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第三章函數(shù)逼近

(ApproximatingFunction)1.引言函數(shù)逼近:用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最小〔不同的度量意義〕舉例：對(duì)被逼近函數(shù)f(x)=sqrt(x〕,在區(qū)間［0，1］上按三種不同的逼近方式求其形如p1(x)=ax+b的逼近函數(shù).2.解〔1)按插值法，以x0＝0,x1＝１為插值節(jié)點(diǎn)對(duì)f(x)作一次插值所得形如(1)式的p1(x)是p1(x)=x.②按以下的距離定義dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)|的意義下，在P１[０，１］中求得與f(x)的距離最小的的p1(x)是p１(x)=x+1/8.③按距離dis(f(x),p１(x))=‖f(x)-p1(x)‖２

=(∫01[f(x)-p１(x)２dx)1/2

的意義下，在P１[０，１］中求得與f(x)的距離最小的形如(1)式的p１(x)是p１(x)=4/5x+4/153.可見，對(duì)同一個(gè)被逼近函數(shù)，不同距離意義下的逼近，逼近函數(shù)是不同的.4.5.正交多項(xiàng)式一、正交函數(shù)族與正交多項(xiàng)式6.7.8.9.10.二、勒讓德多項(xiàng)式11.12.13.14.15.三、切比雪夫多項(xiàng)式16.17.18.19.四、其他常用正交多項(xiàng)式20.21.22.最正確一致逼近多項(xiàng)式一、根本概念及其理論23.最正確平方逼近一、函數(shù)的最正確平方逼近24.25.26.27.28.例這是C［0,1］上的最正確平方逼近問題.取０＝１，１＝x,P1［0,1］＝span｛1,x｝，記p1(x)=a０＋a１x,(０,0)=∫０.０dx=1，(０,1)=∫1.xdx=1/2(1,1)=∫1.1dx=1/3，同樣可求得(０,g)=2/3，(1,g)=2/5.所以，關(guān)于a０，a１為未知數(shù)的法方程組為解得a０=4/15，a１＝4/5即p1(x)=4/5x+4/15為P1［0,1］中對(duì)g(x)=x的最正確平方逼近元.求g(x)=x在P1［0,1］

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