2023版 大一輪 數(shù)學 人教A版 新教材（京津瓊魯鄂渝湘閩粵冀浙）第8節(jié)　二項分布與正態(tài)分布

第8節(jié)二項分布與正態(tài)分布

知識分類落實回扣知識?夯實基礎(chǔ)

知識梳理

1.事件的相互獨立性

(1)定義

對任意兩個事件A與8,如果P(AB)=PC4)P(B)成立,則稱事件A與事件8相互

獨立，簡稱為獨立.

(2計生質(zhì)

如果事件A與B相互獨立，那么A與B,A與B,A與8也相互獨立.

2.〃重伯努利試驗

(1)只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進

行n次所組成的隨機試驗稱為〃重伯努利試驗.

(2)〃重伯努利試驗具有如下共同特征

①同一個伯努利試驗重復做〃次；

②各次試驗的結(jié)果相互獨立.

3.二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用

X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：

P(X=Q=C￡//(1一k=0,1,2,…，n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作

X?B(n,〃).

4.正態(tài)分布

(1)正態(tài)曲線

函數(shù)代)=司焉e—,xGR,其中〃GR,。>0為參數(shù).

顯然對于任意xdR,40〉0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的

區(qū)域的面積為1.我們稱/U)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，

簡稱正態(tài)曲線.

若隨機變量X的概率密度函數(shù)為7U)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X?

N"/)，特別地，當〃=0,。=1時,稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.

(2)由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點

①曲線是單峰的，它關(guān)于直線丘區(qū)對稱;

②曲線在x=fi處達到峰值短樂;

③當|x|無限增大時，曲線無限接近X軸.

(3)正態(tài)分布的期望與方差

若X?Na,o2),則E(X)=W，D(X)=^.

(4)正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

①P(//一(7WXW/Z+(7)^0.6827；

②PQi-2cW+2a)=0.9545；

③P(〃一3°WXWZ/+3(7KO9973

在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布N@,『)的隨機變量X只取口一3°,〃

+3㈤中的值，這在統(tǒng)計學中稱為3。原則.

?—常用結(jié)論與微點提醒一

1.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別

相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為尸(AB)=P(A)P(B),

互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(AU8)=P(A)

+P(3).

2.若X服從正態(tài)分布，即X?NQ,片)，要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱

和曲線與x軸之間的面積為1解題.

診斷自測

??思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)對于任意兩個事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.()

(2)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式尸(X=k)=ap&l—p)"r,k=0,1,

2,〃表示的概率分布列，它表示了〃次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)的

概率分布.()

(3)/7次獨立重復試驗要滿足：①每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果，可以分別稱

為“成功”和“失敗”；②每次試驗“成功”的概率為p,“失敗”的概率為1

一p;③各次試驗是相互獨立的.()

(4)正態(tài)分布中的參數(shù)〃和6完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)〃是正態(tài)分布的期望,(7

是正態(tài)分布的標準差.()

答案(l)x(2)V(3)V(4)7

解析對于(1),只有當A,8為相互獨立事件時，公式尸(AB)=P(A)P(B)才成立.

〉教材衍化

2.從應(yīng)屆高中生中選拔飛行員，已知這批學生體型合格的概率為小視力合格的概

率為幺其他幾項標準合格的概率為卷，從中任選一名學生，則該生三項均合格的

概率為(假設(shè)三項標準互不影響)()

A5

D,9

C-LD4

J為5

答案C

解析P=|X|X|=90-

3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1),旦尸(X>2c—1)=尸(X<c+3),則c=

答案|4

解析...X?N(3,1),.?.正態(tài)曲線關(guān)于尤=3對稱，

且P(X>2c—1)=尸(X<c+3),

4

/.2c—1+c+3=2X3,

>考題體驗

4.(2020.廣州調(diào)研)某公司生產(chǎn)了一批新產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的綜合質(zhì)量指標值x服從

正態(tài)分布N(100,f)，且P(x<80)=0.2.現(xiàn)從中隨機抽取該產(chǎn)品1000件，估計其

綜合質(zhì)量指標值在［100，120］內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為()

A.200B.300

C.400D.600

答案B

解析由題意，這種產(chǎn)品的綜合質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布M100,『)，則正態(tài)

分布曲線的對稱軸為x=100,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，得尸(100WxW120)=

P(80WxW100)=0.5—0.2=0.3,所以從中隨機抽取該產(chǎn)品1000件，估計其綜合

質(zhì)量指標值在［100,120］內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為1000X0.3=300,故選B.

