吉林省長(zhǎng)春市重點(diǎn)高中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)

高三數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則（）A或3 B.0 C.3 D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C.1 D.3.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.4.某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購(gòu)人污水過(guò)濾系統(tǒng)對(duì)污水進(jìn)行過(guò)濾處理，已知在過(guò)濾過(guò)程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時(shí)間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過(guò)濾過(guò)程中，前2個(gè)小時(shí)過(guò)濾掉了污染物的30%，則可計(jì)算前6小時(shí)共能過(guò)濾掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%5.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位6.已知是半徑為的球體表面上的四點(diǎn)，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，則使成立的x的取值范圍為（）A. B. C. D.8.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱C.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，D.將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可以得到的圖像10.對(duì)于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.11.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.12.已知，且，則（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)，則函數(shù)的最小值是__________.14.函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，都有，則m的取值范圍是_______15.三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為_(kāi)________.16.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前的項(xiàng)和．18.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，，求的值．19.第四屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2021年11月5日至10日在上海舉行.本屆進(jìn)博會(huì)有4000多項(xiàng)新產(chǎn)品?新技術(shù)?新服務(wù).某跨國(guó)公司帶來(lái)了高端空調(diào)模型參展，通過(guò)展會(huì)調(diào)研，中國(guó)甲企業(yè)計(jì)劃在2022年與該跨國(guó)公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預(yù)計(jì)全年需投入固定成本260萬(wàn)元，生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入資金R萬(wàn)元，且.經(jīng)測(cè)算，當(dāng)生產(chǎn)10千臺(tái)空調(diào)時(shí)需另投入的資金R=4000萬(wàn)元.現(xiàn)每臺(tái)空調(diào)售價(jià)為0.9萬(wàn)元時(shí)，當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.（1）求2022年該企業(yè)年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)為多少？注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本.20.如圖，已知三個(gè)內(nèi)角，，對(duì)邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）是外一點(diǎn)，連接，構(gòu)成平面四邊形，若，求的最大值．21.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）求最大值.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．

高三數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則（）A.或3 B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由集合相等的含義得，求解并驗(yàn)證互異性即可.【詳解】，，解得或，當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，舍去.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意.綜上，.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，進(jìn)而求得的虛部.【詳解】，故的虛部是.故選：A3.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出命題為真時(shí)的充要條件，進(jìn)一步判斷即可.【詳解】若命題“”為真命題，即恒成立，又，則，故，結(jié)合選項(xiàng)可知，是的一個(gè)充分不必有條件，故選：4.某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保理念，購(gòu)人污水過(guò)濾系統(tǒng)對(duì)污水進(jìn)行過(guò)濾處理，已知在過(guò)濾過(guò)程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時(shí)間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過(guò)濾過(guò)程中，前2個(gè)小時(shí)過(guò)濾掉了污染物的30%，則可計(jì)算前6小時(shí)共能過(guò)濾掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型，結(jié)合已知數(shù)據(jù)列出方程求解作答.【詳解】依題意，前2個(gè)小時(shí)過(guò)濾后剩余污染物數(shù)量為，于是，解得，因此前6小時(shí)過(guò)濾后剩余污染物數(shù)量為，所以前6小時(shí)共能過(guò)濾掉污染物的.故選：C5.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】【分析】，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換即可求解.【詳解】因?yàn)?所以將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象.故選:B.6.已知是半徑為的球體表面上的四點(diǎn)，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，證得為中點(diǎn)，平面與平面的夾角即為的余角，解，即可得解.【詳解】設(shè)球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，

∵，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，則，

由為外心，故，則，

由題意可得平面，

故平面與平面的夾角，即為的余角.

