廣東省興寧市一中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

廣東省興寧市一中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B.C.2 D.42．設(shè)則下列說(shuō)法正確的是（）A.方程無(wú)解 B.C.奇函數(shù) D.3．在空間四邊形的各邊上的依次取點(diǎn)，若所在直線相交于點(diǎn)，則A.點(diǎn)必在直線上 B.點(diǎn)必在直線上C.點(diǎn)必在平面外 D.點(diǎn)必在平面內(nèi)4．圓的半徑和圓心坐標(biāo)分別為A. B.C. D.5．已知點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，則的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．設(shè)集合，則A. B.C. D.7．垂直于直線且與圓相切的直線的方程是AB.C.D.8．已知函數(shù)，則（）A.5 B.C. D.9．《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬，如圖，某陽(yáng)馬的三視圖如圖所示，則該陽(yáng)馬的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A. B.C.2 D.10．若，則下列不等式中，正確的是（）A. B.C. D.11．，則A.1 B.2C.26 D.1012．在半徑為cm的圓上，一扇形所對(duì)的圓心角為，則此扇形的面積為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．某高校甲、乙、丙、丁4個(gè)專業(yè)分別有150，150，400，300名學(xué)生．為了了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這4個(gè)專業(yè)的學(xué)生中抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丁專業(yè)中抽取的學(xué)生人數(shù)為______14．對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對(duì)任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；（2）現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”15．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任都有，則m的取值范圍是_________16．不等式tanx+三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．某視頻設(shè)備生產(chǎn)廠商計(jì)劃引進(jìn)一款新型器材用于產(chǎn)品生產(chǎn)，以提高整體效益.通過(guò)市場(chǎng)分析，每月需投入固定成本5000元，每月生產(chǎn)臺(tái)該設(shè)備另需投入成本元，且，若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)1000元，且當(dāng)月生產(chǎn)的視頻設(shè)備該月內(nèi)能全部售完.（1）求廠商由該設(shè)備所獲的月利潤(rùn)關(guān)于月產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)＝銷售額－成本）（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，制造商由該設(shè)備所獲得的月利潤(rùn)最大？并求出最大月利潤(rùn).18．已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求A∪B及A∩B；（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C?B，求a的取值范圍19．函數(shù)（1）解不等式；（2）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．將函數(shù)（且）的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示：（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程及對(duì)稱中心22．已知且是上的奇函數(shù)，且（1）求的解析式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求取值范圍；（3）把區(qū)間等分成份，記等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，設(shè)，記，是否存在正整數(shù)，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到，再用基本不等式求解即可.【詳解】由對(duì)數(shù)式有意義可得，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得，所以，結(jié)合，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故選：.2、B【解析】根據(jù)函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，由，得，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)闉闊o(wú)理數(shù)，所以，所以B正確，對(duì)于C，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，也為有理數(shù)，所以，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，也為無(wú)理數(shù)，所以，所以為偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：B3、B【解析】由題意連接EH、FG、BD，則P∈EH且P∈FG，再根據(jù)兩直線分別在平面ABD和BCD內(nèi)，根據(jù)公理3則點(diǎn)P一定在兩個(gè)平面的交線BD上【詳解】如圖：連接EH、FG、BD，∵EH、FG所在直線相交于點(diǎn)P，∴P∈EH且P∈FG，∵EH?平面ABD，F(xiàn)G?平面BCD，∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，故選B【點(diǎn)睛】本題考查公理3的應(yīng)用，即根據(jù)此公理證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線問(wèn)題，必須證明此點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，可有點(diǎn)在線上，而線在面上進(jìn)行證明4、D【解析】半徑和圓心坐標(biāo)分別為,選D5、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)即可求出【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，所以，故的終邊位于第四象限故選：D6、B【解析】,選B.【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.7、B【解析】設(shè)所求直線方程為3x+y+c=0，則d=，解得d=±10.所以所求直線方程為3x+y+10=0或3x+y－10=0.8、A【解析】分段函數(shù)求值，根據(jù)自變量的取值范圍代相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：A9、B【解析】根據(jù)三視圖畫出原圖，從而計(jì)算出最長(zhǎng)的棱長(zhǎng).【詳解】由三視圖可知，該幾何體如下圖所示，平面，，則所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為.