5.(2021?鄭州模擬)甲、乙兩位選手進行乒乓球比賽，5局3勝制，每局甲贏的概率

是不乙贏的概率是本則甲以3：1獲勝的概率是()

8「16

A-27B27

「16八32

C8lD8T

答案A

解析甲以3：1獲勝是指前3局比賽中甲2勝1負，第4局比賽甲勝，.?.甲以3：1

獲勝的概率是P=c3義0xgx|=捺故選A.

6.(2021.濟南模擬)某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經(jīng)過三次射擊，此人至少

有兩次擊中目標的概率為.

答案0.648

解析設(shè)擊中目標的次數(shù)為X,則X?8(3,0.6).

故P(X22)=P(X=2)+P(X=3)

=CsO.62(l-0.6)+C^0.63=0.648.

考點分層突破考點聚焦?題型剖析

考點一相互獨立事件同時發(fā)生的概率師生共研

【例1】(2020?全國I卷)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽

的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人

被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽

結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為去

(1)求甲連勝四場的概率；

⑵求需要進行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

解⑴甲連勝四場的概率為；義夫京尹七

(2)根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽.

比賽四場結(jié)束，共有三種情況：

甲連勝四場的概率為七；乙連勝四場的概率為春

丙上場后連勝三場的概率為！

O

1113

所以需要進行第五場比賽的概率為1—七一七一/=生

loloo4

(3)丙最終獲勝，有兩種情況：

比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為《；

比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空

結(jié)果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為七I.

因此丙最終獲勝的概率為:+白+!+:=焉.

OloOO1O

感悟升華求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主栗方法

(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立

事件入手計算.

【訓練1](多選題)(2021.威海模擬)如圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣分

別為A,B,C,D,E.箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率，下列結(jié)論

正確的是()

AAB所在線路暢通的概率為看

B.ABC的所在線路暢通的概率為需

C.DE所在線路暢通的概率為表

D.當開關(guān)合上時，整個電路暢通的概率為石

答案BD

解析A,8所在線路暢通的概率為^X（l—；）=/因此A錯誤；

11129

D,E所在線路暢通的概率為1——記=就因此C錯誤；

jo3U3U

115

-確

-正

A,B,。所在線路暢通的概率為1—1一3乂-1---^B

4160

7Q590

根據(jù)上述分析可知，當開關(guān)合上時，電路暢通的概率為韜x1=今,D正確.

JUO30

考點二n重伯努利試驗與二項分布師生共研

【例2】（2021.東北三省三校聯(lián)考）某市旅游局為了進一步開發(fā)旅游資源，需要了

解游客的情況，以便制定相應(yīng)的策略.在某月中隨機抽取甲、乙兩個景點各10天

的游客數(shù)，畫出莖葉圖如圖所示，若景點甲的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是126,景點乙的數(shù)

據(jù)的平均數(shù)是124.

甲乙

8109

3211y58

47x12456

861333

65141

⑴求x,y的值；

⑵若將圖中景點甲的數(shù)據(jù)作為該景點較長一段時間內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)（視樣本頻率為

概率），則從這段時間內(nèi)任取4天,記其中游客數(shù)不低于125的天數(shù)為。，求PQW2）；

（3）現(xiàn)從圖中的20個數(shù)據(jù)中任取2個數(shù)據(jù)（甲、乙兩景點的數(shù)據(jù)各取1個），記其中

游客數(shù)不低于115且不高于135的個數(shù)為〃，求〃的分布列.

解（1）由題意知x>4,則120+；+127=]26,解得尤=5.

白109+110X3+120X3+130X2+141+1'+5+8+4+5+6+3+5

=124,解得y=4.

