工程力學(xué)2材力部分課件week 0601

1§9-4歐拉公式的應(yīng)用范圍·

臨界應(yīng)力總圖歐拉臨界應(yīng)力λ稱為柔度，無(wú)量綱。1.歐拉公式的應(yīng)用范圍22)柔度越大，1)柔度λ中包含了除材料之外壓桿的所有信息，是壓桿本身的一個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)；壓桿越細(xì)柔，臨界應(yīng)力σcr越低，性越差。穩(wěn)定3λP僅與材料有關(guān)?？梢允褂脷W拉公式計(jì)算壓桿的臨界力的條件是：對(duì)于Q235鋼λP

100。越是細(xì)柔的壓桿，柔度λ越大，公式計(jì)算壓桿的臨界力。越可以使用歐拉4σs折減彈性模量公式

σcr

O

λσpλp

歐拉公式

2）當(dāng)σcr>σP時(shí)，σ-ε曲線呈非線性，E降低，σcr比歐拉公式的計(jì)算結(jié)果為低。2.壓桿的臨界應(yīng)力總圖1）當(dāng)λcr≥λP時(shí)，可用歐拉公式計(jì)算σcr;5解：1）求BC桿的軸力以AB梁為分離體，對(duì)A點(diǎn)取矩，有：例：托架的撐桿為鋼管，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端球形鉸支，材料為Q235鋼，E=206GPa。試根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求，確定橫梁上均布載荷集度1m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ-

Ⅰ

截面

A

B

C

q

q之許可值。62）求BC桿的臨界力=16mm×2/cos30°16×103=144.3=707mm2。=181132mm4。7因?yàn)棣?gt;λP=100（前面已求得），故可用歐拉公式計(jì)算BC桿的臨界力。×181132(1.0×2/cos30°×103)21m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

A

B

C

q

=69kN≤Fcr

=69kN得：q=15.3kN/m8§9-5實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)1.影響實(shí)際壓桿穩(wěn)定性的因素初曲率壓力偏心殘余應(yīng)力2.穩(wěn)定許用應(yīng)力與柔度λ有關(guān)。

稱為穩(wěn)定因數(shù)，對(duì)于Q235，可查表獲得；對(duì)于木材，可查本章公式9-11、9-12獲得。9例：圖示長(zhǎng)3m、兩端球鉸支承的中心受壓直桿，由兩根110mm×70mm×7mm角鋼通過(guò)綴條及綴板聯(lián)成整體，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中的實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。已知該桿材料為Q235鋼，其強(qiáng)度許用應(yīng)力為[σ]=170Mpa。試求壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。解：（1）計(jì)算組合截面慣性矩。10

(2)確定壓桿柔度值。

由于Iz>Iy，說(shuō)明壓桿弱軸為y，強(qiáng)軸為z，應(yīng)以與y軸對(duì)應(yīng)的慣性半徑來(lái)計(jì)算柔度值。(3)

計(jì)算穩(wěn)定許可應(yīng)力。由λ＝97，查表9-3得11計(jì)算壓桿穩(wěn)定性時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：1）壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)約束的不同使μ值不同；3）注意壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)計(jì)算長(zhǎng)度l的不同。2）壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)中性軸的不同，計(jì)算過(guò)程中應(yīng)選用不同的慣性矩使I和i不同；12作業(yè)：習(xí)題9-9；練習(xí)：習(xí)題9-7。13§9-6壓桿的穩(wěn)定計(jì)算·壓桿的合理截面通常改寫(xiě)為:NOTE:

當(dāng)壓桿橫截面有局部削弱時(shí)，因壓桿的臨界力是根據(jù)整桿失穩(wěn)來(lái)確定的，故在穩(wěn)定計(jì)算中不必考慮局部截面削弱的影響，以毛面積進(jìn)行計(jì)算。但強(qiáng)度計(jì)算要以凈面積進(jìn)行計(jì)算。壓桿的穩(wěn)定條件：

