2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上冊期中數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1．復(fù)數(shù)z＝i（1－i）的模|z|＝（

）A． B．2 C．1 D．32．橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，焦距為4，則該橢圓的方程為（）A． B．=1 C．=1 D．=13．已知數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．4．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．150°5．過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．6．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是（

）A．2 B．6 C．4 D．127．設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．橢圓的兩焦點(diǎn)為、，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩邊，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．9．直線與圓的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交10．如圖，已知正方體，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與三條直線所成的角都相等的直線有且僅有一條B．與三條直線所成的角都相等的平面有且僅有一個C．到三條直線的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個D．到三條直線的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知直線圓C:則直線被圓C所截得的線段的長為.12．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．在正四面體O－ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝(用表示)．14．圓：和圓：的位置關(guān)系是.15．已知數(shù)列滿足下面說法正確的有.①當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列；②當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列；③當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列；④當(dāng)為正整數(shù)時，數(shù)列必有兩項相等的最大項.三、解答題：本大題共6小題，共85分.16．如圖.在正方體中，E為的中點(diǎn)．(1)求證：平面ACE；(2)求直線AD與平面ACE所成角的正弦值．17．已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)，且是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求的通項公式和前項和.18．在中，，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)的值；(2)角的大小和的面積.條件①：；條件②.19．如圖,四棱錐中,平面,,.,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;(Ⅲ)若,在線段上是否存在一點(diǎn),使得⊥.若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.20．已知橢圓：的一個頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)定點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于，，直線，的斜率分別記為，.求的值21．設(shè)，如果函數(shù)：的值域也是，則稱之為一個泛函數(shù)，并定義其迭代函數(shù)列：，.(1)請用列表法補(bǔ)全如下函數(shù)列；12345678910217534910(2)求證：對任意一個，存在正整數(shù)（是與有關(guān)的一個數(shù)），使得；(3)類比排序不等式：，，把中的10個元素按順序排成一列記為，使得10項數(shù)列：，，，…，的所有項和最小，并計算出最小值及此時對應(yīng)的.1．A【分析】直接計算模即可【詳解】，故選：A2．C【分析】利用長軸長及焦距求出，結(jié)合可得答案.【詳解】由題意可設(shè)所求橢圓方程為，又因為長軸長為和焦距為4，所以，，即，，再由，故所求橢圓方程為，故選：C．3．A令得，令得可解得.【詳解】因為，所以，因為，所以.故選：A4．A【分析】將直線的一般式改寫成斜截式，再由斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴又∵∴故選：A.5．A【分析】由題意，設(shè)所求直線為，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，求得m值，即可得答案.【詳解】因為所求直線與直線l平行，所以設(shè)所求直線方程為：，又所求直線過點(diǎn)，代入可得，解得，所以所求直線為，即.故選：A6．C【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出橢圓的長半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓＋y2＝1知，該橢圓的長半軸，A是橢圓的一個焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為，而點(diǎn)在BC邊上，點(diǎn)B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長故選：C7．B【分析】當(dāng)時，可得，但此時數(shù)列不單調(diào)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可得答案.【詳解】當(dāng)時，，雖然有，但是數(shù)列為擺動數(shù)列，并不是遞增數(shù)列，所以不充分；反之當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列時，則必有，因此是必要條件，故選：B．本題考查充分、必要條件的判斷，數(shù)列的單調(diào)性，著重考查推理分析的能力，屬基礎(chǔ)題.8．D【分析】利用題干可得，則，構(gòu)建的等量關(guān)系即可求離心率.【詳解】由題可知等邊的邊的中點(diǎn)為，所以可得，所以，由橢圓定義可得，即，則離心率.故選：D9．C【分析】利用幾何法，判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可．【詳解】由已知得，圓的圓心為（0，0），半徑為，所以圓心到直線的距離為.