⑵由題意知，景點甲一天的游客數(shù)不低于125的概率為親=|,

從這段時間內(nèi)任取4天，即進行4重伯努利試驗，其中有。次發(fā)生，所以隨機變

量〃艮從二項分布，則P（￡2）=C圖圖+cj（|）圖+喏）2圖2=急

⑶從莖葉圖中可以看出，景點甲的數(shù)據(jù)中符合條件的有3個，景點乙的數(shù)據(jù)中符

3

合條件的有7個，所以在景點甲的數(shù)據(jù)中符合條件的數(shù)據(jù)被選出的概率為行，在

景點乙的數(shù)據(jù)中符合條件的數(shù)據(jù)被選出的概率為吉7.

由題意知，〃的所有可能取值為0,1,2.

732133772937

則產(chǎn)（〃=0）=正義行=而，^=i）=f5xTo+ToxTo=5（j'^=2）=wxio=

21

WO-

所以〃的分布列為

11012

212921

PToo50loo

感悟升華利用及重伯努利試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢

查該概率模型是否滿足公式P（X=Z）=C￡pk（］-p），E的三個條件：（1）在一次試驗

中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p;（2）〃次試驗不僅是在完全相同的情況下進

行的重復試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；（3）該公式表示〃次試驗中事

件A恰好發(fā)生了％次的概率.

【訓練2】（2019?天津卷改編）設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校

的概率均為（假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況

相互獨立.

⑴用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分

布列；

（2）設(shè)M為事件”上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在

7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

解（1）因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校

的概率為東2

故X?B（3,I）,從而尸（X=z）=c《|）（；）

k=0,192,3.

所以，隨機變量X的分布列為

X0123

1248

P

279927

⑵設(shè)乙同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為匕則y?8（3,|）,且M

=｛x=3,y=i｝u｛x=2,y=oj.

由題意知事件｛x=3,y=i｝與｛x=2,y=0｝互斥，且事件｛x=3｝與｛y=i｝,事件

｛x=2｝與｛丫=0｝均相互獨立，

從而由（1）知

P（M）=P（｛X=3,y=i）u｛x=2,y=oj）

=p（x=3,Y=I）+P（X=2,r=o）

824120

=P（X=3）P（Y=1）+P（X=2）尸（y=0）=萬Xg+gX3=詬.

考點三正態(tài)分布師生共研

【例3】⑴（2020?南寧、柳州聯(lián)考）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位:kg）分別服從正

態(tài)分布Nai,*），Ng段），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列說法錯誤的

是（）

A.甲類水果的平均質(zhì)量為0.4kg

B.甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右

C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小

D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)6=1.99

（2）設(shè)X?N（0，1），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，點A（l,0）,點8（2,0）,點

C（2,1）,點0（1,1）,向正方形A8CO內(nèi)任意投擲一粒黃豆，則該黃豆落入陰影

部分的概率是()

(注：X?NWf)，則P(//—aWXW〃+<7)=0.6827,P(/z-2aWXW〃+2Q=0.9545,

Pa—3aWXW，+3a)=0.9973)

y

i

0.5

-2-1O

-0.5

A.0.8641B.0.6587

C.0.5228D.0.9785

(3)(多選題)(2021.青島質(zhì)檢)近年來中國進入一個鮮花消費的增長期，某農(nóng)戶利用

精準扶貧政策，貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.

若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布N"3()2)和N(280,

402),則下列選項正確的是()

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N3,片)，則P(〃-(7)20.6827.

A.若紅玫瑰日銷售量范圍在a一30,280)的概率是0.6827,則紅玫瑰日銷售量的

平均數(shù)約為250

B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中

C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中

D.白玫瑰日銷售量范圍在(280,320)的概率約為0.34135

答案(1)D(2)A(3)ABD

解析(1)由圖象可知甲的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0.4對稱，乙的正態(tài)曲線關(guān)于直線

x=0.8對稱，所以〃1=0.4,償=0.8,A項正確，C項正確.

由圖可知甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右，B項

正確.

