集合的概念與表示高一數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊

1.1集合的概念與表示在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們曾做過下面的作業(yè)：5這里有“正數(shù)集合”“負(fù)數(shù)集合”“整數(shù)集合”“分?jǐn)?shù)集合”，那么，5●什么是集合?●如何用數(shù)學(xué)語言表示集合?康托爾(G.Cantor，1845—1918)，德國數(shù)學(xué)家、集合論創(chuàng)始人，他在1874年發(fā)表了關(guān)于集合論的論文.5一、元素與集合集合定義記法一定范圍內(nèi)某些________、_______對象的全體組成一個(gè)集合.確定的不同的常用大寫拉丁字母表示，如集合______、集合______等.AB5元素定義記法集合中的__________稱為該集合的元素，簡稱元.每一個(gè)對象常用小寫的拉丁字母a，b，c，···表示.5“中國的直轄市”組成一個(gè)集合，該集合的元素就是北京、天津上海和重慶這4個(gè)城市.

“young中的字母”組成一個(gè)集合，該集合的元素就是y，o，u，n，g這5個(gè)字母.“book中的字母”也組成一個(gè)集合，該集合的元素就是b，o，k這3個(gè)字母.

“1~10以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成一個(gè)集合，該集合的元素就是2，3，5，7這4個(gè)數(shù).5【思考】(1)集合中的“研究對象”所指的就是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式嗎?提示：集合中的“研究對象”所指的范圍非常廣泛，可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式，也可以是現(xiàn)實(shí)生活中的各種各樣的事物或人等.(2)根據(jù)集合的定義思考：集合中的元素具有哪些特性?提示：確定性、互異性和無序性.二、常見的數(shù)集及表示符號(hào)6數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)________Z__RNN*或N＋Q6特別地，全體自然數(shù)組成的集合，叫作自然數(shù)集，記作N；全體正整數(shù)組成的集合，叫作正整數(shù)集，記作N*或N＋；全體整數(shù)組成的集合，叫作整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)組成的集合，叫作有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合，叫作實(shí)數(shù)集，記作R.【思考】N與N＋(或N*)有何區(qū)別?提示：N＋(或N*)是所有正整數(shù)組成的集合，而N是由0和所有的正整數(shù)組成的集合，所以N比N＋(或N*)多一個(gè)元素0.三、元素與集合的關(guān)系6關(guān)系文字?jǐn)⑹鲇浄ㄗx法屬于a是集合A的元素_____a屬于A不屬于a不是集合A的元素____或______a不屬于Aa∈Aa?A

【思考】元素與集合之間有第三種關(guān)系嗎?提示：對于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有

“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯(cuò)的打“?”)(1)在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素.(

)(2)高中數(shù)學(xué)新教材蘇教版第一冊課本上的所有難題能組成集合.(

)??集合中的元素是互不相同的.“難題”沒有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合.(3)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根組成的集合中有3個(gè)元素. (

)?由于集合中的元素具有互異性，故由兩方程的根組成的集合有2個(gè)元素.2.下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為(

).A.1 B.2 C.3 D.4

D

3.已知集合A含有三個(gè)元素0，1，x－2，則實(shí)數(shù)x

不能

取的值是________.

【解析】根據(jù)集合中元素的互異性可知：x－2≠0且x－2≠1，所以實(shí)數(shù)x

不能取的值是2，3.2，3【跟蹤訓(xùn)練】1.已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含這兩個(gè)元素，則下列說法中正確的是(

)A.a可取全體實(shí)數(shù)B.a可取除去0以外的所有實(shí)數(shù)C.a可取除去3以外的所有實(shí)數(shù)D.a可取除去0和3以外的所有實(shí)數(shù)D解析：因?yàn)?a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.解析2.若以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解為元素的集合為M，則M中元素的個(gè)數(shù)為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析：方程x2－5x＋6＝0的解為2和3，方程x2－x－2＝0的解為－1和2，所以集合M是由－1，2，3這三個(gè)元素組成的集合.解析C3.英文短語“openthedoorto...”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合的元素個(gè)數(shù)是 (