F為壓桿所受軸向壓力；為壓桿穩(wěn)定因數(shù)；

A為壓桿的橫截面面積。

[σ]為壓桿材料的許用壓應(yīng)力。14

穩(wěn)定計(jì)算中，若已知壓桿的材料、桿長(zhǎng)和桿端的約束條件，而需選擇截面尺寸時(shí)，由于穩(wěn)定因數(shù)（或柔度λ）受截面形狀和大小的影響，通常采用試算法。例：一強(qiáng)度等級(jí)為T(mén)C13的圓松木，長(zhǎng)6m，中徑為300mm，其強(qiáng)度許用應(yīng)力為10Mpa?，F(xiàn)將圓木用來(lái)當(dāng)作起重用的扒桿（見(jiàn)圖），試計(jì)算圓木所能承受到的許可壓力值。解：（1）設(shè)在圖示平面內(nèi)失穩(wěn)15由公式（9-12a）得（2）設(shè)在垂直于紙面的平面內(nèi)失穩(wěn)許可壓力為公式（9-12b）所以，許可壓力為77kN。16解：（1）按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號(hào)碼例：廠房的鋼柱長(zhǎng)7m，上、下兩端分別與基礎(chǔ)和梁連接。由于與梁連接的一端可發(fā)生側(cè)移，因此，根據(jù)柱頂和柱腳的連結(jié)剛度，鋼柱的長(zhǎng)度因數(shù)取為μ＝1.3。鋼柱由兩根Q235鋼的槽鋼組成，符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中的實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。在柱腳和柱頂處用螺栓借助于連結(jié)板與基礎(chǔ)和梁連接，同一橫截面上最多有四個(gè)直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱承受的軸向壓力為270kN，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力為[σ]=170Mpa。試為鋼柱選擇槽鋼號(hào)碼。因λ=μl/i中，i待求，λ待定，故待定。采用試算法，假設(shè)

=0.5017查型鋼表得，14a號(hào)槽鋼：A

=18.51cm2，iz=5.52cm。該組合截面Iz和A均為單根槽鋼的2倍，故iz與單根的相同。查表9－3得，=0.262，故原假設(shè)0.50過(guò)大，需假設(shè)較小的

再試算。NOTE：不能采用

=0.262，因

減小，A增大，iz也增大，從而λ減小而

增大。因此，試用

=0.35進(jìn)行截面選取。18查型鋼表得，16b號(hào)槽鋼：A

=25.15cm2，iz=6.1cm。鋼柱的工作應(yīng)力為工作應(yīng)力僅超過(guò)穩(wěn)定許用應(yīng)力的1.5%，允許。查表9－3得，

=0.311，接近原假設(shè)0.35。按

=0.311核算，穩(wěn)定許用應(yīng)力為19（2）計(jì)算組合槽鋼間距h

以上計(jì)算基于iz，保證了壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定性。為保證其在xz平面內(nèi)的穩(wěn)定性，需選擇合適的組合槽鋼間距h。故所以

設(shè)壓桿在xy、xz兩平面內(nèi)的長(zhǎng)度因數(shù)相同，合理設(shè)計(jì)應(yīng)使iy與iz相等。查型鋼表得，16b號(hào)槽鋼：iy0

=1.82cm，z0=1.75cm。令iy=iz=61mm，得20（3）校核凈截面強(qiáng)度

被每個(gè)螺栓孔削弱的橫截面面積為凈截面上的壓應(yīng)力為

壓桿橫截面的凈截面面積為凈截面的強(qiáng)度滿足要求。21例：由Q235鋼加工成的工字型截面桿件，兩端為柱形鉸，即在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端鉸支，長(zhǎng)度因數(shù)μz=1.0；當(dāng)在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端固定，長(zhǎng)度因數(shù)μy=0.6。已知連桿在工作時(shí)承受的最大壓力為F=35kN，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力[σ]=206MPa,并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中a類中心受壓桿的要求。試校核