因為乙的正態(tài)曲線的最大值為1.99,即日=199,所以"1.99,D項錯誤.

故選D.

(2)由題意可得正態(tài)分布密度曲線的對稱軸是直線x=0,〃=0,標準差是。=1,

0.9545-0.6827

而2]=(U+(T,〃司,，

(1,+2P(]<XW2)=2=0.1359,

.?.題中陰影部分的面積為1-0.1359=0.8641.

記“黃豆落入陰影部分”為事件A,

陰影部分的面積

則=0.8641,故選A.

P(A)=正方形的面積

(3)對于選項A：“+30=280,"=250,正確；

對于選項BC：利用。越小越集中，30小于40,B正確，C不正確;

對于選項D：P(280<%<320)=P(JLI<X<］LI+<7)

^0.6827X^0.34135,正確.

感悟升華(1)利用3"原則求概率問題時，栗注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變

量的〃，(7進行對比聯(lián)系，確定它們屬于。，一(7,〃+(7),〃+2<7),(//—3(7,

〃+3㈤中的哪一個.

(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲

線關(guān)于直線X="對稱，及曲線與X軸之間的面積為1.注意下面兩個結(jié)論的活用：

①P(XVa)=l-P(X2a);②P(XV〃-b)=P(XN〃+(7).

【訓練3】某生物研究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)

蜻蜓有A,B兩種，且這兩種的個體數(shù)量大致相等.記A種蜻蜓和8種蜻蜓的翼長

(單位：mm)分別為隨機變量X,Y,其中X服從正態(tài)分布M45,25),丫服從正態(tài)

分布N(55,25).

(1)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間［45,55］的概率；

(2)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量Z,若用正態(tài)分布N〃o,而)來近似描述Z的分

布，請你根據(jù)(1)中的結(jié)果，求參數(shù)〃。和回的值(精確到0.1).

注：若X?N3,/)，則P〃-0.64aWXW"+0.64a)y0.4773,尸@一

。)=0.6827,P(〃-2(TWXW〃+2。)20.9545.

解(1)記這只蜻蜓的翼長為

因為A種蜻蜓和B種蜻蜓的個體數(shù)量大致相等，所以這只蜻蜓是A種還是B種的

可能性是相等的.

所以P(45WrW55)=；X尸(45WXW55)+；XP(45WYW55)

=；XP(45WXW45+2X5)+；XP(55—2X5WYW55)

10.95450.9545

=2X-^—2=0.47725.

(2)由于兩種蜻蜓的個體數(shù)量相等，x,丫的方差也相等，

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可知*)=帶&=50。

/.0.47725心0.4773,

.,.由(1)可知45=償)-0.64如，55=^i/o+0.64<7(),得。()=萬工心7.8.

拓展視野/

二項分布與超幾何分布的辨別

教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學生對這兩種模型的定義不能很好

地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認為是超幾何分布，不加分析，濫用

公式，運算對象不明晰，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，

但也有明顯的區(qū)別.

【例11寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪

些？服從超幾何分布的是哪些？

(1)X1表示〃次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù).

(2)X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2枚骰子的點數(shù)之和.

(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件采用有放回抽取方法抽取

〃次抽出的次品件數(shù)為X3.

⑷有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽〃件，出現(xiàn)

次品的件數(shù)為X4(N—M>〃>0).

解(1)%的分布列為

Xi012???n

2???

P<(r弟)"

Xi服從二項分布，即Xi?8",

(2)X2的分布列為

X223456789101112

12345654321

r

3636363636363636363636

(3)X3的分布列為

X3012???n

C聯(lián)1-都

崎(一曠

PG-耨???第

n—1

X3服從二項分布，即X3?4〃，骼

(4)X4的分布列為

??????

X401kn

C處Cl/C仁CC依X。C物

P??????

C5VC仲5百

X4服從超幾何分布.

【例2】某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線

上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],

(495,500],(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；

(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求

X的分布列；

(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)丫為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求丫的分布

歹IL

解(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5X0.05+5X0.01=0.3,

所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40X0.3=12(件).

