2023南師翰海專轉(zhuǎn)本數(shù)學(xué)考前押題

數(shù)學(xué)必背公式:

第一章：函數(shù)

一：指數(shù)函數(shù)公式：①/tn*②在③aye

二：對數(shù)函數(shù)公式：①1守田②，③

三：三角函數(shù)公式:

111

cOjftc==------se-........cs<x=-----

倒數(shù)關(guān)系：①余切:tarx②正割：'COM③余割:sine

平方關(guān)系：①0名由=4=②3HFt￡E>0E=se^③

四：數(shù)列公式：

等差數(shù)列：①通項(xiàng)：0②求和：42N

等比數(shù)列：①通項(xiàng)：②求和：>中

六：球的公式：①而法②唳=馬"

其次章：極限與連續(xù)

—:等價無窮小：①si?T②亡③/T—3④16t⑤

arcLtete

.七一_0]-HV—1~_CC￡^_

⑥arosMak⑦提一拿3工⑧〃⑨2

二：兩個重要極限:

」sirw;

lim----

1.

1li

②XJO*③1i

四：間斷點(diǎn)的分類：

第一類間斷點(diǎn)：?小9秒小^^存在

①X。為可去間斷點(diǎn)②X。為跳動間斷

點(diǎn)

其次類間斷點(diǎn)：小刀和人七包不都存在，也叫無窮間斷點(diǎn)

第三章：導(dǎo)數(shù)與微分

②兩點(diǎn)式：2^—

二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線C：尸派在點(diǎn)八&立處的

、》.丁一1?君

切線方程：秀②法線方程：一一"

三：導(dǎo)數(shù)的公式：①^^T^&JGI時包巨金

④Q展1KlJ疫⑤&&^=s.eato^g）色sajts=^sco

0裾遍十三QQE^^~^X^Q無紅｝一1^

⑦V⑧V1-^（§）1-k^r

----）＞a|D_^EMS：殳》專L

⑩2g?7Vs?n

四：幾個初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù):

元

①2②

五：微分的定義：①“尸必②屋廿》

六：微分的運(yùn)算法則：①②

￡

片yd（吵

七：其他：①必比5

第四章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

-：中值定理：若/（X）滿意條件①在閉區(qū)間團(tuán)⑸上連續(xù)②在開區(qū)間（"〃）內(nèi)可

導(dǎo)，則在a為內(nèi)至少存在一點(diǎn)《，使得：f（b）-f（a）=，（該點(diǎn)）（b-a）

羅爾定理：③在閉區(qū)間口㈤的端點(diǎn)處函數(shù)值相等，-心夕⑥，則在（a㈤內(nèi)至

少存在一點(diǎn)！，使得，'@=C

拉格朗日定理：在開區(qū)間Q㈤至少存在一點(diǎn)"使得

￡藝1■碗與五儂/

二：洛必達(dá)法則：（?！?）rm-fW?

三：凹凸區(qū)間：5??大凹小凸

四：漸近線：

limf（x）=c

L水平漸近線：定義：若能美,則稱直線I為曲線戶念的水平

漸近線

limf（x）=<x

2.垂直漸近線：定義：若（■X-,則稱直線無=不為曲線的垂直

漸近線

第五章：不定積分

-：原函數(shù)：若/（X）滿意稱4）為/（X）的一個原函數(shù)

二：不定積分：或

三：三角代換：①Jdf?/今②③

V弋—&

四：分部積分法：卜出^廿找&

選取閱歷：①\時，令

③中邑hr季老g等時，可任選

第六章：定積分

-：定積分的性質(zhì)：①￡m+“千￡獷?②I，?74c

可加性：J＞令3

奇偶性：奇：若在區(qū)間卜a上有則//砥加0

偶：若在區(qū)間AH上有”=^5^,則工/?公可灰小

二：積分中值定理：若/（x）在區(qū)間口⑸上連續(xù)，則存在看電閡，使

三：積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2.設(shè)出6在區(qū)間限耳上可導(dǎo)，則

