安徽省銅陵五中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

安徽省銅陵五中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)，的最小正周期是（）A. B.C. D.2．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.3．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行且與圓：相切,則直線(xiàn)的方程是A. B.或C. D.或4．已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示，則（）A.B.對(duì)于任意，，且，都有C.，都有D.，使得5．若函數(shù)是偶函數(shù)，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.6．農(nóng)業(yè)農(nóng)村部于2021年2月3日發(fā)布信息：全國(guó)按照主動(dòng)預(yù)防、內(nèi)外結(jié)合、分類(lèi)施策、有效處置的總體要求，全面排查蝗災(zāi)隱患.為了做好蝗蟲(chóng)防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專(zhuān)家假設(shè)蝗蟲(chóng)的日增長(zhǎng)率為6%，最初有只，則大約經(jīng)過(guò)（）天能達(dá)到最初的1200倍.（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.122 B.124C.130 D.1367．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是A. B.C. D.8．若，且，則的值是A. B.C. D.9．設(shè)，，則下面關(guān)系中正確的是（）A B.C. D.10．一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x≤01,x>0，則滿(mǎn)足A.(-∞,-1]C.(-1,0) D.(-12．直線(xiàn)與圓相切，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，且在上是減函數(shù)，若、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，對(duì)（1），為奇數(shù)；（2）；（3）；（4）；（5）.則以上結(jié)論中正確的有______________.(填入所有正確結(jié)論的序號(hào)).14．已知為角終邊上一點(diǎn)，且，則______15．符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，定義函數(shù)，則下列命題中正確是________.①函數(shù)最大值為；②函數(shù)的最小值為；③函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)是增函數(shù)；16．已知一容器中有兩種菌，且在任何時(shí)刻兩種菌的個(gè)數(shù)乘積為定值，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，科學(xué)家用來(lái)記錄菌個(gè)數(shù)的資料，其中為菌的個(gè)數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說(shuō)法：①；②若今天值比昨天的值增加1，則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多10；③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)控制為5萬(wàn)，則此時(shí)(注：)則正確的說(shuō)法為_(kāi)_______．(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào))三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知實(shí)數(shù)，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（Ⅰ）求實(shí)數(shù)值；（Ⅱ）判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式恒成立．若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．如圖，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)（１）證明：平面平面；（２）若直線(xiàn)與平面所成的角為，求三棱錐的體積19．如圖，函數(shù)（，）的圖象與y軸交于點(diǎn)，最小正周期是π（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段PA中點(diǎn)，且，求的值20．中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育重要的階段，長(zhǎng)時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩個(gè)班的學(xué)生每周熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí))，從這兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們最近一周熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)作為樣本數(shù)據(jù)，如下表所示．如果學(xué)生一周熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)超過(guò)小時(shí)，則稱(chēng)為“過(guò)度熬夜”．甲班乙班（1）分別計(jì)算出甲、乙兩班樣本的平均值；（2）為了解學(xué)生過(guò)度熬夜的原因，從甲、乙兩班符合“過(guò)度熬夜”的樣本數(shù)據(jù)中，抽取個(gè)數(shù)據(jù)，求抽到的數(shù)據(jù)來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率；（3）從甲班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取個(gè)數(shù)據(jù)，求恰有個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度熬夜”的概率21．某運(yùn)營(yíng)商為滿(mǎn)足用戶(hù)手機(jī)上網(wǎng)的需求，推出甲、乙兩種流量包月套餐，兩種套餐應(yīng)付的費(fèi)用（單位：元）和使用的上網(wǎng)流量（單位：GB）之間的關(guān)系如圖所示，其中AB，DE都與橫軸平行，BC與EF相互平行（1）分別求套餐甲、乙的費(fèi)用（元）與上網(wǎng)流量x（GB）的函數(shù)關(guān)系式f(x)和g(x)；（2）根據(jù)題中信息，用戶(hù)怎樣選擇流量包月套餐，能使自己應(yīng)付的費(fèi)用更少？22．（1）化簡(jiǎn)：（2）求值：

