保定市重點中學2023-2024學年數(shù)學高一上期末含解析

保定市重點中學2023-2024學年數(shù)學高一上期末注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知函數(shù)，則（）A. B.3C. D.2．已知點在第二象限，則角的終邊所在的象限為A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．設p：關于x的方程有解；q：函數(shù)在區(qū)間上恒為正值，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.5．下列函數(shù)中定義域為，且在上單調遞增的是A. B.C. D.6．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B.C. D.7．總體由編號為01，02，...，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）7961950784031379510320944316831718696254073892615789810641384975A.20 B.18C.17 D.168．直線的傾斜角為A.30° B.60°C.120° D.150°9．某單位共有名職工，其中不到歲的有人，歲的有人，歲及以上的有人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽出名職工了解他們的健康情況．如果已知歲的職工抽取了人，則歲及以上的職工抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.10．半徑為1cm，圓心角為的扇形的弧長為（）A. B.C. D.11．如圖是某班名學生身高的頻率分布直方圖，那么該班身高在區(qū)間內的學生人數(shù)為A. B.C. D.12．命題“，是4倍數(shù)”的否定為（）A.，是4的倍數(shù) B.，不是4的倍數(shù)C.，不是4倍數(shù) D.，不是4的倍數(shù)二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設、為平面向量，若存在不全為零的實數(shù)λ，μ使得λμ0，則稱、線性相關，下面的命題中，、、均為已知平面M上的向量①若2，則、線性相關；②若、為非零向量，且⊥，則、線性相關；③若、線性相關，、線性相關，則、線性相關；④向量、線性相關的充要條件是、共線上述命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）14．已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形的弧長為___________.15．給出下列命題“①設表示不超過的最大整數(shù)，則；②定義：若任意，總有，就稱集合為的“閉集”，已知且為的“閉集”，則這樣的集合共有7個；③已知函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值5，那么在上有最小值.其中正確的命題序號是_________.16．符號表示不超過的最大整數(shù)，如，定義函數(shù)，則下列命題中正確是________.①函數(shù)最大值為；②函數(shù)的最小值為；③函數(shù)有無數(shù)個零點；④函數(shù)是增函數(shù)；三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù).（1）判斷在上的單調性，并證明你的結論；（2）是否存在，使得是奇函數(shù)？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.18．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構成的集合；（3）若函數(shù)在上是以為上界有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.19．如圖，在平面直角坐標系中，為單位圓上一點，射線繞點按逆時針方向旋轉后交單位圓于點，點的橫坐標為（1）求的表達式，并求（2）若，求的值20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及其單調遞減區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的零點，不寫步驟，直接用列舉法表示的值組成的集合.21．已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)．設集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}(1)當q＝2，n＝3時，用列舉法表示集合A.(2)設s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.證明：若an<bn，則s<t.22．已知函數(shù)，（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】根據分段函數(shù)的解析式，令代入先求出，進而可求出的結果.【詳解】解：，則令，得，所以.故選：D.2、D【解析】由題意利用角在各個象限符號，即可得出結論.【詳解】由題意，點在第二象限，則角的終邊所在的象限位于第四象限，故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)在各個象限的符號，其中熟記三角函數(shù)在各個象限的符號是解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.3、B【解析】先化簡p,q，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為方程有解,即方程有解，令，則，即；因為函數(shù)在區(qū)間上恒為正值，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，解得，所以p是q的必要不充分條件，故選：B4、C【解析】對數(shù)函數(shù)的單調性可比較、與的大小關系，由此可得出結論.【詳解】，即.故選：C.5、D【解析】先求解選項中各函數(shù)的定義域，再判定各函數(shù)的單調性，可得選項.【詳解】因為的定義域為，的定義域為，所以排除選項B,C.因為在是減函數(shù)，所以排除選項A，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質，求解函數(shù)定義域時，熟記常見的類型：分式，偶次根式，對數(shù)式等，單調性一般結合初等函數(shù)的單調性進行判定，側重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).6、C【解析】如圖所示，補成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍7、D【解析】利用隨機數(shù)表從給定位置開始依次取兩個數(shù)字，根據與20的大小關系可得第5個個體的編號.【詳解】從隨機數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，小于或等于20的5個編號分別為：07，03，13，20，16，故第5個個體編號為16.故選：D.