3.設(shè)g（6,f（x）在上目上可導(dǎo)，則工K

四：無限區(qū)間上的廣義積分：①上又彰修亶紀(jì)自3“②

第七章：定積分的應(yīng)用

定積分的幾何應(yīng)用：

求面積：

求旋轉(zhuǎn)體體積：修疝31”

第八章：常微分方程

-：一階線性微分方程：形如石小戶W的方程

i.齊次：8+⑥通解為：y=cJ^，X

2.非齊次：-丈*^^

通解為:

二：分別變量法：形如q

分別變量：②兩邊積分：J

三：齊次方程：形如I"或①令K一一代

du_dx

入原方程；②得心田必花；③分別變量/（"）一〃一"

四：形如①令在…代入原方程②得

du_

步③分別變量可得：切（4+4

五：二階常系數(shù)線性齊次方程：形如令＞壬/，山

①4cMF,通解為

②通解為＞^35^^

③公。八9^5,通解為.

六：二階常系數(shù)線性非齊次方程：

（加力寸取t=o

寸女=1

L-/C頭名龜型：特解：G）q=p=€H寸耳歡=2

（1M不是齊次方程崎棍時

（"是齊次方程的彈棍時

2.—『4管型：特解：戶*，；（③。是齊次特征方程瞰毓血

3.大X氣M，SU一型：

（M+"不是特征方程簸電）

特解S是特征方神曲*1

注：非齊次的痛解y=齊次的通解Y+非齊次的一個特解y*

九：復(fù)數(shù)：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

①②J?=^-L

第九章：空間解析幾何與向量代數(shù)

第十章：多元函數(shù)的微分學(xué)

-：全微分：

1.二元函數(shù):員方

2.三元函數(shù):

a

---————|—

二：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：息am色a

三：隱函數(shù)求導(dǎo)法則（公式法）：

1.抬頭€確定戶得到-dxFy

立=其念一有

2.足）^確定得到含石⑨石

第十一章：二重積分

第十二章：級數(shù)

~：收斂性判別法:

00

2""lina=OlirwNO

L必要條件判別：若自收斂則…“；逆否命題：，一〃則

00

IX

發(fā)散

2.比較判別法：小于收斂必收斂，大于發(fā)散必發(fā)散

OO

夕＜1時，級夔:％收斂

n=\

令lim^1=0,則夕＞時，級夜％發(fā)散

〃*un71=1

夕=1時，斂散性無法學(xué)

3.比值判別法：

Q＜1時，級痂%收斂

71=1

令=夕,則Q＞時，級復(fù)％發(fā)散

ZJ—KJOV

n=]

夕=IB寸，斂散性無法學(xué)

4.根植判別法：〔

5.三個常用級數(shù)：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

方O、O、…貝信押除上1寸W，M。

①幾何級數(shù)（等比級數(shù)）：'T

K11

調(diào)和級數(shù)：Zpn,發(fā)散

在多項(xiàng)式中，分母最高次數(shù)-分子最高次數(shù)＞1,級數(shù)收斂

分母最高次數(shù)-分子最高次數(shù)WL級數(shù)發(fā)散

于」貝J91n寸，收：

③P-級數(shù)：初、解寸，發(fā)

6.交織級數(shù)：

OOOO

幸至喀匏峪蟋QT“匚d曰寸*犬乙Q）H第掘透叫急）

心中。期q攵公-

二：嘉級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間

貝UU攵冬

1.不缺項(xiàng):

取00寸，名及婁攵L|攵全攵

勢Q用寸繡婁文紜:首攵

尋曰中冬af弋入岸繡婁3次維小*到

缺項(xiàng):冬&聲喧

方法一：換元

方法二：利用正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法

選擇題：

1.當(dāng)x—O時，l-cos2x與取1+依2）是等價無窮小，則常數(shù)n的值為（）

A.1B.2C.3D.4

解：本題考查無窮小階的比較,就是求兩個函數(shù)比值的極限，條件說是等價無窮小，那么比

值的極限是1,即有

1O^(2x)2

1-cos2x?W

lim--------=lim-_—

ln(l+ax)ioaxa

則a=2,選B。

2

2.曲線y二一三二一

的垂直漸近線是（)

x(x-l)(x-2)

