用的電路

由以上例子可以看出,當(dāng)線性電路中有多個獨(dú)立源共同作用(激勵)時,其響應(yīng)等于電路中每個獨(dú)立源單獨(dú)作用時響應(yīng)的代數(shù)和(線性組合);當(dāng)一個獨(dú)立源單獨(dú)作用時,其他所有的獨(dú)立源均置零(即電壓源短路,電流源開路)。這就是線性電路的疊加定理。一個獨(dú)立源單獨(dú)作用,其他獨(dú)立源置零,實質(zhì)上是將原有的電路簡化了,可見疊加定理是通過許多簡化的電路間接求解復(fù)雜電路響應(yīng)的過程。

功率不滿足疊加定理,例如對圖4-1所示電路,則有

這是因為功率的表達(dá)式是非線性方程。

例4-1試用疊加定理求圖4-3(a)所示電路中的I和U。圖4-3例4-1圖

例4-2試用疊加定理求圖4-4(a)所示電路中的電壓u。圖4-4-例4-2圖

解兩個獨(dú)立源分別作用的電路如圖4-4(b)和圖4-4(c)所示。注意受控源應(yīng)保留在電路中,因為控制量改變了,所以受控源的被控量也要隨之改變。對于圖4-4(b)有

4.2.2齊性定理

由式(4-8)可知,當(dāng)有多個獨(dú)立源同時激勵時,電路中的任一響應(yīng)(電壓或電流)等于所有獨(dú)立源單獨(dú)激勵時響應(yīng)的疊加。如果只有一個獨(dú)立源激勵,即在式(4-8)中只保留一個獨(dú)立源,令其他獨(dú)立源均為零,則電路中的任一響應(yīng)為hkujuSj或hkipiSp。由此可見,若激勵增大或減小α

倍(α為實常數(shù)),則響應(yīng)也同樣增大或減小α倍,即響應(yīng)和激勵成正比。這就是線性電路的齊性定理。

另外,當(dāng)有多個獨(dú)立源激勵時,由式(4-8)還可以看出,若所有激勵同時增大或縮小α倍,則響應(yīng)也增大或減小α倍,即滿足齊性定理。這里要注意的是激勵必須“同時”增大或減小α倍,響應(yīng)才能增大或減小α倍。

例4-3求圖4-5所示梯形電路中的電流i5。圖4-5例4-3圖

解對于這樣的純電阻電路,傳統(tǒng)的方法是通過電阻的串、并聯(lián)首先求出電流i1,然后通過逐步分流最后求出電流i5。如果利用齊性定理,先假設(shè)i'5=1A,然后逐步求出產(chǎn)生該電流所需的電源電壓,進(jìn)而可以求出電源變化的倍數(shù),最后求出實際的電流i5。由圖知

4.3替代定理

設(shè)圖4-6(a)是一個分解成N1和N2(均為一端口電路)的復(fù)雜電路,令連接端口處的電壓為uk,流過該端口的電流為ik。如果uk和ik為已知,則替代定理為:對于N1而言,可以用一個電壓等于uk的電壓源uS,或者用一個電流等于ik的電流源iS替代N2,替代后N1中的電壓和電流均保持不變,替代后的電路如圖4-6(b)和圖4-6(c)所示。同樣,對于N2而言,可以用uS=uk的電壓源或iS=ik的電流源替代N1,替代后N2中的電壓和電流均保持不變。

圖4-6替代定理

下面給出替代定理的證明。在兩個一端口的端子a、c之間反方向串聯(lián)兩個電壓源uS,如圖4-7(a)所示。如果令uS=uk,由KVL有ubd=0,說明b、d之間等電位,即可以將b、d兩點短接,結(jié)果就得到圖4-6(b)。如果在兩個一端口之間反方向并聯(lián)兩個電流源,如圖4-7(b)所示,并令iS=ik,再根據(jù)KCL就可以證明圖4-6(c)。