⑵重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，

X的取值為0,1,2,

X服從超幾何分布.

“0、_魚_g_ofy-n-C12C18_28

P(X-O)-ci()-13O,P(X—1)—c加一65

。。=2）=落苗,

.??X的分布列為

X012

632811

r

13065130

（3）根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為前

_3

=而

從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗，質(zhì)量超過505

克的件數(shù)y的可能取值為0,1,2,且y?8（2,制

p（y=z）=c4i-需琳1

所以P（y=0）=C9.闔2=焉

3721

p（y=i）=a.俞正=帝

p（y=2）=c%（%=磊?

的分布列為

Y012

49219

P

10050100

思維升華超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽取

是有放回抽取，各次抽取相互獨立.當超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近

似地看作二項分布.

課后鞏固作業(yè)分層訓練?提升能力

A級基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射擊

一個目標，則他們同時中靶的概率是（）

J4c12

A-25B25

33

C4D5

答案A

4

解析因為甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P（甲）=亍

7,.4714

P（乙）=而，所以他們都中靶的概率是彳*正=詆.

LV/JLvz/J

2.（2020.西安質(zhì)檢）若隨機變量X?8（5,；）,則P（X=3）等于（）

140八103

A-3B-243C-27D5

答案B

解析隨機變量X?B（5,1）,則尸（x=3）=c{?彳|）2=景，故選B.

3.某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的

概率為工，則該隊員每次罰球的命中率為（）

A.1B.g

J

C.gD.Q

答案A

解析設(shè)“命中”的概率為P，則“兩次罰球至多命中一次”的概率為1—p2=

H，解得p=|.

4.（多選題）（2021.武漢調(diào)研）為吸引顧客，某商場舉辦購物抽獎活動抽獎規(guī)則是：從

裝有2個白球和3個紅球（小球除顏色外，完全相同）的抽獎箱中，每次摸出一個

球，不放回地依次摸取兩次，記為一次抽獎.若摸出的2個球顏色相同則為中獎，

否則為不中獎.下列隨機事件的概率正確的是（）

A.某顧客抽獎一次中獎的概率是5

B.某顧客抽獎三次，至少有一次中獎的概率是卷

C.在一次抽獎過程中，若已知顧客第一次抽出了紅球，則該顧客中獎的概率是古3

D.在一次抽獎過程中，若已知顧客第一次抽出了紅球，則該顧客中獎的概率是g

答案ABD

1-1-39

解析顧客抽獎一次中獎的概率為滯二=一式=/故A選項正確.顧客抽獎三

次，至少有一次中獎的概率是1一(1一|)3=1—(|?=1一券=覆，故B選項正

確.對于CD選項，由于第一次抽出了紅球，故剩余2個白球和2個紅球，再抽一

個，抽到紅球的概率是備=右故C選項錯誤，D選項正確.

5.據(jù)統(tǒng)計，某臍橙的果實橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布M80,52),則果實橫徑在

［75,90］內(nèi)的概率為()

附：若X?N也,er),則P〃一0WXW〃+O)Q0.6827,P。/—2“WXW〃+2㈤=0.954

5.

A.0.6827B.0.8413

C.0.8186D.0.9545

答案C

解析由題意得。=5,貝ijP(80-5WXW80+5尸0.6827,所以

P(75WXW85)心0.6827；尸(80—10WXW80+10)p0.9545,所以

95456827

「(70或乂忘90)心0.9545.所以P(85^X^90)^°'2°'=0.1359,所以果實

橫徑在［75,90］內(nèi)的概率為0.6827+0.1359=0.8186.

6.(2021?重慶診斷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(80,25),若P(75<XW〃z)=0.818

6,則機等于()

(附：P3—a<XW〃+a)=0.6827,P@—2<7<XW〃+2。)=0.9545)

A.89B.90C.91D.92

答案B

解析由題意得(7=5,〃=80,

產(chǎn)(80—5<XW80+5)=0.6827,即P(75<XW85)=0.6827；

P(80-10<X^80+10)=0.9545,即P(70<XW90)=0.9545.