A.x=0B.x=\C.x—2D.沒有垂直漸近線

解：所謂垂直漸近線就是若1山/（*）=°°（也可以是單側(cè)極限，即左極限或右極限為無窮

XT.4

大），則稱x=x0為垂直漸近線。一般拿來探討極限的/為函數(shù)中無定義的點(diǎn)，本題有三個

無定義的點(diǎn)，即尤=0,x=l,x=2,但是在求極限時函數(shù)經(jīng)過化簡后變成y=」一

x—2

因此只有l(wèi)im—二=8,所以選C。

x—2X—2

fsinx，/、

3.設(shè)<p(x)=[/ln(l+t)dt,則。(x)=()

JO

A.sinxcosxln(l+sinx)B.sinxln(l+sinx)

C.一sinxcosxln(l+sinx)D.一sinxln(l+sinx)

解：本題考查變上限積分函數(shù)求導(dǎo)公式，選A。

4.下列級數(shù)中條件收斂的是（）

oo

(一1)"z八〃〃+1W(T)〃

D"Bc.y(-i)-~-D.V-—―

A-Z2.

n=ln+1〃=12〃+1”二i乙

解：本題考查確定收斂與條件收斂的概念，首先要知道無論是確定收斂還是條件收斂都是滿

意收斂，只是收斂的“強(qiáng)度”不同罷了。選項(xiàng)A與D都是滿意確定收斂的，選項(xiàng)C一般項(xiàng)的

極限不是零，明顯發(fā)散，只有選項(xiàng)B滿意條件收斂。

5.將二重積分JJ次+），小心,。=｛（%）,）|%<y<y]2-x2,O<X<1｝化成極坐標(biāo)下的

I）

二次積分，則得（）

A.^dO\\2dr氏Jj甸:產(chǎn)/C.J加娟/力■1).J；呵；，公

解：本題考查二重積分的極坐標(biāo)變換，首先關(guān)鍵是畫出積分區(qū)域來，作圖如下：

本題積分區(qū)域形如右圖陰影部分，明顯答案選D。

6.函數(shù)y=xe-，單調(diào)遞減且其圖形為凸的區(qū)間是()

A.(-?,2)B.(1,+8)C.(-2,1)1).(1,2)

解：單調(diào)減就是一階導(dǎo)數(shù)小于零，凸就是二階導(dǎo)數(shù)小于零，于是

/=(1-x)e~x,y"=(x-2)e~x

(1-x)e~x<0=>x>1.-

<nl<x<2,選D。

(x—2)e~x<0=>%<2

7.設(shè)函數(shù)■-運(yùn)是/(x)的反函數(shù)，則()

A.B.

8.若%是/(x)的極值點(diǎn)，則()

A.4'小)必定存在，且公立X

B.必定存在，但不確定等于零

C.可能不存在

D./侖。必定不存在

應(yīng)選c?例：3*在工*處取得微小值，但該函數(shù)在上<處不行導(dǎo)，而/'(Q)不

存在

9.設(shè)有直線三，則該直線必定()

O4T

A.過原點(diǎn)且垂直于x軸

B.過原點(diǎn)且平行于x軸

C.不過原點(diǎn)，但垂直于x軸

D.不過原點(diǎn)，且不平行于x軸

直線明顯過(0,0,0)點(diǎn)，方向向量為Z宜AI二,入軸的正向方向向量為

v={l,0,0},故直線與x軸垂直，故應(yīng)選

A?