圖4-7替代定理的證明

圖4-8(a)所示電路是例4-1所求解的電路,應(yīng)用替代定理,用一個uS=U的電壓源替代a-b端口右邊的電路,如圖4-8(b)所示。已知uab=U=1V,可求出I=1/3A。圖4-8替代定理的應(yīng)用

4.4-戴維南定理和諾頓定理根據(jù)電路的基本分析方法,對于已知電路可以直接或間接地求出電路中的所有響應(yīng)。但是在實際問題中,電路中有一條特殊的支路(通常稱為負(fù)載支路),它的參數(shù)是變化的,而其他部分則固定不變。如交流電源插座上可以接不同的負(fù)載,而插座內(nèi)部電路相對固定;音頻功率放大器外部的負(fù)載(擴(kuò)音器)也是可以變化的,而功率放大器內(nèi)部則相對固圖4-9含源一端口以及外部電路定。為了避免對固定部分的重復(fù)計算,可以用戴維南或諾頓定理對固定不變的部分進(jìn)行等效簡化,使電路的分析簡化。這樣一類電路可以表示成圖4-9的形式。

圖4-9含源一端口以及外部電路

4.4.1戴維南定理

戴維南定理指出:一個含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口(含源一端口NS),對外電路或端口而言可以用一個電壓源和一個電阻的串聯(lián)來等效,該電壓源的電壓等于含源

一端口NS的開路電壓,其電阻等于將含源一端口內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后一端口的輸入電阻。

將圖4-9中的含源一端口NS開路,如圖4-10(a)所示,圖中uoc為它的開路電壓,圖4-10(b)是將圖4-10(a)內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后的無源一端口N0和它的等效電阻Req。根據(jù)戴維南定理,對于端口a-b而言,圖4-9中的NS可以等效成圖4-10(c)中所示的形式,即將NS等效成一個電壓源uoc和一個電阻Req的串聯(lián)。電壓源uoc和電阻Req的串聯(lián)電路稱為NS的戴維南等效電路,其中Req也稱為戴維南等效電阻。根據(jù)等效的概念,等效前后一端口a、b之間的電壓u和流過端點a、b上的電流i不變,即對外電路或負(fù)載電路來說等效前后的電壓、電流保持不變。可見,這種等效稱為對外等效。

圖4-11戴維南定理的證明

例4-4-電路如圖4-12所示,已知uS=36V,iS=2A,R1=R2=10Ω,

R3=3Ω,R4=12Ω,求電路中的電流i4。圖4-12例4-4圖

圖4-13例4-4求解圖

例4-5求圖4-14(a)所示含源一端口的戴維南等效電路。圖4-14-例4-5圖

再由歐姆定律和分流公式,有

4.4.2諾頓定理

諾頓定理指出:一個含有獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口NS,對外電路或端口而言可以用一個電流源和一個電導(dǎo)(或電阻)的并聯(lián)來等效,該電流源的電流等于NS端口的短路電流,電導(dǎo)(或電阻)等于將該含源一端口內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后的端口輸入電導(dǎo)(或電阻)。

圖4-15諾頓定理

例4-6電路如圖4-16(a)所示,求諾頓等效電路和戴維南等效電路。

圖4-16例4-6圖

4.5特勒根定理

特勒根定理是電路理論中對集總參數(shù)電路普遍適用的一條基本定理。和基爾霍夫定理一樣,特勒根定理只與電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān),與構(gòu)成電路元件的性質(zhì)無關(guān)。特勒根定理有兩種表述形式。

特勒根定理1:對于一個具有n個節(jié)點、b條支路的電路,設(shè)各支路的電壓與電流分別為(u1,u2,…,ub)和(i1,i2,…,ib),且各支路電壓與電流的參考方向相關(guān)聯(lián),則在任何時刻t,對于所有支路有