0.9545-0.6827

所以

P(85<XW90)=2=0.1359.

因為尸(75<XW〃z)=0.8186,

而P(75<XW90)=P(75<XW85)+P(85<X<90)=0.6827+0.1359=0.8186,所以加

=90.

二、填空題

7.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答

出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是

0.8,且每個問題的回答結(jié)果相互獨立.則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪

的概率等于.

答案0.128

解析記''該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪”為事件A,由題意，若該

選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題回答錯誤，第三、四個

回答正確，第一個問題可對可錯，故P(A)=IX0.2X0.8X0.8=0.128.

8.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？?若該電梯在底層有

5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為;，用X表示這5位乘

客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X=4)=.

較案

u木243

解析考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗，

故X?8(5,g),

即有尸U=幻=a(￡)"*停,k,k=0,1,2,3,4,5.

故P(X=4)=弟)”目=懸

9.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝,

決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)

甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立，

則甲隊以4：1獲勝的概率是.

答案0.18

解析記事件M為甲隊以4：1獲勝，則甲隊共比賽五場，且第五場甲隊獲勝，

前四場甲隊勝三場負一場，所以P(M)=0.6X(0.62X0.52X2+0,6X0.4X0.52X2)

=0.18.

三'解答題

10.(2021?北京東城區(qū)綜合練習節(jié)選)某志愿者服務(wù)網(wǎng)站在線招募志愿者，當報名人

數(shù)超過計劃招募人數(shù)時，將采用隨機抽取的方法招募志愿者，下表記錄了A,B,

C,。四個項目最終的招募情況，其中有兩個數(shù)據(jù)模糊，記為a,b.

項目計劃招募人數(shù)報名人數(shù)

A50100

B60a

C80b

D160200

甲同學報名參加了這四個志愿者服務(wù)項目，記4為甲同學最終被招募的項目個數(shù),

已知P4=0)=小，P(。=4)=告.

(1)求甲同學至多被三個項目招募的概率;

(2)求m(的值.

解因為尸(。=0)=表，

所以a>60,且。>80.

設(shè)事件A表示“甲同學被項目A招募”，由題意可知，P(A)=H)O=2;

設(shè)事件8表示“甲同學被項目8招募”，由題意可知，P(B)=管；

QA

設(shè)事件C表示“甲同學被項目。招募”，由題意可知，P(O=詈；

設(shè)事件。表示“甲同學被項目。招募”，由題意可知，P(D)=^55=1

(1)由于事件“甲同學至多被三個項目招募”與事件“。=4”是對立的，所以甲同

19

學至多被三個項目招募的概率是1一尸(。=4)=1—而=而.

(2)由題意可知,

P(^=O)=P(ABCD)=1

%=4)=P(”C。)=黑?黑=余

解得a=120,6=160.

11.(2020?湖南五市十校聯(lián)考改編)為全面貫徹黨的教育方針，堅持立德樹人，適應(yīng)

經(jīng)濟社會發(fā)展對多樣化高素質(zhì)人才的需要，按照國家統(tǒng)一部署，湖南省高考改革

方案從2018年秋季進入高一年級的學生開始正式實施.新高考改革中，明確高考

考試科目由語文、數(shù)學、英語3科，及考生在政治、歷史、地理、物理、化學、

生物6個科目中自主選擇的3科組成，不分文理科.假設(shè)6個自主選擇的科目中每

科被選擇的可能性相等，每位學生選擇每個科目互不影響，甲、乙、丙為某中學

高一年級的3名學生.

(1)求這3名學生都選擇物理的概率；

(2)設(shè)X為這3名學生中選擇物理的人數(shù)，求X的分布列.

解(1)設(shè)“這3名學生都選擇物理”為事件A,

依題意得每位學生選擇物理的概率都為今

故PH)：!!?：*即這3名學生都選擇物理的概率為出

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,

由題意知X?43,

P(X=O)=避I啰4

p(x=i)=c(i)2(iy=i，

P(X=2)=唱⑶24

P(X=3)=cW)°?$

所以X的分布列為

X0123

X3