10.累級數(shù)Z%x"在點(diǎn)R三處收斂，則級數(shù)》一1)"4()

〃=0n=O

A.確定收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與?！坝嘘P(guān)

在點(diǎn)二=三處收斂，推得對￡>,,%'確定收斂，特殊對

〃=0n=0

oOOO

尤o=-1有確定收斂，故應(yīng)選A。

/?€>，注)

11.對微分方程于尋號士，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下面特解設(shè)法正確的

是()

A.盧NJ芋B.二C.D.口呈^

12、下列函數(shù)必為奇函數(shù)的是(A)

A、ln(x+7l+^2)B、xln-~—C、—(e'-e~x)D、［\e'-e^^dt

1+xdxJo

解：對于函數(shù)In匕工In±三』n(jm±x),我們可以證明它們都是奇函數(shù)；因?yàn)?/p>

1-x1+x

色("—"*)=e'+e7,所以為偶函數(shù)；對于變上限積分因?yàn)椋跩；(d—e-'

而e'-eT是一個奇函數(shù)，由“求導(dǎo)之后為奇函數(shù)則求導(dǎo)之前必為偶函數(shù)”可知J；(d-"')力

為偶函數(shù)。選A

13、已知=+在x=0處可導(dǎo)，則的值為(C)

ae~xx>0

A、a=\,b=1B、a=2,b=1C、a=l,b=2D^a=2,b=2

解：因?yàn)榭蓪?dǎo)所以必連續(xù)，這樣利用函數(shù)在x=0處連續(xù)很快就能求出〃的值，這里我們可

以運(yùn)用連續(xù)則函數(shù)值=右極限建立等式，由已知可得/(0)=1,又lim/(x)=limae2x=a,

Xfo+Xfo+

所以a=l；接下來利用可導(dǎo)則左導(dǎo)數(shù)=右導(dǎo)數(shù)，￡(0)=lim匕”」=。，

1。一x-0

2x-12x

￡(0)=lim-e-----=lim—=2,所以力=2,選C。

Xf。-x-0D-X

f+00

14、xexdx=(B)

Jo

A、0B、1C、-1D、不存在

解：此題為廣義積分，但是選擇題，所以不用管它，當(dāng)成一般的定積分做！

xe-xdx=一J：xdex=~(xe-x\7-J：exdx)=—(加力『+"'「)=—(x+l)e]￡

r1

=-(lim---1)=-(0-1)=1

XT+00￡X

注：此題在代入上限+8時，不是“一下子”就能得到答案的，須要用羅比達(dá)法則求一下極

限。

15、若y=4與y="所圍平面圖形面積為,，則％=(D)

6

A、-1B、-2C、2D、1

解：首先求一下交點(diǎn)，即卜'=?,解得尤=與，

y=kxk

i3f_1_0[[

所以S=歸(、/一立心=(一必一一x2)『=—Y——=-,解得％=1,當(dāng)然其實(shí)不

J。323k、2k6

須要解，因?yàn)橹挥写鸢窪符合。

x77

16、要使直線一=y=一落在平面一一x+3y+2z=0上，則％=(B)

3k3

A、-2B、2C,-1D、-

2

解：在空間中，一條直線落在一個平面內(nèi)，除了直線上的全部點(diǎn)都在平面內(nèi)外，“最至少”

該條直線要平行于平面才可能，因?yàn)榧偃绮黄叫心敲粗本€“只能”和平面“相交”了，而相

交的意思就是只有一個“交點(diǎn)”，因此我們可以利用直線平行于平面那么方向向量和法向量

垂直這一結(jié)論，即兩個向量的點(diǎn)乘為零來求出的值，3-(—；)+1-3+匕2=2%—4=0,則

k=2,選B。

17、下列結(jié)論正確的是(C)

②1￡(一1)"4)"條件收斂

A、收斂B、

?=12

士器確定收斂I)、之上發(fā)散

C、

解：明顯選C,為什么？閱歷！在考試中遇到級數(shù)斂散性的判定不行能給同學(xué)們過多的時間

去一個個用所謂的方法去推斷，都是憑閱歷，所謂閱歷就是熟記了一些常見級數(shù)的斂散性而

已。

18.若〃x)為是連續(xù)函數(shù)，

且/(0)=1,/⑴=0,

尤sin，］=(

則lim/)

A.-1B.0

C.1D.不存在

解：原式

.1

了連續(xù)sin—

flimxsin—=flim-=/(l)=0,選B

x->8xX—>8I

X

m

19.要使/(x)=m(i+依產(chǎn)在點(diǎn)％=o處連續(xù)，應(yīng)給〃o)補(bǔ)充定義的數(shù)值是()