【點睛】本題考查隨機數(shù)表抽樣，此類問題理解抽樣規(guī)則是關鍵，本題屬于容易題.8、A【解析】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選A.9、A【解析】計算抽樣比例，求出不到35歲的應抽取人數(shù)，再求50歲及以上的應抽取人數(shù).【詳解】計算抽樣比例為，所以不到35歲的應抽取(人，所以50歲及以上的應抽取(人.故選：.10、D【解析】利用扇形弧長公式直接計算即可.【詳解】圓心角化為弧度為，則弧長為.故選：D.11、C【解析】身高在區(qū)間內的頻率為人數(shù)為，選C.點睛：頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1;頻率分布直方圖中組中值與對應區(qū)間概率乘積的和為平均數(shù);頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應概率之比,也等于對應頻數(shù)之比.12、B【解析】根據特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題即可求解【詳解】因為特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以命題“，是4的倍數(shù)”的否定為“，不是4的倍數(shù)”故選：B二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①④【解析】利用和線性相關等價于和是共線向量，故①正確，②不正確，④正確．通過舉反例可得③不正確【詳解】解：若、線性相關，假設λ≠0，則，故和是共線向量反之，若和是共線向量，則，即λμ0，故和線性相關故和線性相關等價于和是共線向量①若2，則20，故和線性相關，故①正確②若和為非零向量，⊥，則和不是共線向量，不能推出和線性相關，故②不正確③若和線性相關，則和線性相關，不能推出若和線性相關，例如當時，和可以是任意的兩個向量．故③不正確④向量和線性相關的充要條件是和是共線向量，故④正確故答案為①④【點睛】本題考查兩個向量線性相關的定義，兩個向量共線的定義，明確和線性相關等價于和是共線向量，是解題的關鍵14、【解析】由扇形的圓心角與面積求得半徑再利用弧長公式即可求弧長.【詳解】設扇形的半徑為r，由扇形的面積公式得：，解得，該扇形的弧長為.故答案為：.15、①②【解析】對于①，如果，則，也就是，所以，進一步計算可以得到該和為，故①正確；對于②，我們把分成四組：，由題設可知不是“閉集”中的元素，其余三組元素中的每組元素必定在“閉集”中同時出現(xiàn)或同時不出現(xiàn)，故所求的“閉集”的個數(shù)為，故②正確；對于③，因為在上的最大值為，故在上的最大值為，所以在上的最小值為，在上的最小值為，故③錯．綜上，填①②點睛：（1）根據可以得到，因此，這樣的共有，它們的和為，依據這個規(guī)律可以寫出和并計算該和（2）根據閉集的要求，中每組元素都是同時出現(xiàn)在閉集中或者同時不出現(xiàn)在閉集中，故可以根據子集的個數(shù)公式來計算（3）注意把非奇非偶函數(shù)轉化為奇函數(shù)或偶函數(shù)來討論16、②③【解析】利用函數(shù)中的定義結合函數(shù)的最值、周期以及單調性即可求解.【詳解】函數(shù)，函數(shù)的最大值為小于，故①不正確；函數(shù)的最小值為，故②正確；函數(shù)每隔一個單位重復一次，所以函數(shù)有無數(shù)個零點，故③正確；由函數(shù)圖像，結合函數(shù)單調性定義可知，函數(shù)在定義域內不單調，故④不正確；故答案為：②③【點睛】本題考查的是取整函數(shù)問題，在解答時要充分理解的含義，注意對新函數(shù)的最值、單調性以及周期性加以分析，屬于基礎題.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）減函數(shù)，證明見解析；（2），理由見解析【解析】（1）由單調性定義判斷；（2）根據奇函數(shù)的性質由求得，然后再由奇函數(shù)定義驗證【詳解】（1）是上的減函數(shù)設，則，所以，，即，，所以，所以是上的減函數(shù)（2）若是奇函數(shù)，則，，時，，所以，所以為奇函數(shù)所以時，函數(shù)為奇函數(shù)18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由奇函數(shù)的定義，代入即可得出結果.（2）由復合函數(shù)的單調性，可得在區(qū)間上單調遞增，進而求出值域，即可得出結果.（3）由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，利用函數(shù)單調性的定義證明單調性，再求出值域，即可求出結果.【詳解】（1）因函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，即，得，而當時不合題意，故（2）由（1）得：，而，易知在區(qū)間上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為，所以，故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構成集合為.（3）由題意知，在上恒成立.，.在上恒成立.設，，，由得設，，所以在上遞減，在上遞增，在上的最大值為，在上的最小值為，所以實數(shù)的取值范圍為.19、（1），（2）【解析】（1）由點的坐標可求得，再由三角函數(shù)的定義可求出，從而可求出的值，（2）由題意可得，則可求得，從而利用三角函數(shù)恒等變換公式可求得結果【小問1詳解】因為，所以，由三角函數(shù)定義，得所以【小問2詳解】因為，所以，因為，所以所以20、（1）的最小正周期為，單調遞減區(qū)間是（2）【解析】（1）根據正弦函數(shù)的最小正周期公式計算可得，根據正弦函數(shù)的單調性求出函數(shù)的單調區(qū)間.（2）先求出函數(shù)的零點，是或中的元素，在分類討論計算可得.【小問1詳解】的最小正周期為：對于函數(shù)，當時，單調遞減，解得所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是；【小問2詳解】因，即所以函數(shù)的零點滿足：或即或所以是或中的元素當時，則當(或，)時，則當，則所以的值的集合是21、（1）A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}；（2）見解析.【解析】（Ⅰ）當q=2，n=3時，M={0，1}，A={x|x=x1+x2?2+x3?22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A；（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an<bn，可得an-bn≤-1．由題意可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1]，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出試題解析：(1)當q＝2，n＝3時，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}(2)證明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，a