證明設(shè)一個具有4個節(jié)點6條支路的有向圖如圖4-17所示。圖4-17特勒根定理的證明

特勒根定理1說明:對于任意電路,在任意時刻t,所有支路功率的代數(shù)和為零。因為該定理的依據(jù)僅僅是電路(網(wǎng)絡(luò))的拓?fù)浼s束(KCL和KVL),和構(gòu)成支路元件的性質(zhì)無關(guān),所以該定理對于由線性、非線性、時不變以及時變等元件構(gòu)成的集總參數(shù)電路(網(wǎng)絡(luò))都適用。

定理2說明:在兩個具有相同拓?fù)涞碾娐?網(wǎng)絡(luò))中,一個電路的支路電壓與另一電路對應(yīng)支路電流乘積的代數(shù)和為零,或者是同一電路在不同時刻所有支路電壓與其支路電流乘積的代數(shù)和為零。因為是兩個支路元件不同的電路,所以該定理不能用功率守恒來解釋,但式(4-15)和式(4-16)仍然具有功率的量綱,所以定理2又被稱為“似功率定理”。

例4-7設(shè)有兩個相同的且僅由電阻構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)N0,已知它們的外部接有電阻和電源元件,并獲得部分響應(yīng)數(shù)據(jù),外部元件的連接關(guān)系與響應(yīng)結(jié)果數(shù)據(jù)如圖4-18(a)和(b)所示,根據(jù)特勒根定理試求圖4-18(b)中的電壓U。圖4-18例4-7圖

解可以將圖4-18(b)中的有伴電流源看成一條支路,則圖4-18(a)和(b)就具有相同的拓?fù)?。設(shè)圖4-18(a)為網(wǎng)絡(luò)N,圖4-18(b)為網(wǎng)絡(luò)N^,并令網(wǎng)絡(luò)N0外部的支路分別為支路1和2,N0內(nèi)部的支路編號為3~b,則它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖分別如圖4-19(a)和(b)

所示。

注意:在應(yīng)用特勒根定理時,各對應(yīng)支路電壓和電流的參考方向一定要關(guān)聯(lián),如果非關(guān)聯(lián),則相應(yīng)乘積項的前面應(yīng)加一負(fù)號。

4.6互易定理

圖4-20互易定理形式1

圖4-22互易定理形式3

需要注意的是,在應(yīng)用互易定理時,電路中只能有一個獨(dú)立源激勵,N0僅為電阻網(wǎng)絡(luò),若其中含有受控源,一般情況下互易定理不成立,同時要注意激勵源與響應(yīng)的參考方向。

例4-8求圖4-23(a)所示電路中的電壓u。圖4-23例4-8

4.7最大功率傳輸條件

電路有兩大基本功能,一是傳遞和處理信息,二是傳輸和轉(zhuǎn)換能量。就能量而言,人們關(guān)心的是能量傳輸和轉(zhuǎn)換的方式以及傳輸和轉(zhuǎn)換的大小。例如,當(dāng)含源一端口外接負(fù)載時,關(guān)心的問題之一是含源一端口能將多大的功率傳輸給負(fù)載。一般來說,含源一端口內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是不變的,而外接負(fù)載是可變的,問當(dāng)負(fù)載變到何值時負(fù)載可以獲得最大功率。

例4-9電路如圖4-25(a)所示,求RL為何值時它可以獲得最大功率。圖4-25例4-9圖

4.8對偶原理

電路分析的目的是已知電路求響應(yīng),其基本方法是首先設(shè)出電路中的變量,然后依據(jù)電路定律和支路上的VCR得出一個具體電路的等量關(guān)系,由此列寫(或推導(dǎo))出分析電路的等式或方程式。在電路分析中,電路元件、參數(shù)、變量、定律、定理和電路方程之間存在著一些類似的關(guān)系,將這種類似關(guān)系稱為電路中的對偶性或?qū)ε荚怼?/p>

由歐姆定律知,電阻R的VCR為u=Ri,在該式中若分別用電流i換電壓u、u換i、電導(dǎo)G換電阻R,可得出i=Gu,這就是電導(dǎo)的VCR。若給定一個電路等式或方程式,經(jīng)過替換后所得新的等式或方程式仍然成立,則稱后者為前者的對偶式,將可以替換的元件(參數(shù))、變量等稱為對偶對。如在上述替換中,u=Ri和i=Gu是對偶式,而u和i、R和G分別為對偶對。