A.kmB.——

m

C.InhnD.ehn

解：lim/(x)=Inlim(l+履)

XTO

limAx—,

=Ine—x=\nekm-km

；.f⑼=km選A

20.若吧|/(x)|=同，則下列正確的是()

A.lim/(x)=A

x->a''

B-四』〃刈=加

C.lim/(x)=-A

D.lim|/(x)|=A

解：螃J|/(x)|逛"J啊|/(x)|=加選B

21.設(shè)/(x)=?x

/(0),x=0

且/(x)在x=O處可導(dǎo)，/'(0)H0,

"0)=0,則x=0是尸(x)的()

A.可去間斷點(diǎn)B.跳動間斷點(diǎn)

C.無窮間斷點(diǎn)D.連續(xù)點(diǎn)

limF(x)=lim""二"°)=:(0),

解:

10\/KT0X-QJ\/

f(0)^f(0).-.F(o)=/(O)*limF(O),故x=0是尸(x)的第一類可去間斷點(diǎn)。選A

xsin1

22.=<"‘in》，犬聲o在x=。處()

0,x=0

A.極限不存在B.極限存在但不連續(xù)

C.連續(xù)但不行導(dǎo)D.可導(dǎo)但不連續(xù)

解:lim/(x)=limx-sin-=O,且/(0)=0

.?./(X)在x=0連續(xù)，又-f'(O)

xsin——0

=lim-------—=不存在，在x=0不行導(dǎo)選C

—0x-0''

X2+]X<1

23.設(shè)={'—在％=1可導(dǎo)，則a/為()

ax+b,x>\

A.a=—2,b=2B.a=O,b=2

C.a=2,b=0D.a=1,Z?=1

解：(1)-在x=l連續(xù)，

/.lim(x2+1)=2,lim(ar+Z?)=a+b

故a+b=2...(1)

v-~-1

(2)r(l)=lim—=2，r(l)

以+〃一2(1)

=lim-------------lim-------------=a

.?.a=2,代入(1)得Z?=0,選C

24、已知/(%)=2叫則/'(0)=(D)

A、2wln2B、2vIn2C、2-xIn2D、不存在

解：左導(dǎo)數(shù)f'(0)=lim=nmZLLzl=iimllzl=iim=_jn2

xf%X-Xox->。-x—0XT。-XXfO-X

七日."八r少一l2A-1xln2

右導(dǎo)數(shù)/+(0)=lim-----=lim-----=lim-----=m2

A—>0+X—01)+XxWX

25、下列積分收斂的是(B)

7F

解：本題只有選項(xiàng)B可以計算出詳細(xì)值一一arctan1,其它的都是②。

2

26、下列極限中正確的是（C）

A、limsin（l/A）=]Hm"+s，n"不存在lim（l+2x）sinx=e2D,lim^lnx=oo

.r—01/XKTsx-sinxXT。XTO

—lim—,

解：只有選項(xiàng)C是正確的，利用了兩個重要極限的推廣公式，即lim（l+2x）3n*=eEg=?2

XTO

27、y=V,則下列正確的是（C）

A、y=xxx~]B、dy=xxInxdxC、/=xA（lnx+l）D、yf=xxdx

解：此題是嘉指函數(shù)求導(dǎo)計算，利用兩邊取自然對數(shù)法。

28、與平面x+y+z=l平行的直線方程是（C）

x-y-z=2

A、B、x-1=y-l=z-2

x+3y-4z=3

x=t+l

C、*y=-t+2D^x-2y+z=3

z=3

解：A選項(xiàng)是交面式，B選項(xiàng)是標(biāo)準(zhǔn)式（俗稱點(diǎn)向式），C選項(xiàng)是參數(shù)式，參數(shù)式是這樣得到

