專題15 類比歸納專題：求平面直角坐標系中的圖形面積壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專題15類比歸納專題：求平面直角坐標系中的圖形面積壓軸題三種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】 1【類型二利用補形法或分割法求圖形的面積】 6【類型三與圖形面積相關(guān)的點的存在性問題】 11【過關(guān)檢測】 18【典型例題】【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】例題：（2023春·天津濱海新·七年級校考期中）在直角坐標系中，三角形的頂點，，．

(1)求三角形的面積．(2)若P是x軸上一動點，若三角形的面積等于三角形面積的一半，求點P的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）過點B作軸于點H，由得到，由及得到，利用三角形面積公式即可得到三角形的面積；（2）設(shè)點P的坐標為，則，根據(jù)題意得到，解得或，即可得到點P的坐標．【詳解】（1）解：過點B作軸于點H，

∵，∴，∵三角形的頂點，．∴，∴三角形的面積，即三角形的面積為；（2）設(shè)點P的坐標為，則，∵三角形的面積等于三角形面積的一半，∴，解得或，∴點P的坐標為或．【點睛】此題主要考查了圖形與坐標、絕對值方程、三角形面積公式等知識，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·河北廊坊·七年級?？计谥校┤鐖D在平面直角坐標系中，已知，，，其中a、b滿足．

(1)求a、b的值；(2)求的面積；(3)在x軸上求一點P，使得的面積與的面積相等．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性求解即可；（2）由（1）可知點A、B的坐標，從而可求出，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式可求出，結(jié)合題意可列出關(guān)于x的等式，解出x的值即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，，∴，∴；（3）解：設(shè)，∴，∴．∵的面積與的面積相等，∴，解得：或，∴點P的坐標為或．當點P的坐標為時點B與點P重合，∴點P的坐標為．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形，絕對值方程的應(yīng)用等知識．掌握絕對值和平方的非負性，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為，，且，滿足，點的坐標為．

(1)求，的值；(2)求的面積．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負性，即可求得，的值；（2）根據(jù)，的值可以確定點、的坐標，進而求得，的距離，即可求得的面積．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，（2）解：∵，，∴點，點，又∵點，∴，，∴．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)、絕對值、算術(shù)平方根的非負性以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負性求出，的值．3．（2023春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，．

(1)求三角形的面積；(2)設(shè)點是軸上一點，若，試求點坐標；(3)若點在線段上，求用含的式子表示．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式解答即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式和坐標特點得出方程解答即可；（3）根據(jù)，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：設(shè)點是軸上一點，坐標為，，，，，即，解得：或，或；（3）解：如圖，連接，

，，，，，，，，，點在第三象限，，，，整理得：．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【類型二利用補形法或分割法求圖形的面積】例題：（2023春·江西南昌·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知點，，，求三角形的面積．【答案】18【分析】方法一：如圖，作長方形，由可得答案；方法二：如圖，過點B作軸，并分別過點A和點C作的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，由可得答案；方法三：如圖，過點A作軸，并分別過點C和點B作的垂線，垂足分別為點D，E，由可得答案．【詳解】解：方法一：如圖，作長方形，則．方法二：如圖，過點B作軸，并分別過點A和點C作的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．∴，，，，，∴．方法三：如圖，過點A作軸，并分別過點C和點B作的垂線，垂足分別為點D，E．∴，，，，，∴．【點睛】本題考查的是網(wǎng)格三角形的面積，坐標與圖形，熟練的構(gòu)建與網(wǎng)格三角形面積相關(guān)的長方形與梯形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·湖北恩施·七年級校聯(lián)考期中）如圖，有一塊不規(guī)則的四邊形地皮，各個頂點的坐標分別為，，，圖上一個單位長度表示米，求這個四邊形的面積．【答案】這個四邊形的面積為【分析】過點作軸于點，過點作軸于點，如圖，先計算出相關(guān)線段的長，再根據(jù)求解即可【詳解】解：過點作軸于點，過點作軸于點，如圖，，，，，，，，，，，，．答：這個四邊形的面積為．【點睛】本題考查了坐標與圖形，正確得到相關(guān)線段的長度、掌握割補法求解的方法是關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江大慶·七年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，每格代表個單位，三角形的三個頂點都在格點上．