故選：B10、C【解析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】由，得，即，故A錯(cuò)誤；則，則，即，故B錯(cuò)誤；則，，所以，故C正確；則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C11、B【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，則；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算，注意分析函數(shù)的解析式．解決分段函數(shù)求值問(wèn)題的策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式;(2)分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其對(duì)應(yīng)法則也不同的函數(shù)，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函數(shù)時(shí)要分段解決;(3)求f(f(f(a)))的值時(shí)，一般要遵循由里向外逐層計(jì)算的原則．12、B【解析】由題意，代入扇形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，圓心角為，所以由扇形的面積公式得.故選：B二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、12【解析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解詳解】由題意應(yīng)從丁專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為：故答案為：1214、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因?yàn)闀r(shí)，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因?yàn)?，則，，所以在的右側(cè)，又復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問(wèn)題，主要涉及到不等式恒成立的問(wèn)題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道有一定難度的題.15、，【解析】作出當(dāng)，時(shí)，的圖象，將其圖象分別向左、向右平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的或2倍），得到函數(shù)的圖象，令，求得的最大值，可得所求范圍【詳解】解：因?yàn)闈M足，即；又由，可得，畫出當(dāng)，時(shí)，的圖象，將在，的圖象向右平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍），再向左平移個(gè)單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍），由此得到函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)，時(shí)，，，，又，所以，令，由圖像可得，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，滿足對(duì)任意的，，都有，故的范圍為，故答案為：，16、kπ,π4【解析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)求解、【詳解】由正切函數(shù)性質(zhì)，由tanx+π4≥1得所以kπ≤x<kπ+π4，故答案為：[kπ,kπ+π4三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，獲得增加的利潤(rùn)最大，且增加的最大利潤(rùn)為4000元【解析】（1）分和時(shí)兩種情況，利用利潤(rùn)＝銷售額－成本列式即可；（2）利用二次函數(shù)求時(shí)的最大值，利用基本不等式求時(shí)的最大值，取最大即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，獲得增加的利潤(rùn)最大，且增加的最大利潤(rùn)為4000元18、（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；（2）{a|1＜a≤2},【解析】（1）化簡(jiǎn)集合A，B，利用并集及交集的概念運(yùn)算即得；（2）分a＞1，0＜a＜1討論，利用條件列出不等式即得.【小問(wèn)1詳解】∵A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a+2}，∴當(dāng)a＝2時(shí)，B＝{x|0＜x＜4}，所以A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)a＞1時(shí)，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}，因?yàn)镃?B，所以，解得－1≤a≤2，因?yàn)閍＞1，此時(shí)1＜a≤2，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此時(shí)不滿足C?B，綜上，a的取值范圍為{a|1＜a≤2}19、（1）（2）【解析】（1）由，根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性可得，然后解指數(shù)不等式即可.（2）由實(shí)數(shù)根，化為有實(shí)根，令，有正根即可，對(duì)稱軸，開口向上，只需即可求解.【詳解】（1）由，即，所以，，解得所以不等式的解集為.（2）由實(shí)數(shù)根，即有實(shí)數(shù)根，所以有實(shí)根，兩邊平方整理可得令，且，由題意知有大于根即可，即，令，，故故.故實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查了利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)對(duì)數(shù)型方程的根求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由圖象的平移特點(diǎn)可得所求函數(shù)的解析式；（2）求得的解析式，可得對(duì)一切恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可得所求范圍；（3）將化簡(jiǎn)為，由題意可得只需在區(qū)間，，上有唯一解，利用圖象，數(shù)形結(jié)合求得答案.【小問(wèn)1詳解】將函數(shù)且的圖象向左平移1個(gè)單位，得到的圖象，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象,即：;【小問(wèn)2詳解】函數(shù)，，若對(duì)一切恒成立，則對(duì)一切恒成立，由在遞增，可得，所以，即的取值范圍是，；【小問(wèn)3詳解】關(guān)于的方程且，故函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上有唯一解，作出函數(shù)且的圖象，如圖示：當(dāng)時(shí)，方程的解有且只有1個(gè)，故實(shí)數(shù)p的取值范圍是.21、（1）；（2）對(duì)稱軸，；對(duì)稱中心為，【解析】（1）根據(jù)圖形的最高點(diǎn)最低點(diǎn)，得到，以及觀察到一個(gè)周期的長(zhǎng)度為8，求出，在代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出，從而得到表達(dá)式；（2）利用正弦曲線的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，將看作整體進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由題圖知，，，，又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．，，（2）令，．，圖象的對(duì)稱軸，令，．圖象的對(duì)稱中心為，22、（1）；（2）；（3）存在，正整數(shù)或2.【解析】（1）根據(jù)，，即可求出的值，從而可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性由題意可得到恒成立，然后通過(guò)分類討論，根據(jù)二次不等式恒成立問(wèn)題的解決方法即可求出答案；（3）設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，