的，比如已知點(diǎn)向式方程二2.=2二比=三二3，令土色=匕滋=三二%=/,則

IinnImn

x=lt+xQ

<%=〃"+%,在點(diǎn)向式中，/,根,〃可以最多有兩個為0,這樣參數(shù)式就可以進(jìn)行相應(yīng)的變

x=nt+zQ

更，對于選項(xiàng)c,事實(shí)上就是由3=2二2==得到的，于是很簡潔看出方向向量是

1-10

什么，與已知條件中的法向量的點(diǎn)乘為0

29、下列哪個結(jié)論是正確的（C）

816/IV,■JT)”—確定收斂D、收斂

A、￡—L收斂B、確定收斂c、

n=l7nn=]1+〃狙〃+sin及n

解：本題由排出法就可以確定C是正確的

因?yàn)椤ㄊ菑?起先取值的，又|sin?|<1所以n2+sinn>0，于是

9.1?.(-D"1

n+sinn=n+sin〃那么—=~~~：—，因?yàn)?/p>

n~+sin/?n~+sinn

1

2

-2n18]81

limn+sin”=lim__._=lim_;_=1,所以級數(shù)￡“2,…與有相同

,is1is"/+燈口ns.sinn狙〃+sm〃狙n

rH---

的斂散性，又￡3是收斂的，所以￡一一也收斂

an〃=1n+sin〃

填空題：

,...2x—1.2v

1.11111(-----)-=

…2x+l----------

解：本題考查“產(chǎn)”型的基指函數(shù)求極限，利用“重要極限的推廣公式”

■產(chǎn)=lim()2r=lim(l+產(chǎn)=々e=??2川=不

*T82x+l*f82x+lXf82x+\

2.已知f\x)=2,則lim/(2+")-/(2-2x)=____________

*T°X

解：本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，極限中的X只是一個字母，一個無窮小而已，猶如原始定義中的

Ax一樣，從極限分子中可以看出自變量變更了(2+幻-(2-2x)=3x,于是

lim-—―"■'(——3lim―--『(―=3八2)=6

xx-03x

7t?,2

qy八七smx+sinx,

3.定積分上----2——心=_________?

七cosX

解：本題考查定積分化簡計算，即利用函數(shù)奇偶性

si"入+；畝入心-f7-sEj孤+ptan?xdx=2[4tan2xdx=2(4(sec2x-Y)dx

J-彳cos**%J-7cos-xJ-彳‘°1°

￡jr

=2(tan2x-x)j=2-—

4,設(shè)d=(1,2,0),。二(一1,2,1)則(Q+。)x(Q—/?)=.

解：本題考查向量坐標(biāo)的加法、減法以及叉乘運(yùn)算

由已知可得3+5)=(0,4,1),(。-5)=(2,0,-1),則

iJk

(a+b)x(a-h')=041=(-4,2,-8)

20-1

dz

5.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程xe°+yz=l所確定,則看

辦

解：本題考查多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)，可以選擇的方法有許多，比如“公式法”、“全微分法”、

“兩邊求法”，這里我們采納兩邊求的方法，即對原方程兩邊同時關(guān)于x求偏導(dǎo)得

oooZ

ez+xez^-+y^-=Q,解得絲=一一--。當(dāng)然本題用公式法做也很簡潔。

exoxdxxe+y

6.基級數(shù)￡與工(％-2)"的收斂域?yàn)開_______.

>/〃+1

解：本題考查利用系數(shù)模比值法求基級數(shù)的收斂域

(-1嚴(yán)

，刃+2lim您=1,

因?yàn)橄?lim所以R=1

00(-1)〃

+1

于是所以l<x<3；

當(dāng)x=l時，Z與工(x-2)"=ZMl)"(發(fā)散-p-級數(shù));

當(dāng)尤=3時，￡早上(尤一2)”=￡與上⑴t(收斂-萊布尼茨判別法);

綜上，收斂域?yàn)?1,3]

