2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高二上冊(cè)期中數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．P是橢圓上一點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．94．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A． B． C． D．5．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則（

）A． B． C．3 D．46．如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則（

）A． B． C． D．7．已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．外離8．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為正三角形，則C的離心率為（

）A． B． C． D．9．一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降2米后，水面寬是（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米10．已知橢圓：，雙曲線：，.設(shè)橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，橢圓M的離心率為，雙曲線N的離心率為，記雙曲線N的一條漸近線與橢圓M一個(gè)交點(diǎn)為P，若且，則的值為（）A． B．C．2 D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為.12．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么等于．13．已知點(diǎn)在拋物線：上，則點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為．14．在長(zhǎng)方體中，，則．15．已知點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點(diǎn)的軌跡方程為．16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，是底面上一點(diǎn)．若平面，則長(zhǎng)度的最小值是；最大值是．三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求到面的距離．18．已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)求的面積．19．在如圖所示的多面體中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分別為棱的中點(diǎn).（I）求點(diǎn)F到直線EC的距離；（II）求平面BED與平面EDC夾角的余弦值；（III）在棱GF上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面MNQ//平而EDC？若存在.指出點(diǎn)Q的位置，若不存在，說(shuō)明理由.20．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交橢圓于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．求的值．21．已知集合（）具有性質(zhì)P：對(duì)任意的（），與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A．(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；(2)證明：，且；(3)當(dāng)n＝5時(shí)，若，求集合A．1．B【分析】根據(jù)直線一般方程得直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角與斜率得關(guān)系可得傾斜角的大小.【詳解】解：由直線得直線的斜率又直線的傾斜角為，且，所以，得故選：B.2．B【分析】依題意可得兩平面的法向量共線，即可得到，從而得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解得；故選：B．3．A【分析】首先將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而得出橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓定義即可求解.【詳解】解：對(duì)橢圓方程變形得，易知橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為4，由橢圓的定義可得,又，故.故選：A.4．B【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，代入點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，求出一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離即可，則的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故選：B.5．A【分析】根據(jù)半徑的平方等于弦長(zhǎng)一半的平方加圓心到直線的距離的平方，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半為1，.故選：A.6．C【分析】利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于的表達(dá)式.【詳解】因?yàn)?，所以，則有：故選：C.7．D【分析】求出圓心距，大于兩半徑之和，從而判斷出兩圓的位置關(guān)系.【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則圓心距，且，故圓與圓的位置關(guān)系是外離.故選：D8．B【分析】結(jié)合圖像，利用平面幾何的知識(shí)證得，結(jié)合橢圓的定義可分別求出及，由此得到的關(guān)系式，進(jìn)而可求得橢圓C的離心率.【詳解】如圖，連結(jié)，由橢圓可知，，因?yàn)闉檎切?，所以，又因?yàn)?，所以，又，所以，故，所以在中，，所以由得，即，故橢圓C的離心率為.故選：B..9．D【分析】沿拱頂建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出圓的方程后可得水面下降2米后的水面寬.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)圓的方程為：，代入，則有，故圓的方程為：，令，則，故，故選：D.10．A【分析】聯(lián)系橢圓定義可順利解得其離心率，由漸近線方程可以順利解得雙曲線的離心率.【詳解】橢圓：中，且則，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為則橢圓M的離心率直線OP斜率為又由題意可知直線OP為雙曲線N的一條漸近線，雙曲線：的漸近線方程為故，即，則雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為則雙曲線N的離心率則故選：A11．【分析】設(shè)所求直線方程為，利用點(diǎn)坐標(biāo)求得，從而求得正確答案.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，將代入得，所以所求方程為.故12．【分析】根據(jù)橢圓中，得出的代數(shù)式，并根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)列出方程即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，又因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，所以，解得，故答案為.13．【分析】根據(jù)給定的拋物線方程求出其準(zhǔn)線方程，再結(jié)合拋物線定義即可計(jì)算作答.【詳解】拋物線：的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義得，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為3.故314．3【分析】根據(jù)給定的幾何體，用空間向量的基底表示向量，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】在長(zhǎng)方體中，，所以.故315．【分析】先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式寫(xiě)出，再把代入橢圓方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)檩S，垂足為M，且PM的中點(diǎn)為，所以，又因?yàn)镻是橢圓上任意一點(diǎn)，所以，即.故答案為.16．取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，利用面面平行的判定定理證得平面平面，結(jié)合已知條件可知，在等腰中，可求得長(zhǎng)度的最值.【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，由正方體，分別為的中點(diǎn)，又平面，平面，平面分別為的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)知同理可知，又平面，平面，平面又，平面平面平面是底面上一點(diǎn)．且平面，在等腰中，的長(zhǎng)度最大時(shí)為的長(zhǎng)度最小時(shí)，為中點(diǎn)，，，即故，方法點(diǎn)睛：證明面面平行常用的方法：（1）面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（2）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（3）兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（4）利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直時(shí)，直線的方向向量與平面的法向量共線證明即可；（2）利用空間向量，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，直線，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，又因?yàn)?，所以，所以平?（2）由（1）知平面的法向量為，又因?yàn)?，所以到面的距離為．18．(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；離心率為(2)【分析】（1）由橢圓的定義及性質(zhì)可以得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率，（2）先計(jì)算點(diǎn)到的距離，再利用公式求出線段的長(zhǎng)，最后用面積公式計(jì)算解決問(wèn)題.【詳解】（1）橢圓知，該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)焦距為，由，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為：（2）由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)則消去得，，所以又到的距離為所以的面積為：19．（I）；（II）；（III）不存在，證明見(jiàn)解析；【分析】（I）由題知，，，又，建立以D點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求得向量，，則點(diǎn)F到直線EC的距離為；（II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夾角求得二面角的余弦值；（III）假設(shè)GF上存在點(diǎn)Q使得平面平面，設(shè)出坐標(biāo)，求得平面MNQ的法向量，與平面EDC的法向量應(yīng)共線，驗(yàn)證是否存在即可.【詳解】（I）由平面ABCD知，，，又，則建立以D點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，則，，，所以點(diǎn)F到直線EC的距離為（II）由（I）知，，，設(shè)平面BED的法向量為，則，令，則設(shè)平面EDC的法向量為，則，令，則故由圖知，二面角為銳二面角，故余弦值為（III）設(shè)GF上存在一點(diǎn)Q，設(shè)，則，設(shè)平面MNQ的法向量為則，令，則若平面平面，則，故不存在，即不存在點(diǎn)Q使得平面平面20．(1)(2)1【分析】第一問(wèn)用橢圓短軸和離心率的相關(guān)定義求解即可，第二問(wèn)中的斜率易求，討論是否為分別求解即可.【詳解】（1）由題意得解得．橢圓的方程為．（2）