在中，，，

則由正弦定理可得，

由球的半徑為，故，,

由平面，平面，可得，

則中，,即，

故平面與平面的夾角為，故其余弦值為.故選:B7.設(shè)函數(shù)，則使成立的x的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】分和兩種情況解不等式即可【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，得，，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，得，所以，綜上，，即使成立的x的取值范圍為，故選：B8.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對(duì)稱C.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，D.將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可以得到的圖像【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式分別應(yīng)用對(duì)稱軸,對(duì)稱中心,單調(diào)性及平移逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A:,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;對(duì)于B:令,則,故函數(shù)的對(duì)稱中心為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:令,則,故函數(shù)的對(duì)稱軸為,故C正確;對(duì)于D:將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得,故D正確.故選:ACD.10.對(duì)于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由①，則當(dāng)時(shí)有②，兩式相減得．求出后利用累加法求得，判斷AB，利用可得，從而判斷CD，【詳解】根據(jù)題意知，數(shù)列中，有①，則當(dāng)時(shí)有②，①－②可得．又由，，得，則，，，，則，A正確，B錯(cuò)誤；若，則，，，，則，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC11.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較大小，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】令，則．∵在上恒成立，∴，故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；由，得，即，故B錯(cuò)誤；由，得，即，故C正確；由得，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12.已知，且，則（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解判斷【詳解】因?yàn)?，且，A.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；B.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；C.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；D.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)，則函數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值是最小值為.故答案為：.14.函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，都有，則m的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件依次得到在附近的區(qū)間，、對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然后按其規(guī)律畫(huà)出函數(shù)的圖像，再根據(jù)不等式恒成立的意義與函數(shù)圖像即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，由此作出圖象如圖所示，由圖知當(dāng)時(shí)，令，整理得：，解得：或，要使對(duì)任意的，都有，必有，所以m的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象，不等式恒成立問(wèn)題，考查分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.15.三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征可知內(nèi)切圓半徑為，所以可得四面體外接球球心為在平面射影為中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理找出等量關(guān)系可解得外接球半徑，即可求出結(jié)果.【詳解】三棱錐底面為直角三角形，為內(nèi)心，由，可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)內(nèi)切圓半徑，易知的周長(zhǎng)為，面積為；由等面積可得，解得；設(shè)四面體外接球球心為，所以易知在平面射影為中點(diǎn)，易知，則，設(shè)，則，且，即，解得，則四面體的外接球表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解幾何體外接球半徑問(wèn)題時(shí)，一般是根據(jù)幾何體特征找出外接球球心位置再利用等量關(guān)系解出半徑即可求出結(jié)果.16.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】18【解析】【分析】先根據(jù)得到，從而，對(duì)進(jìn)行整理，用含的式子表示，再用基本不等式進(jìn)行求解最小值.【詳解】由得，所以，，故，解得：或，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．故答案為：18四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前的項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，然后分別利用分組求和，錯(cuò)位相減法求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加即可.【小問(wèn)1詳解】由，得，兩式相減得．令數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，【小問(wèn)2詳解】由題意可得，,①，則②，①②得：,∴,18.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用及即可求出解析式；（2）判斷出，根據(jù)，即可求出的值，進(jìn)一步可求出的值，根據(jù)二倍角公式，即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則，，因?yàn)?，所以，所以，所以，則．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，且，所以，所以，所以，由，得．19.第四屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2021年11月5日至10日在上海舉行.本屆進(jìn)博會(huì)有4000多項(xiàng)新產(chǎn)品?新技術(shù)?新服務(wù).某跨國(guó)公司帶來(lái)了高端空調(diào)模型參展，通過(guò)展會(huì)調(diào)研，中國(guó)甲企業(yè)計(jì)劃在2022年與該跨國(guó)公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預(yù)計(jì)全年需投入固定成本260萬(wàn)元，生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入資金R萬(wàn)元，且.經(jīng)測(cè)算，當(dāng)生產(chǎn)10千臺(tái)空調(diào)時(shí)需另投入的資金R=4000萬(wàn)元.現(xiàn)每臺(tái)空調(diào)售價(jià)為0.9萬(wàn)元時(shí)，當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.（1）求2022年該企業(yè)年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)為多少？注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本.【答案】（1）（2）當(dāng)2022年產(chǎn)量為100千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為8990萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由題意可知時(shí)，R=4000，代入函數(shù)中可求出，然后由年利潤(rùn)等于銷(xiāo)售總額減去投入資金，再減去固定成本，可求出年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式，（2）分別當(dāng)和求出函數(shù)的最大值，比較即可得答案【小問(wèn)1詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以a=300.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，W有最大值，最大值為8740；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=100時(shí)，W有最大值，最大值為8990.因?yàn)?，所以?dāng)2022年產(chǎn)量為100千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為8990萬(wàn)元.20.如圖，已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）是外一點(diǎn)，連接，構(gòu)成平面四邊形，若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可得；（2）設(shè)，在中利用正弦定理可得，再在中，利用余弦定理可得，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得最值.【小問(wèn)1詳解】由已知，則，所以，化簡(jiǎn)可得，又在中，，所以，則，即，又，，所以，，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，即，且，即，在中，由余弦定理得，即，由，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，所以的最大值為.21.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定理邊化角，進(jìn)而可得，結(jié)合角的范圍即可求解；方法2，利用余弦定理進(jìn)行邊角的互化，進(jìn)而可得，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式進(jìn)