)A.7 B.8 C.9 D.10解析：根據(jù)集合中元素的互異性可知，“openthedoorto...”中的不同字母共有“o，p，e，n，t，h，d，r”8個(gè)，故該集合的元素個(gè)數(shù)為8.解析B

(1)，(4)

解析5.設(shè)集合A中含有三個(gè)元素3，x，x2－2x.(1)求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足的條件.解：由集合中元素的互異性可知，x≠3，且

x≠x2－2x，x2－2x≠3.

解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，求實(shí)數(shù)x.解：因?yàn)椋?∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

所以x＝－2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a的值.解：因?yàn)椋?∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.

若a－3＝－3，則a＝0.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意.若2a－1＝－3，則a＝－1.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意.綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.(2)若a∈A，試求實(shí)數(shù)a的值.解：因?yàn)閍∈A，所以a－3＝a或2a－1＝a.當(dāng)a－3＝a時(shí)，有－3＝0，不成立.當(dāng)2a－1＝a時(shí)，有a＝1，此時(shí)A中有兩個(gè)元素－2，1，符合題意.

綜上知a＝1.1.列舉法(1)方法：將集合的元素_________出來，并置于花括

號(hào)_________內(nèi).

例如{北京，天津，上海，重慶}，{y，o，u，n，g}.(2)注意事項(xiàng)：①元素之間要用_______分隔；②列舉時(shí)與元素的_______無關(guān).四、集合的表示6一一列舉“{}”逗號(hào)次序【思考】一一列舉元素時(shí)，需要考慮元素的順序嗎?提示：用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素的順序.例如：{a，b}與{b，a}表示同一個(gè)集合.2.描述法(1)形式：{x∣p(x)}，其中x為集合的代表元素，p(x)

指元素x具有的性質(zhì).(2)本質(zhì)：它是集合符號(hào)語言的具體體現(xiàn)，可將集

合中元素的規(guī)律與性質(zhì)清楚地表示出來.如：{x∣x為中國的直轄市，{x∣x

為young中的字母}，{x∣x＜－3，x∈R}.6【思考】{(x，y)∣y＝x2＋2}能否寫為{x∣y＝x2＋2}或{y∣y＝x2＋2}呢?提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序?qū)崝?shù)對或點(diǎn)，而x或y則表示集合的元素是數(shù)，所以用描述法表示集合時(shí)一定要弄清集合的元素是什么.3.Venn圖法(1)形式：畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合.(2)作用：直觀地表示集合.6北京，上海，天津，重慶(1)y，o，u，n，g(2)例如文恩(J.Venn，1834-1923)，英國數(shù)學(xué)家。例如，由方程x2－1＝0所有的實(shí)數(shù)解組成的集合，可以表示為下列形式.(1)列舉法：{－1，1}(也可以是{1，－1})；一個(gè)集合可以用不同的方法表示.(2)描述法：{x∣x2－1＝0，x∈R}(也可以是{x∣x為方程x2－1＝0的實(shí)數(shù)解}).64.集合相等(1)定義：如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同，那么

稱這兩個(gè)集合相等.(2)本質(zhì)：A與B相等，即A中的元素都是B的元素，

B中的元素也都是A的元素.7例如，{北京，天津，上海，重慶}

＝{上海，北京，天津，重慶}.例1用列舉法表示下列集合：7(1)大于1且小于13的所有偶數(shù)組成的集合；解：設(shè)大于1且小于13的所有偶數(shù)組成的集合為A，

那么A＝{2，4，6，8，10，12}.(2)由1～15以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.7解：設(shè)由1～15以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為B，