其穩(wěn)定性。

O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

22解：1)計(jì)算慣性半徑O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

235225222)計(jì)算柔度l2580iy5.05=68.9l1iz75011.58=64.8243)求穩(wěn)定因數(shù)取λy和λz中較大的λy來(lái)查表和計(jì)算（內(nèi)插法）：4)求穩(wěn)定許用應(yīng)力故該連桿滿足穩(wěn)定性要求。

此題中的連桿在兩個(gè)平面失穩(wěn)時(shí)的約束情況、計(jì)算

長(zhǎng)度和慣性矩都不同，應(yīng)分別計(jì)算其柔度以判斷其穩(wěn)定

性的強(qiáng)弱。

25提高壓桿穩(wěn)定性的措施σs折減彈性模量公式

σcr

O

λσpλp

歐拉公式

提高穩(wěn)定性，就要降低柔度。261.選擇合理的截面形狀√27√

A相同，d/D=0.8,Fbcr=4.5Facr（a）◎dD（b）282.合理調(diào)整約束

（1）各向柔度差不多少發(fā)動(dòng)機(jī)連桿29（2）降低相當(dāng)長(zhǎng)度3031

作業(yè)：習(xí)題9-12。32壓桿穩(wěn)定總結(jié)1.壓桿穩(wěn)定性的概念臨界狀態(tài)

——

壓桿從穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡之間的過(guò)渡狀態(tài)。臨界力Fcr

——

臨界狀態(tài)的軸向壓力。失穩(wěn)

——

壓桿失去穩(wěn)定平衡狀態(tài)的現(xiàn)象。332.細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式μ稱為長(zhǎng)度因數(shù)。μl稱為相當(dāng)長(zhǎng)度。34在確定的約束條件下，歐拉臨界力Fcr：2）是壓桿的自身的一種力學(xué)性質(zhì)指標(biāo)，反映承載能力的強(qiáng)弱，臨界力Fcr越高，穩(wěn)定性越好，承載能力越強(qiáng)；3）與外部軸向壓力的大小無(wú)關(guān)。1）僅與材料（E）、長(zhǎng)度(l)和截面尺寸(A)有關(guān)，材料的E越大，截面越粗，桿件越短，臨界力Fcr越高；約束越強(qiáng)，μ因數(shù)越小，臨界力Fcr越高，穩(wěn)定性越好；約束越弱，μ因數(shù)越大，臨界力Fcr越低，穩(wěn)定性越差。350.5l表9–1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向相對(duì)移動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀FcrABl臨界力Pcr歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)μμ=1μ

0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—撓曲線拐點(diǎn)C、D—撓曲線拐點(diǎn)0.5lFcrFcrl2llC—撓曲線拐點(diǎn)C363.歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉臨界應(yīng)力λ稱為柔度1)柔度λ中包含了除材料之外壓桿的所有信息，是壓桿本身的一個(gè)力學(xué)性能指標(biāo)；2)柔度越大，壓桿越細(xì)柔，臨界應(yīng)力σcr越低，性越差。穩(wěn)定37λP僅與材料有關(guān)?？梢允褂脷W拉公式計(jì)算壓桿的臨界力的條件是：384.實(shí)際壓桿的穩(wěn)定因數(shù)穩(wěn)定許用應(yīng)力與柔度λ有關(guān)。

稱為穩(wěn)定因數(shù)，對(duì)于Q235，可查表獲得；對(duì)于木材，可查本章公式9-11、9-12獲得。39計(jì)算壓桿穩(wěn)定性時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：1）壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)約束的不同使μ值不同；3）注意壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)計(jì)算長(zhǎng)度l的不同。2）壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)中性軸的不同，計(jì)算過(guò)程中應(yīng)選用不同的慣性矩使I和i不同；405.壓桿的穩(wěn)定計(jì)算·壓桿的合理截面壓桿的穩(wěn)定條件：

F為壓桿所受軸向壓力；為壓桿穩(wěn)定因數(shù)；

A為壓桿的橫截面面積。

[σ]為壓桿材料的許用壓應(yīng)力。41

穩(wěn)定計(jì)算中，若已