(1)請寫出，，的坐標．(2)求出三角形的面積．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由圖可得點，，的坐標；（2）過各頂點作軸和軸的平行線，構(gòu)成矩形，利用矩形面積減去周圍三角形面積即可求的面積．【詳解】（1）解：由圖可知：，，；（2）如圖：過各頂點作軸和軸的平行線，構(gòu)成矩形，

由圖可知，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了平面直角坐標系中的坐標點，利用網(wǎng)格求三角形面積，本題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造出矩形，求解三角形面積．3．（2023春·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┰谌鐖D所示的直角坐標系中，多邊形的各頂點的坐標分別是，，確定這個多邊形的面積，你是怎樣做的?【答案】25，見解析【分析】根據(jù)矩形、三角形和梯形面積公式以及進行計算．【詳解】解：如圖所示，多邊形的面積．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形性質(zhì)，一些不規(guī)則圖形可以轉(zhuǎn)化為一些易求面積的圖形的和或差來計算．【類型三與圖形面積相關(guān)的點的存在性問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，在坐標系中，已知，，，連接交軸于點，，．(1)請直接寫出點，的坐標，______，______；(2)如圖2，、分別表示三角形、三角形的面積，點在軸上，使，點若存在，求點縱坐標、若不存在，說朋理由；(3)如圖3，若是軸上方一點，當三角形的面積為20時，求出的值．【答案】(1)，；(2)存在，12或；(3)或．【分析】（1）根據(jù)立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)可得a，b的值，即可求解；（2）設(shè)P點縱坐標為，然后分兩種情況討論：當在上方時，當在下方時，結(jié)合，即可求解；（3）分兩種情況討論：當在右側(cè)時，當在左側(cè)時，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，；故答案為：，（2）解：存在，設(shè)P點縱坐標為．當在上方時，，，，，∴，解得：；當在下方時，，，，，∴，解得：．綜上：點縱坐標為12或．（3）解：當在右側(cè)時，，過左軸于，連接，∴，∵三角形的面積為20，∴，；當在左側(cè)時，，過左軸于，連接，，∵三角形的面積為20，∴，；綜上所述，的值為12或．【點睛】本題主要考查了立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，坐標與圖形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東湛江·七年級?？计谥校┤鐖D所示，，，點在軸上，且．(1)求點的坐標；(2)求三角形的面積；(3)在軸上是否存在點，使以、、三點為頂點的三角形的面積為？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或；(2)；(3)存在，或【分析】（1）分點在點的左邊和右邊兩種情況解答；（2）利用三角形的面積公式列式計算即可得解；（3）利用三角形的面積公式列式求出點到軸的距離，然后分兩種情況寫出點的坐標即可．【詳解】（1）如圖，當點在點的右邊時，，當點在點的左邊時，，所以的坐標為或；（2）的面積，答：的面積為；（3）設(shè)點到軸的距離為，則，解得，當點在軸正半軸時，，當點在軸負半軸時，，綜上所述，點的坐標為或【點睛】本題考查了點的坐標的確定，三角形的面積公式，分類討論，坐標軸上兩點間的距離公式等有關(guān)知識；能求出符合條件的點的坐標是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山西運城·八年級統(tǒng)考期中）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中，滿足，點是第一象限內(nèi)的點，，．(1)分別求出點、、的坐標．(2)如果在第二象限內(nèi)有一點，是否存在點，使得的面積等于的面積？若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．(3)在平面直角坐標系是否存在點，使與全等，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)(3)，或【分析】（1）根據(jù)可得，，從而得到，，再根據(jù)，構(gòu)造全等三角形，即可得到點C的坐標；（2）根據(jù)三個頂點坐標可求，則，又因為，即可求點P的坐標；（3）根據(jù)三角形全等畫出符合題意的圖形，確定點E，由（1）求點C的坐標的方法可求出點坐標，點與點關(guān)于點A對稱，點C與點關(guān)于點B對稱，即可得到點E的三個坐標．【詳解】（1）解：∵，∴∴，，∴，，∴，過點作軸于點，則∵，∴，在中，，∴∵，∴∴，∴，∴，∵點在第一象限內(nèi)，∴．（2）存在．過點作軸于點，則∵，∴∵，∴，∴，∴（3），或理由：如圖所示，當，且點在第一象限時，由（1）同理得當，且點在第二象限時，點與點關(guān)于點A對稱∴當，且點在第二象限時，點C與點關(guān)于點B對稱∴綜上所述，，或故答案為：，或【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角坐標系中求三角形的面積以及點之間的對稱問題，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握運用全等三角形的性質(zhì)與判定．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系中，由點組成的三角形的面積是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】根據(jù)A和B兩點的縱坐標相等，可得線段的長，再根據(jù)點C的縱坐標，可得以為底的的高，從而的面積可求．【詳解】解析：由點得，點C在直線上，與直線平行，且平行線間的距離為4，∴．故選：A．【點睛】本題考查了三角形的面積計算，明確平面直角坐標系中的點的坐標特點及如何求相應(yīng)線段的長，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖在平而直角坐標系中，點，點，點，則三角形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)坐標系，利用梯形的面積減去多余三角形的面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作軸，過點分別作垂直于，垂足為點，∵，，，∴，，則∴三角形的面積是故選：A．【點睛】本題考查了坐標與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，若點關(guān)于y軸的對稱點是B，則點B的坐標為．設(shè)O為坐標原點，則的面積是．【答案】3【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同即可求出點B的坐標，進而可以求出△AOB的面積．【詳解】解：∵點關(guān)于y軸的對稱點是B，∴點B的坐標為（-1，-3），∴AB=2，∴，故答案為：（-1，-3）；3．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，坐標與圖形變化—軸對稱，正確求出點B的坐標是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·福建福州·七年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點的坐標分別為，，，若的面積為面積的2倍，則的值為【答案】12或【分析】由點的橫坐標相等，得出軸，，點到的距離為，根據(jù)的面積為面積的2倍，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵、、的坐標分別為，∴軸，，點到的距離為∵若的面積為面積的2倍，∴即解得或故答案為：或．【點睛】本題考查了坐標與圖形，兩點之間的距離，點到直線的距離，正確建立方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級佳木斯市第五中學校聯(lián)考開學考試）在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為，且，滿足，已知點坐標為，