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】利用正弦型函數(shù)周期公式直接計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故選：C2、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】，，，，.故選：D.3、D【解析】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€(xiàn)，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由題意得或所以，直線(xiàn)的方程或4、C【解析】根據(jù)給定函數(shù)圖象求出函數(shù)的解析式，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】觀(guān)察函數(shù)的圖象得：，令的周期為，則，即，，由，且得：，于是有，對(duì)于A，，A不正確；對(duì)于B，取且，滿(mǎn)足，，且，而，，此時(shí)，B不正確；對(duì)于C，，，，即，都有，C正確；對(duì)于D，由得：，解得：，令，解得與矛盾，D不正確.故選：C5、D【解析】結(jié)合為偶函數(shù)，建立等式，利用對(duì)數(shù)計(jì)算性質(zhì)，計(jì)算m值，結(jié)合單調(diào)性，建立不等式，計(jì)算x范圍，即可【詳解】，，，,令,則,則,當(dāng),遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性單調(diào)遞增,故偶函數(shù)在上是增函數(shù)，所以由，得，.【點(diǎn)睛】本道題考查了偶函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，結(jié)合偶函數(shù)，計(jì)算m值，利用單調(diào)性，建立關(guān)于x的不等式，即可6、A【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)天后蝗蟲(chóng)數(shù)量達(dá)到原來(lái)的倍，列出方程，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解【詳解】由題意可知，蝗蟲(chóng)最初有只且日增長(zhǎng)率為6%；設(shè)經(jīng)過(guò)n天后蝗蟲(chóng)數(shù)量達(dá)到原來(lái)的1200倍，則，∴，∴，∵，∴大約經(jīng)過(guò)122天能達(dá)到最初的1200倍.故選：A.7、C【解析】分別求出的值，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)所在的范圍【詳解】由題意，，，所以，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是，故選C.【點(diǎn)睛】本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)零點(diǎn)定理求出即可，本題是一道基礎(chǔ)題8、A【解析】由，則，考點(diǎn)：同角間基本關(guān)系式9、D【解析】根據(jù)元素與集合關(guān)系，集合與集合的關(guān)系判斷即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以?故選：D.10、D【解析】由幾何體的正視圖和俯視圖可知，三棱錐的頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在底面棱上，則原幾何體如圖所示，從而側(cè)視圖為D．故選D11、D【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：函數(shù)f(x)=2滿(mǎn)足f(x+1)<f(2x)，可得2x<0≤x+1或2x<x+1?0，解得x∈(-故選：D12、D【解析】由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可得【詳解】由題意圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以，解得故選：D二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、（1）（4）（5）【解析】令，結(jié)合偶函數(shù)得到，根據(jù)題意推出函數(shù)的周期為，可得（1）正確；根據(jù)函數(shù)在上是減函數(shù)，結(jié)合周期性可得在上是增函數(shù)，利用、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得（4）（5）正確，當(dāng)時(shí)，可得（2）（3）不正確.【詳解】∵，令，得，又是偶函數(shù)，則，∴，且，可得函數(shù)是周期為2的函數(shù).故，為奇數(shù).故（1）正確；∵、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，∴，可得，∵在區(qū)間上是增函數(shù)，，∴，即鈍角三角形的兩個(gè)銳角、滿(mǎn)足，由在區(qū)間上是減函數(shù)得，∵函數(shù)是周期為2的函數(shù)且在上是減函數(shù)，∴在上也是減函數(shù)，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得在上是增函數(shù).∵鈍角三角形的兩個(gè)銳角、滿(mǎn)足，，且，，∴，.故（4）（5）正確；當(dāng)時(shí)，，，，，故（2）（3）不正確.故答案為：（1）（4）（5）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.14、##【解析】利用三角函數(shù)定義可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定義計(jì)算得解【詳解】由三角函數(shù)定義可得：，解得：，則，所以，，.故答案為：.15、②③【解析】利用函數(shù)中的定義結(jié)合函數(shù)的最值、周期以及單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)，函數(shù)的最大值為小于，故①不正確；函數(shù)的最小值為，故②正確；函數(shù)每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，所以函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故③正確；由函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義可知，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，故④不正確；故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查的是取整函數(shù)問(wèn)題，在解答時(shí)要充分理解的含義，注意對(duì)新函數(shù)的最值、單調(diào)性以及周期性加以分析，屬于基礎(chǔ)題.16、③【解析】對(duì)于①通過(guò)取特殊值即可排除，對(duì)于②③直接帶入計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)nA＝1時(shí)，PA＝0，故①錯(cuò)誤；若PA＝1，則nA＝10，若PA＝2，則nA＝100，故②錯(cuò)誤；B菌的個(gè)數(shù)為nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故選③三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上遞增，證明詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）不存在.