圖4-26串聯(lián)和并聯(lián)電路的對偶

另外,如圖4-27(a)所示電路,由網(wǎng)孔法得網(wǎng)孔電流方程為

若用對偶對替換上式中的各量,得

該式就是圖4-27(b)所示電路的節(jié)點電壓方程。

圖4-27網(wǎng)孔法和節(jié)點法對偶的電路

由以上分析知,在已知關(guān)系的條件下,若用對偶對替換這些關(guān)系中的對應(yīng)量以后,所得的關(guān)系仍然成立,這樣的關(guān)系稱為對偶關(guān)系,替換前后的關(guān)系(或方程)互為對偶。電路中的這種對偶關(guān)系就是對偶原理。從數(shù)學(xué)意義上講,對偶關(guān)系式是相同的,但從電路分析的意義上來說,它們描述著不同的電路。

由對偶原理知,若在電路中得到了某種關(guān)系或結(jié)論,則在它的對偶電路中也存在著類似的關(guān)系或結(jié)論,所以利用對偶原理能夠給分析電路帶來一定的方便。讀者在學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)注意總結(jié)和發(fā)現(xiàn)電路中的對偶關(guān)系,這樣有助于對電路關(guān)系(公式)的記憶和理解。但需要注意“對偶”和“等效”的概念是不同的。

由本章的分析知道,電路定理可以使電路的分析簡單化。疊加定理是將多個獨(dú)立源共同激勵的電路簡化成多個獨(dú)立源單獨(dú)激勵的電路,從而使電路的分析簡單化,但該定理使電路的分析變得繁瑣了。若電路中只有激勵變化,而結(jié)構(gòu)和參數(shù)均不變,用齊性定理可以求得激勵變化條件下的響應(yīng)。替代定理為復(fù)雜電路的簡化提供了一條途徑。用戴維南或諾頓定理可以將含源的一端口電路進(jìn)行等效簡化,從而使含源一端口外部電路的求解得以簡化。在電路中,當(dāng)只有負(fù)載變化時,根據(jù)最大功率傳輸?shù)臈l件,可以知道負(fù)載變化到何值時負(fù)載上可以獲得最大功率。對偶原理有助于對電路關(guān)系和公式的記憶和理解第5章含運(yùn)算放大器電路分析5.1運(yùn)算放大器的電路模型5.2含理想運(yùn)放的電阻電路分析

5.1運(yùn)算放大器的電路模型

運(yùn)放是一個多端的實際電路器件,它的符號如圖5-1所示,其中圖5-1(a)左端實線部分為圖形符號,圖5-1(b)為功能圖或電路圖。在圖5-1(a)中,“三角形”表示“放大”,a和b分別是反相和同相輸入端,o為輸出端,+E、-E分別為正負(fù)工作電源的輸入端,G為公共端或“地”;圖5-1(b)中,u-和u+分別表示反相和同相輸入電壓,uo為輸出電壓。

圖5-1運(yùn)放的圖形符號

圖5-2運(yùn)放的電路模型

理想運(yùn)放的符號如圖5-3所示,圖中的“∞”表示理想化。

可見,在理想條件下反相輸入端和同相輸入端的電位是相等的,電位相等即相當(dāng)于短接(但又沒短路),所以稱為“虛短”。

另外,又因為Ri=∞,所以反相輸入端的電流和同相輸入端的電流均為零,即

電流為零,即相當(dāng)于斷開(但又沒斷路),所以稱為“虛斷”。虛短和虛斷是分析含理想運(yùn)放電路的兩個重要的條件,它們可以使含理想運(yùn)放電路的分析大為簡單。

運(yùn)放的輸出電壓uo與差模輸入電壓ud=u+-u-之間的關(guān)系稱為傳輸特性(或外特性),如圖5-4所示,其中圖5-4(a)為實際傳輸特性,圖5-4(b)為理想傳輸特性。圖5-4運(yùn)放的傳輸特性