(1)求、的值及的面積；(2)若點在坐標軸上，且，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)，，；(2)點的坐標或或或．【分析】（1）由，結(jié)合絕對值、算術(shù)平方根的非負性即可得出a、b的值，再結(jié)合三角形的面積公式即可求出的值；（2）分兩種情況討論，設(shè)出點M的坐標，找出線段或的長度，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合，從而得出點M的坐標．【詳解】（1）解：∵，即，∴，．∴，，∴點，點，又∵點，∴，，∴；（2）解：分情況討論，當點在x軸上時，設(shè)點的坐標為，則又∵，∴，∴．∴，即，解得：或，故點的坐標為或；當點在y軸上時，設(shè)點的坐標為，則又∵，∴，∴．∴，即，解得：或5，故點的坐標為或；綜上，點的坐標或或或．【點睛】本題考查了三角形的面積，坐標與圖形的性質(zhì)、絕對值（算術(shù)平方根）的非負性以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負性求出a、b的值：（2）根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元一次方程．解決該題時，根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負性求出點的坐標是關(guān)鍵．6．（2023春·湖北鄂州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，的三個頂點位置分別是，，．

(1)求的面積；(2)若點、的位置不變，當點在軸上什么位置時，使？(3)若點、的位置不變，當點在軸上什么位置時，使？【答案】(1)(2)點在軸正半軸時，；點在軸負半軸時，(3)點在的左邊時，；點在的右邊時，【分析】（1）根據(jù)點的坐標得出,然后得出邊上的高為4，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（2）根據(jù)，進而根據(jù)點在軸的正半軸與負半軸，分類討論即可求解；（3）根據(jù)，進而分點在點的左邊和右邊分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，點B到的距離為3，∴的面積．（2）∵，，∴點在軸正半軸時，；點在軸負半軸時，．（3）∵，，∴點在的左邊時，，即；點在的右邊時，，即．【點睛】本題考查了坐標與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖北隨州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，平面直角坐標系中，已知、、，且．

(1)則______，______，______；(2)求四邊形AOBC的面積；(3)點p在y軸上，且求點p的坐標．【答案】(1)2，3，4(2)8(3)或【分析】（1）利用絕對值的非負性、平方的非負性及二次根式的非負性即可求解．（2）由（1）可知，，，，可得四邊形為直角梯形，利用梯形的面積公式即可求解．（3）設(shè)點P的坐標為：，由得，求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，，解得：，，，故答案為：2，3，4．（2）過點C作交于D，如圖所示：