由，顯然斜率存在，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則直線方程為．由得．顯然．設(shè)，則．則中點(diǎn)．直線的方程為，由得．．綜上的值為1．本題考查解析幾何，屬于難題，第一問(wèn)用基本定義即可求解，第二問(wèn)用所學(xué)知識(shí)，分析題意，進(jìn)行分類討論，求解即可，考生需加強(qiáng)分類討論思想的學(xué)習(xí).21．(1)數(shù)集具有性質(zhì)P，數(shù)集不具有性質(zhì)P；理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)定義，計(jì)算并判斷出數(shù)集具有性質(zhì)P，數(shù)集不具有性質(zhì)P；（2）判斷出屬于集合A，即0∈A，即，結(jié)合集合定義得到，同理可得，利用倒序相加求出；（3）根據(jù)定義推導(dǎo)出是首項(xiàng)為0，公差為的等差數(shù)列，求出．【詳解】（1）因?yàn)槎紝儆跀?shù)集，所以數(shù)集具有性質(zhì)P，因?yàn)楹途粚儆跀?shù)集，所以數(shù)集不具有性質(zhì)P；（2）證明：令，因?yàn)榕c兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，所以不屬于A，所以屬于集合A，即0∈A，所以，令j＝n，i＞1，因?yàn)榕c兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，所以不屬于A，所以屬于集合A，令，