因為，所以所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交或相切；故選：C．10．D【分析】所成的角都相等的直線有無數(shù)條，A錯誤，成的角相等的平面有無數(shù)個，B錯誤，距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個，C錯誤，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：根據(jù)對稱性知與三條直線的夾角相等，則與平行的直線都滿足條件，有無數(shù)條，錯誤；對選項B：根據(jù)對稱性知平面與三條直線所成的角相等，則與平面平行的平面都滿足條件，有無數(shù)個，錯誤；對選項C：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，，，上一點(diǎn)，則，，，點(diǎn)到直線的距離為，同理可得到直線和的距離為，故上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個，錯誤；對選項D：上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個，正確；故選：D11．【分析】先求得圓心到直線的距離為，再利用圓的弦長公式，即可求解．【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由圓的弦長公式，可得，即直線被圓C所截得的線段的長為．故答案為．本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記圓的弦長公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入各點(diǎn)坐標(biāo)求出的值即可.【詳解】由題意設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入各點(diǎn)坐標(biāo)得，，解得，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為.13．【詳解】因為在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，故答案為.14．外離【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系直接得出.【詳解】根據(jù)兩圓的方程可知，得，，，所以，所以兩圓外離.故外離.15．②③④【分析】通過求出數(shù)列的遞推式，找出之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在數(shù)列中，，∴，∵，∴當(dāng)時，,即當(dāng)時，，即.當(dāng)時，，故數(shù)列不是遞減數(shù)列，故①不正確.當(dāng)時，，，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故②正確.當(dāng)時，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故③正確.當(dāng)為正數(shù)時，令,所以.時，,數(shù)列從第二項起遞減，所以此時數(shù)列有兩項相等的最大值；時，數(shù)列從第一項到第項遞增，從第項起遞減，，所以，,所以,所以此時數(shù)列有兩項相等的最大值，故④正確.選②③④.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推式，遞增遞減數(shù)列的判斷，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維和理解題意的能力，計算的能力，具有很強(qiáng)的綜合性.16．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連連接BD與AC交于點(diǎn)O，根據(jù)中位線定理可知，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算，平面的一個法向量，然后根據(jù)空間向量的夾角公式計算即可.【詳解】（1）如圖所示：，連接BD與AC交于點(diǎn)O，因為O，E為中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令，所以設(shè)平面的一個法向量為所以，令所以，所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值17．(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列定義求解；（2）先寫出數(shù)列的通項公式，再分組求和即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，即，設(shè)等差數(shù)列公差為，因為，，所以，即.（2）因為，所以,由（1）可得，設(shè)前項和為，.18．(1)(2)，【分析】（1）若選①，則直接利用余弦定理可求得，若選②，先由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后由正弦定理可求出，（2）若選①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面積公式可求出其面積，若選②，由于，利用兩角和的余弦公式展開計算可求出角，利用面積公式可求出其面積，【詳解】（1）選擇條件①因為，，，由余弦定理，得，化簡得，解得或（舍）.所以；選擇條件②因為，，所以，因為，，所以，由正弦定理得，得，解得；（2）選擇條件①因為，，所以.由正弦定理，得，所以，因為，所以，所以為銳角，所以，所以，選擇條件②由（1）知，，又因為，，在中，，所以因為所以，所以19．(Ⅰ)見解析(Ⅱ).(Ⅲ)不存在，見解析【分析】（I）通過證明，證得平面.（II）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.（III）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列方程，推出矛盾，由此判斷滿足條件的點(diǎn)不存在.【詳解】(Ⅰ)證明:因為平面,,所以平面.又因為平面,所以.

在中,,是的中點(diǎn),所以.又因為,所以平面.(Ⅱ)解:因為平面,所以,.又因為

,所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,,.

設(shè)平面的法向量為.則即

令,則,,于是.因為平面,所以.又,所以平面.又因為,所以取平面的法向量為.所以,即,解得.又因為,所以.(Ⅲ)結(jié)論:不存在.理由如下:證明:設(shè).當(dāng)時,.,.由知,,,.這與矛盾.所以,在線段上不存在點(diǎn),使得.本小題主要考查線面垂直的證明，考查根據(jù)二面角的余弦值求參數(shù)，考查存在性問題的求解，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）得，所以橢圓的方程為.（2）

設(shè)直線：，則，消得：，，所以，設(shè)，，所以，，因為，所以，，21．(1)列表見解析(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義以及定義域與值域的定義，