獷，x<a

7、若函數(shù)，(幻=<2a,x=a在％處連續(xù)，則常數(shù)。=2

3x-2,x>a

解：明顯f(a)=2a,又lim(3x-2)=3a-2,所以3。-2=2々，則。=2

X—>“+

c，narcsinxn,，/G、1

8、設(shè)y=cos'——-——則y(―)=--

.arcsinxl__1

解：y'=-sin

2

2

2

9、1/(lnx)仆%2+以貝ij/(x)=_____2e2v_______

JX

解：因?yàn)樘幑?c,所以/Qnx)=(x2+c)，=2x,即/(lnx)=2x2,這樣就

JXX

變成了求函數(shù)表達(dá)式的題目了，方法許多，可以換元，我們這里采納湊元法，

因?yàn)?(Inx)=2x2=2(眇')2,所以f(x)=2(/)2=2e2x

10、z=excosy則dz-e*(cosydx-sinydy)

因?yàn)榘?e'cosy,—=-exsinj,

解:

dxdy

所以dz=excosydx-exsinydy-e'(cosydx-sinydy)

11、設(shè)。：/+丁44,則“設(shè)x+4y3)db=o

D

解：本題利用二重積分的化簡計算，積分區(qū)域是一個“特別對稱”的區(qū)域，所以答案為0

12、微分方程y'+4y+4y=祀小的待定特解〉*=

解：特征方程為一+4r+4=0,解得4=4=一2,又;1=一2,

2x322x

所以y*=x\Ax+B}e-=(Ax+Bx)e-

13、x+y=tany確定y=y(x),則內(nèi)=___cot2ydx

14、函數(shù)y=m，y"(0)=-1

解：本題先要把變形為g[ln(l-x)—ln(l+x2)]再進(jìn)行求導(dǎo)，即

I12xx—2x—1

/=-(--——-~7)=———：-廣，再接著求導(dǎo)的時候，為了便利我們利用取

2l-x1+x22(l-x)(l+x2)

y2_2r_1

自然對數(shù)法，即In(y')=In-----------=ln(x2-2x-1)-ln(l-x)-ln(l+x2)-In2

2(1T)(1+JT)

i9r_9i9Y

兩邊求導(dǎo)得，—/=--------+---------即

yx2-2x-ll-x1+x2

—2x—12x—212x3

------------丁(―--------+---------7)所以<(0)=一5

2(l-x)(l+x2)X2-2X-11-X1+X2

ri211

15^J---7+arctan(sinx)心=-In3

解：原式=J;S公=gj：*42+V)=?n(2+x3)L=卜n3

本題利用積分區(qū)間對稱和函數(shù)奇偶性，劃去其中一部分積分為零的被積函數(shù)，對于被積

X

函數(shù)——在區(qū)間上是非奇非偶函數(shù)，所以要當(dāng)成一般定積分求解

2+x3

16、/'(e')=xe*,/a)=O,貝i]/(x)=___-(2x2lnx-x2+l)__________

4

解:f'(e')=xex=e'\nex,經(jīng)過這樣的變形就可以利用“湊元法”得到-(無)=xlnx,

接下來對xlnx求不定積分，即/,1)=fxln粒，并代入/⑴=0得(？=■!■就可以得

J4

到了(幻

17、交換二次積分得￡小J；/(x,y)dy+公J："/(%,y)dy=

解：畫出積分區(qū)域即可得到答案￡我廣'"X,y)dx

谷(一1)“F-

18、幕級數(shù)，,一的收斂半徑R=73

on----------

?=0D

解：本題是缺項(xiàng)級數(shù)，依據(jù)一般的系數(shù)模比值法求出半徑為3,然后開根號答案為百

計算題：

?3

1.求極限limsmx

x->°x-arcsinx

x3

內(nèi)—lim.