由（1）可知，，，，，，，，．（3）設(shè)點P的坐標為：，由得：，即：，解得：，點P的坐標為：或．【點睛】本題考查了絕對值的非負性、平方的非負性、二次根式的非負性、坐標與圖形，熟練掌握絕對值的非負性、平方的非負性及二次根式的非負性是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在x軸的負半軸上，點C在第二象限，軸，且，點在第一象限．

(1)求B，C兩點的坐標；(2)是否存在m，使以A，B，O，P為頂點的四邊形的面積等于？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，【分析】（1）根據(jù)在x軸的負半軸上，可得，即可得，問題隨之得解；（2）根據(jù)可得，再根據(jù)坐標表示出，，最后列等式即可求解．【詳解】（1）點在x軸的負半軸上，，解得或（不符合題意，舍去），，又點C在第二象限，軸，且，；（2）存在，當點時，即，，點的坐標為，∴，∵點在第一象限，∴，，．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，以及利用算術(shù)平方根解方程的知識，能用表示出，是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023春·海南省直轄縣級單位·七年級嘉積中學?？计谀┤鐖D，直角坐標系中，的頂點都在網(wǎng)格上，其中點坐標為．

(1)寫出點的坐標：（______，______）、（______，______）；(2)將先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到，請畫出平移后的；(3)求的面積；(4)在軸正半軸上是否存在點，使．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，(2)見解析(3)(4)存在，點的坐標為，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標系中圖形與坐標的特點即可求解；（2）根據(jù)圖形平移的規(guī)律即可求解；（3）運用“割補法”求不規(guī)則圖形的面積即可；（4）設(shè)，用含的式子表示的面積，由此即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)圖示，點的坐標為，點的坐標為，故答案為：，，，．（2）解：將先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，如圖所示，

∴即為所求圖形．（3）解：如圖所示，將補成梯形，

∴，，，，，∴，，，∴．（4）解：存在，點的坐標為，理由如下：由（3）可知，，在軸正半軸上點，如圖所示，過點作軸于點，過點作軸于點，

∴，，，，，∴，，，∴，∵，∴，解得，，∴點的坐標為．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系中圖形的變換，掌握坐標與圖形，圖形的平移，“割補法”求不規(guī)則圖形的面積等知識是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與y軸交于點，且

(1)求的面積；(2)如圖，P為線段上一點，且，若面積等于的面積的，求點P的橫坐標；

(3)已知點，若面積不大于9，直接寫出取值范圍．【答案】(1)9(2)2(3)【分析】（1）利用非負性，求出的值，進而求解即可；（2）過點作軸于點，設(shè)點的橫坐標為，利用面積等于梯形的面積加上的面積減去的面積，以及面積等于的面積的，列式計算即可；（3）將直線分別向上和向下平移3個單位，得到直線，根據(jù)的面積為，得到當面積為時，點在直線或直線上，求出此時的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：，∴，，∴，∴的面積；（2）過點作軸于點，設(shè)點的橫坐標為，

則：，，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，解得：；∴點的橫坐標為2；（3）將直線分別向上和向下平移3個單位，得到直線，

∵的面積為，∴當面積為時，點在直線或直線上，當點在上時，當時，，點不在上，不符合題意；∴，在第四象限，∴，即，∴在點的左側(cè)，如圖所示，過點作軸，過點作于點，則：，∴，則：，∴，解得：；當點在上時，如圖，此時：軸，軸，即：，；∴，∵面積不大于9，∴．【點睛】本題考查坐標與圖形．解題的關(guān)鍵是正確的求出點的坐標，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，本題的難度大，對學生的思維能力要求較高，屬于壓軸題．11．（2023春·貴州遵義·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中、滿足．

(1)填空：，；(2)如果在第三象限內(nèi)有一點，請用含m的式子表示的面積；(3)在（2）的條件下，當時，此時線段與y軸交于點，使得的面積與的面積相等，請求出點P的坐標．【答案】(1)，(2)(3)點P坐標為或．【分析】（1）根據(jù)雙重非負性可知，，，求解即可；（2）過點M作軸于點N，根據(jù)三角形面積公式和第三象限坐標的特點分析即可；（3）根據(jù)三角形由三角形和三角形組成分析即可．【詳解】（1）∵，∴且，解得：，，故答案為：，；（2）過點M作軸于點N，

∵，，∴，又∵點在第三象限，∴，∴；（3）當點P在y軸正半軸上時，設(shè)交y軸于點C，

當時，，∴，∵