那么B＝{2，3，5，7，11，13}.例2用描述法表示下列集合：7(1)大于1的所有偶數(shù)組成的集合；解：設(shè)大于1的偶數(shù)為x，并且滿足條件x＞1，x＝2k，k∈N，因此，這個(gè)集合表示為A＝{x∣x＞1，x＝2k，k∈N}.(2)不等式2x－3＞5的解集.解：由2x－3＞5可得x＞4，故不等式2x－3＞5的解集

為{x∣x＞4，x∈R}.7例1中的集合的元素都有有限個(gè)，例2中的集合的元素都有無限個(gè).五、集合的分類(1)含有__________元素的集合稱為有限集；(2)含有__________元素的集合稱為無限集；(3)_______________的集合稱為空集，記作?.7有限個(gè)無限個(gè)不含任何元素【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯(cuò)的打“?”).(1)由1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1，1，2，3}.(

)(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2. (

)由1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1，2，3}.集合{(1，2)}中的元素是(1，2).??(3)集合{x∣x2＝1}與集合{－1，1}相等. (

)(4)集合{x∣x＞3}與集合{t∣t

＞3}相等.(

)由x2＝1求得x＝－1或x＝1，所以{x∣x2＝1}與{－1，1}相等.??雖然兩個(gè)集合的代表元素的符號(hào)(字母)不同，但實(shí)質(zhì)上它們均表示大于3的實(shí)數(shù)，兩個(gè)集合相等.2.給出下列集合，(1){0}，(2){x∣x

＞7，且x＜1}，(3){x∣x＞4}，

(4){x∣x2－2＝0，x∈Z}.其中空集的個(gè)數(shù)為(

)

A.1 B.2 C.3 D.4B3.由大于－1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示為_________________________，用描述法表示為

_______________________________.

{0，1，2，3，4}

{x∣－1＜x

＜5，x∈N}【題組訓(xùn)練】1.已知集合A＝{x∣－1≤x＜4，x∈Z}，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為 (

)

A.3 B.4 C.5 D.6C解析：因?yàn)椋?≤x＜4，x∈Z，所以x＝－1，0，1，2，3，所以集合A＝{－1，0，1，2，3}共有5個(gè)元素.解析2.集合{(x，y)∣y＝2x－1}表示 (

)A.方程y＝2x－1

B.點(diǎn)(x，y)C.平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)組成的集合D.函數(shù)y＝2x－1圖象上的點(diǎn)組成的集合D解析：集合{(x，y)∣y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，滿足的關(guān)系式為y＝2x－1，因此集合表示的是函數(shù)y＝2x－1圖象上的點(diǎn)組成的集合.解析

0

解析

{x∈R∣x≠1}

解析5.設(shè)x，y

為實(shí)數(shù)，已知A＝{x，y}，B＝{0，x2}，且

A＝B，求x，y

的值.解：因?yàn)榧螦，B相等，則x＝0或y＝0.(1)當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，不滿足集合中元素的互

異性，故舍去.(2)當(dāng)y＝0時(shí)，x＝x2，解得x＝0或x

＝1.由(1)知x＝0應(yīng)舍去.綜上知：x＝1，y＝0.7練習(xí)1.用“∈”或“?”填空：

∈∈∈∈∈∈??72.用列舉法表示下列集合：(1){x∣x

＋1＝0}；解：x＋1＝0x

＝－1.∴{x∣x＋1＝0}＝{－1}

綜上所述，結(jié)論是：{－1}；(2){x∣x為15的正約數(shù)}；7解：15＝1×15＝3×5.∴{x∣x為15的正約數(shù)}＝{1，3，5，15}綜上所述，結(jié)論是：{1，3，5，15};(3){x∣x為不大于10的正偶數(shù)}.7解：不大于10的正偶數(shù)是：2，4，6，8，10∴{x∣x為不大于10的正偶數(shù)}

＝{2，4，6，8，10}綜上所述，結(jié)論是：{2，4，6，8，10}.83.用描述法表示下列集合：(1)數(shù)的集合；(2)正數(shù)的集合；解：奇數(shù)的集合＝{n＝2k－1∣k∈Z}；