新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.3誘導(dǎo)公式第2課時(shí)誘導(dǎo)公式(二)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)誘導(dǎo)公式(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解公式五和公式六的推導(dǎo)方法．2．靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明．核心素養(yǎng)1．借助誘導(dǎo)公式求值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．通過(guò)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和證明，提升邏輯推理素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)誘導(dǎo)公式五、六公式五公式六終邊關(guān)系角eq\f(π,2)－α與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)角eq\f(π,2)＋α與角α的終邊垂直圖形公式sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝_cos_α_，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝_sin_α_sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝_cos_α_，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝_－sin_α_提醒：誘導(dǎo)公式五、六反映的是角eq\f(π,2)±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．可借用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”來(lái)記憶．想一想：如何由公式四及公式五推導(dǎo)公式六？提示：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα.練一練：1．已知sinα＝eq\f(3,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值為(D)A．eq\f(3,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(4,5) D．±eq\f(4,5)[解析]∵sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝±eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝±eq\f(4,5)，故選D．2．下列與sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))的值相等的式子為(D)A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)) B．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))[解析]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝－cosθ.對(duì)于A，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ；對(duì)于B，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－sinθ；對(duì)于C，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝－sinθ；對(duì)于D，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－cosθ.故選D．3．化簡(jiǎn)：eq\f(sin(π－α)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)))＝_－sin_α_.[解析]∵eq\f(3,2)π－α＝π＋eq\f(π,2)－α，eq\f(3,2)π＋α＝π＋eq\f(π,2)＋α，∴原式＝eq\f(sinα(－sinα)(－cosα),(－cosα)·sinα)＝－sinα.題型探究題型一利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值典例1(1)已知cos31°＝m，則sin239°tan149°的值是(B)A．eq\f(1－m2,m) B．eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知cos(60°＋α)＝eq\f(1,3)，且－180°<α<－90°，則cos(30°－α)的值為(A)A．－eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(2),3)[解析](1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－cos231°)＝eq\r(1－m2).故選B．(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°.又cos(60°＋α)＝eq\f(1,3)>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－eq\r(1－cos2(60°＋α))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).故選A．[歸納提升]利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值的策略(1)已知角求值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)值求解．(2)對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意要求的角與已知角之間的關(guān)系，并結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，特別要注意角的范圍．(3)常見(jiàn)的互余關(guān)系：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值為eq\f(1,2)_；(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))的值為－eq\f(1,2)_.[解析](1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(1,2).題型二三角恒等式的證明典例2求證：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2(π＋θ))＝eq\f(tan(9π＋θ)＋1,tan(π＋θ)－1).[分析][證明]左邊＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))·(－sinθ)－1,1－2sin2θ)＝eq\f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2cosθsinθ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq\f((sinθ＋cosθ)2,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ).右邊＝eq\f(tan(9π＋θ)＋1,tan(π＋θ)－1)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ).∴左邊＝右邊，故原式得證．[歸納提升]證明三角恒等式的策略(1)遵循的原則：在證明時(shí)一般從左邊到右邊，或從右邊到左邊，或左右歸一，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則．(2)常用的方法：定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、公式變形法、“1”的代換法．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?求證：eq\f(sin(θ－5π)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)),cos(3π－θ)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin(－4π－θ))＝－1.[證明]左邊＝eq\f(－sin(5π－θ)sinθcosθ,cos(π－θ)sinθ[－sin(4π＋θ)])＝eq\f(－sin(π－θ)sinθcosθ,－cosθsinθ(－sinθ))＝eq\f(－sinθ,sinθ)＝－1＝右邊，故原式得證．題型三誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用典例3若α的終邊與單位圓交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(15),4)))，且α為第二象限角，試求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin(π＋α)－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋1)的值．[解析]由題意知m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4)))2＝1，解得m2＝eq\f(1,16)，因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，故m<0，所以m＝－eq\f(1,4)，所以sinα＝eq\f(\r(15),4)，cosα＝－eq\f(1,4).原式＝eq\f(－cosα,(－sinα)－(－cosα)＋1)＝eq\f(\f(1,4),－\f(\r(15),4)－\f(1,4)＋1)＝－eq\f(3＋\r(15),6).[歸納提升]誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：(1)化大為小；(2)看角與角間的聯(lián)系，可通過(guò)相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看名：一般是弦切互化．三看形：通過(guò)分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?已知角α的終邊在第二象限，且與單位圓交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(2\r(2),3))).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(\r(2)sin(π－α)＋sin(\f(π,2)＋α),3\r(2)cos(－α)－sin(π＋α))的值．[解析](1)由題得m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2＝1，所以m＝±eq\f(1,3)，因?yàn)榻铅恋慕K邊在第二象限，所以m＝－eq\f(1,3).所以tanα＝eq\f(\f(2\r(2),3),－\f(1,3))＝－2eq\r(2).(2)eq\f(\r(2)sin(π－α)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),3\r(2)cos(－α)－sin(π＋α))＝eq\f(\r(2)sinα＋cosα,3\r(2)cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2)tanα＋1,3\r(2)＋tanα)＝eq\f(\r(2)×(－2\r(2))＋1,3\r(2)－2\r(2))＝－eq\f(3\r(2),2).誤區(qū)警示對(duì)誘導(dǎo)公式理解不透徹而致錯(cuò)典例4已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(19,16)_.[錯(cuò)解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－eq\f(1,4)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2))＝eq\f(11,16).[錯(cuò)因分析]在利用誘導(dǎo)公式sin(π－α)時(shí)，沒(méi)能正確利用“符號(hào)看象限”來(lái)判斷符號(hào)．[正解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al