解:原支-x->ox-arcsinx

注：在本題的求解過程中運(yùn)用了干脆代入，即limjl-無2=求并且利用

/-----11

(1+X)x，-1〃X(X-?O),則J1一f_]=(1+(_%2))2_1—(一f)=一一f

22

2.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程e">'-孫=1所確定，求y'(O),y"(O)

解：本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)，而且是求詳細(xì)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值

當(dāng)x=0時，代入原方程得y=0

方程兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo)得e"'(l+y')—(y+孫')=0(*)

代入x=0,y=0得y(o)=-i

再對(*)式兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo)得眸+，(1+丁')2+*，力—卬+(/+孫")]=0

整理得ex+y(l+y,)2+(ex+y+x)y"—2y'=0

代入x=o,y=。及y'(。)=-1得y"(0)=-2

3.求不定積分JeG公

解：令y/x—\=t，則X=r+1,公=2tdt,代入得

Je^dx=2jte'dt=2Jtd(e')=2(te'-Je'dt)

=2(/-l)d+C=2(Vx^l-l)eG+C

4.求定積分「-7二亍公

J°j3x+4

,-----t2-42

解：令J3x+4=f，則》=-----,dx=—tdt：當(dāng)x=0時，=2,當(dāng)x=4時f=4；

33

代入得

--4

+

「4x+1f4Q2,2「4)100

dx=---------tdt=-\(廣一]勸

Jo"/39萬

守Z

5.設(shè)z=/(2x+3y,y"),其中/有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求工

dxdy

Qz

解：-=f^f^yex=2f^yexf；

ox

分=g(2f；+y/月)=2(工：?3+九、e，)+?月+武力13+公卜#)]

oxoyoy

=+6#+2e"；++聲2力

=e￡+6斤+(2+3yyexf；'+—(左=外

X=14-2z

6.設(shè)直線通過點(diǎn)(T,2,0),垂直于直線(y=2—3f又與平面x—2y+3z=l平行，求其方

z=-\-t

程

x=1+2，

解：設(shè)直線(y=2—31的方向向量為So,平面%—2y+3z=l的法向量為%,則

s0=(2,—3,—2,3),設(shè)所求直線的方向向量為s，則

iJk

s=nQxs0=1—23=(11,7,1)

2-3-1

于是所求直線方程為—=二=-

1171

7.計算二重積分ffxdxdy,￡)={(%,y)\y/y<x<^2-y2,0<y<l}

D\y’

解：由已知條件可知積分區(qū)域D是由曲線y=f,f+y2=2所圍成，在片一

第一象限中的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),形如右圖陰影部分，所以

\\Xdxdy=Jod式—=￡事幅%T(2一丁_y協(xié)

7

n

注:本題有些同學(xué)可能會錯誤的認(rèn)為陰影部分應(yīng)當(dāng)是

這是因?yàn)镈={(x,y)|J7wxWj2—y2,0WyWl}

若。={(x,y)|Vwyw，2-X2,0WXW1},則就是其次個圖中的陰影部分了。

8.求微分方程y〃-3y'+2y="的通解

解：原方程對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為產(chǎn)-3r+2=0,解得4=1,弓=2

f2

所以對應(yīng)齊次線性微分方程的通解為Y=C,e+C2e'；

又2=1為其中的一個特征根，所以原方程的一個特解為y*=Axe',

則/=A(1+x)ex,y*"=A(2+x)e',代入原方程得

A(2+x)ex-3A(1+x)ex+2Axe'=e"化簡得A=—1

所以y*=所以通解為,=C￡+Ge?'-叱

9、求=的間斷點(diǎn),并判別間斷點(diǎn)類型。

H(x2-i)

X

解：明顯間斷點(diǎn)為x=o,x=±l,函數(shù)變形為/(x)=1——-

IM(i)

XYYY

因?yàn)閘im7-：-----=-lim——=1,lim；-：------=-lim—=-1

XT。,因(X—1)10--x閔(X-1)10,X

所以x=0為跳動間斷點(diǎn)；

Y1

因?yàn)閘im「［------=一一,所以x=—1為可去間斷點(diǎn)；

因?yàn)閘im1廠----=oo,所以x=l為無窮間斷點(diǎn)。

—|x|(x-l)

^dyd-y

求區(qū)屋及曲隔

解：因?yàn)閬?2/'包=l+eL所以包=邛1+e-

dtdtdxdx2e”

~dt

又生=(匕3=~(e'2'+Uy=l(_2e-2'-3e-3')=-e'2'

dt2e2'