【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，得到恒成立，即恒成立，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）任取，且，根據(jù)題意，作差得到，進(jìn)而可得出函數(shù)單調(diào)性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)在上遞增，由函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上遞減，再由題意，不等式恒成立可化為恒成立，即對(duì)任意的恒成立，根據(jù)判別式小于0，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是偶函數(shù)，則恒成立，即，故恒成立，因?yàn)椴豢赡芎銥?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，而，所以（Ⅱ）該函數(shù)在上遞增，證明如下設(shè)任意，且，則，因?yàn)?，所以，且；所以，即，即；故函?shù)在上遞增（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)在上遞增，而函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)在上遞減．若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式恒成立．則恒成立，即，即對(duì)任意的恒成立，則，得到，故，所以不存在【點(diǎn)睛】本主要考查由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義即可，屬于?？碱}型.18、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（１）由面面垂直的判定定理很容易得結(jié)論；（２）所求三棱錐底面積容易求得，是本題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用直線(xiàn)與平面所成的角為，作出線(xiàn)面角，進(jìn)而可求得的值，則可得的長(zhǎng)試題解析：（1）如圖，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又是正三角形的邊的中點(diǎn)，所以又，因此平面而平面，所以平面平面（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié),因?yàn)槭钦切?，所以又三棱柱是直三棱柱，所以因此平面，于是為直線(xiàn)與平面所成的角，由題設(shè)，，所以在中，，所以故三棱錐的體積考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定定理；直線(xiàn)與平面所成的角；幾何體的體積．19、（1）；（2），或.【解析】（1）根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是π，，所以有，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即；【小?wèn)2詳解】設(shè)，即，因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段PA的中點(diǎn)，所以有，代入，得，因?yàn)?，所以，因此有，或，解得：，?20、（1），；（2）；（3）【解析】（1）利用平均數(shù)公式代入求解；（2）由題意得甲班和乙班各有“過(guò)度熬夜”的人數(shù)為，計(jì)算得基本事件總數(shù)和個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的基本事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的公式代入計(jì)算取個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率；（3）甲班共有個(gè)數(shù)據(jù)，其中“過(guò)度熬夜”的數(shù)據(jù)有個(gè)，計(jì)算得基本事件總數(shù)和恰有個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度熬夜”的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的公式代入計(jì)算恰有個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度熬夜”的概率.【詳解】（1）甲的平均值：；乙的平均值：；（2）由題意，甲班和乙班各有“過(guò)度熬夜”的人數(shù)為，抽取個(gè)數(shù)據(jù)，基本事件的總數(shù)為個(gè)，抽到來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的基本事件的個(gè)數(shù)為，則抽取個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率為；（3）甲班共有個(gè)數(shù)據(jù)，其中“過(guò)度熬夜”的數(shù)據(jù)有個(gè)，從甲班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取個(gè)數(shù)據(jù)，基本事件的總數(shù)為個(gè)，恰有個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度熬夜”包含的基本事件的個(gè)數(shù)為個(gè)，則恰有個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度熬夜”的概率為.21、（1）f(x)=30,?（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）利用函數(shù)的圖像結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)求出解析式；（2）由f(x)=g(x)，得x=30，結(jié)合圖像選擇合適的套餐.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于套餐甲：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)=30，當(dāng)x>20時(shí)，設(shè)f(x)=kx+b，可知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(20,30)，所以20