5.2含理想運(yùn)放的電阻電路分析

5.2.1比例運(yùn)算電路電路如圖5-5所示,該電路可以實現(xiàn)反相比例運(yùn)算。圖5-5-反相比例運(yùn)算電路

下面來研究圖5-6所示的電路,該電路可以實現(xiàn)同相比例運(yùn)算。圖5-6同相比例運(yùn)算電路

可見,輸出電壓等于輸入電壓,此時同相比例放大電路稱為電壓跟隨器(uo跟隨ui變化)。可以同時令R2=0和R1=∞,則圖5-6電路就變?yōu)閳D5-7所示電路,稱為電壓跟隨器。圖5-7電壓跟隨器

圖5-8電壓跟隨器的隔離作用

5.2.2加法運(yùn)算與減法運(yùn)算電路

除比例運(yùn)算外,由運(yùn)放還可以構(gòu)成加法與減法運(yùn)算電路。如圖5-9所示電路,可以實現(xiàn)加法運(yùn)算。圖5-9加法運(yùn)算電路

可見,輸出電壓與兩個輸入電壓比例的差值成正比,由此可實現(xiàn)減法運(yùn)算,所以圖5-10稱為減法運(yùn)算電路。

圖5-10減法運(yùn)算電路

例5-1列出圖5-11所示電路的節(jié)點電壓方程,并寫出輸出電壓與輸入電壓的關(guān)系。圖5-11例5-1圖

本章介紹了運(yùn)放的電路模型、傳輸特性以及含理想運(yùn)放的電阻電路分析方法。運(yùn)放是一種具有很高開環(huán)電壓放大倍數(shù)、高輸入電阻和低輸出電阻的集成電路器件;由理想運(yùn)放

得出u+=u-(稱為虛短)、i-=i+=0(稱為虛斷),它們是分析含理想運(yùn)放電路的兩個重要依據(jù)。分析含理想運(yùn)放的方法可以根據(jù)虛短和虛斷的條件,列出KCL或節(jié)點電壓方程求解,得出輸出電壓和輸入電壓的關(guān)系。第6章電容元件和電感元件6.1電容元件6.2電感元件

6.1電容元件

6.1.1電容元件及其電壓、電流關(guān)系線性電容元件(簡稱為電容)的符號如圖6-1(a)所示。對于線性電容而言,電容上的電荷q與它兩端的電壓u成正比,即式中C為電容(參數(shù)),是一個正常數(shù)。當(dāng)電荷的單位為庫侖(C,簡稱庫),電壓的單位為伏(V)時,電容的單位為法拉(F,Farads,簡稱法)。

若以電壓u為橫坐標(biāo),以電荷q為縱坐標(biāo),則電容上的q－u關(guān)系為通過坐標(biāo)原點的一條直線,如圖6-1(b)所示,該直線稱為線性電容的庫伏特性。換句話說,線性電容上電荷q與電壓u之比等于常數(shù)C。如果q、u之比不是常數(shù),這種電容稱為非線性電容。本書所涉及的均為線性電容。

圖6-1電容元件的符號及庫伏特性

設(shè)流過電容的電流為i,它與電壓u為關(guān)聯(lián)方向,如圖6-1(a)所示。根據(jù)電流的定義式(1-1)和式(6-1)可得電容元件的VCR,即

可見,流過電容的電流i和其上電壓的變化率成正比。若u=U(為直流),則i=0,故電容對直流相當(dāng)于開路,所以電容有隔斷直流(簡稱隔直)的作用。另外可知,電容上的電壓必須是連續(xù)的。

例6-1已知電容上的電壓為u(t)=310sin(314t)V,C=100μF,求流過該電容的電流。

解根據(jù)式(6-2),有

電容上的電荷可以由式(6-2)求得,即

例6-2如圖6-2(a)所示電容,已知C=0.5F,流過電