2024屆四川省劍門關高級中學高一上數學期末考試試題含解析

2024屆四川省劍門關高級中學高一上數學期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在邊長為3的菱形中，，，則=（）A. B.-1C. D.2．函數的定義域是（）A. B.C D.3．“兩個三角形相似”是“兩個三角形三邊成比例”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．如圖，在正三棱柱中，，若二面角的大小為，則點C到平面的距離為（）A.1 B.C. D.5．的值是（）A B.C. D.6．17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據這些信息，可得（）A. B.C. D.7．當點在圓上變動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（）A. B.C. D.8．設m、n是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個命題：（1）若、，則（2）若，，則（3）若、，則（4）若，，則其中真命題的序號是（）A.（1）（4） B.（2）（3）C.（2）（4） D.（1）（3）9．若，，則等于（）A. B.C. D.10．函數的單調遞減區(qū)間是（）A.（） B.（）C.（） D.（）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設x，．若，且，則的最大值為___12．在平面直角坐標系xOy中，設角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P45,35，將射線OP繞坐標原點O按逆時針方向旋轉π2后與單位圓交于點Qx213．某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為()A. B.C. D.－114．在直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于_________.15．已知實數，執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為________16．______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．對于函數，若在其定義域內存在實數，，使得成立，則稱是“躍點”函數，并稱是函數的1個“躍點”（1）求證：函數在上是“1躍點”函數；（2）若函數在上存在2個“1躍點”，求實數的取值范圍；（3）是否同時存在實數和正整數使得函數在上有2022個“躍點”？若存在，請求出和滿足的條件；若不存在，請說明理由18．某廠生產某種產品的年固定成本為萬元，每生產千件，需另投入成本為.當年產量不足千件時，（萬元）；當年產量不小于千件時，（萬元）.通過市場分析，若每件售價為元時，該廠年內生產的商品能全部售完.（利潤銷售收入總成本）（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；（2）年產量為多少萬件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？19．若實數，，滿足，則稱比遠離.（1）若比遠離，求實數的取值范圍；（2）若，，試問：與哪一個更遠離，并說明理由.20．已知：，．設函數求：（1）的最小正周期；（2）的對稱中心，（3）若，且，求21．如圖，一個半徑為4米的筒車按逆時針方向每分鐘轉1圈，筒車的軸心O距水面的高度為2米.設筒車上的某個盛水筒W到水面的距離為d(單位：米)(在水面下則d為負數).若以盛水筒W剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t(單位：分鐘)之間的關系為.（1）求的值；（2）求盛水筒W出水后至少經過多少時間就可到達最高點？（3）某時刻(單位：分鐘)時，盛水筒W在過O點的豎直直線的左側，到水面的距離為5米，再經過分鐘后，盛水筒W是否在水中？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】運用向量的減法運算，表示向量，再運用向量的數量積運算，可得選項.【詳解】.故選:C.【點睛】本題考查向量的加法、減法運算，向量的線性表示，向量的數量積運算，屬于基礎題.2、B【解析】解不等式組即可得定義域.【詳解】由得：所以函數的定義域是.故選：B3、C【解析】根據相似三角形性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】根據相似三角形的性質得，由“兩個三角形相似”可得到“兩個三角形三邊成比例”，即充分性成立；反之：由“兩個三角形三邊成比例”可得到“兩個三角形相似”，即必要性成立，所以“兩個三角形相似”是“兩個三角形三邊成比例”的充分必要條件.故選：C.4、C【解析】取的中點，連接和，由二面角的定義得出，可得出、、的值，由此可計算出和的面積，然后利用三棱錐的體積三棱錐的體積相等，計算出點到平面的距離.【詳解】取的中點，連接和，根據二面角的定義，.由題意得，所以，.設到平面的距離為，易知三棱錐的體積三棱錐的體積相等，即，解得，故點C到平面的距離為.故選C.【點睛】本題考查點到平面距離的計算，常用的方法有等體積法與空間向量法，等體積法本質就是轉化為三棱錐的高來求解，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.5、C【解析】由，應用誘導公式求值即可.【詳解】.故選：C6、C【解析】先求出，再根據二倍角余弦公式求出，然后根據誘導公式求出.【詳解】由題意可得：，且，所以，所以，故選：C【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式和誘導公式，屬于基礎題.7、D【解析】設中點的坐標為，則，利用在已知的圓上可得的中點的軌跡方程.【詳解】設中點的坐標為，則，因為點在圓上，故，整理得到.故選：D.【點睛】求動點的軌跡方程，一般有直接法和間接法，（1）直接法，就是設出動點的坐標，已知條件可用動點的坐標表示，化簡后可得動點的軌跡方程，化簡過程中注意變量的范圍要求.（2）間接法，有如下幾種方法：①幾何法：看動點是否滿足一些幾何性質，如圓錐曲線的定義等；②動點轉移：設出動點的坐標，其余的點可以前者來表示，代入后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點軌跡方程；③參數法：動點的橫縱坐標都可以用某一個參數來表示，消去該參數即可動點的軌跡方程.8、D【解析】故選D.9、D【解析】根據三角函數的誘導公式即可化簡求值.【詳解】∵，，，，，.故選：D.10、A【解析】根據余弦函數單調性，解得到答案.【詳解】解：，令，，解得，，故函數的單調遞減區(qū)間為；故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##1.5【解析】由化簡得，再由基本不等式可求得，從而確定最大值【詳解】，，，，，，，當且僅當時即取等號，，解得，故，故的最大值為，故答案為：12、①.34##0.75②.-【解析】利用三角函數的定義和誘導公式求出結果【詳解】由三角函數的定義及已知可得：sinα=3所以tan又x故答案為：34，13、D【解析】設平均增長率為x,由題得故填.14、【解析】如圖以點為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系,利用空間向量求解即可.【詳解】解：因為三棱柱為直三棱柱，且，所以以點為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系,設，則，所以，所以，因為異面直線所成的角在，所以異面直線與所成的角等于，故答案為：【點睛】此題考查異面直線所成角，利用了空間向量進行求解，屬于基礎題.15、【解析】設實數x∈[1,9]，經過第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2，經過第二循環(huán)得到x=2(2x+1)+1，n=3，經過第三次循環(huán)得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此時輸出x，輸出的值為8x+7，令8x+7?55，得x?6，由幾何概型得到輸出的x不小于55的概率為.故答案為.16、【解析】利用指數的運算法則和對數的運算法則即求.【詳解】原式.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解（2）（3）存在，或或【解析】（1）將要證明問題轉化為方程在上有解，構造函數轉化為函數零點問題，結合零點存在性定理可證；（2）原問題等價于方程在由兩個根，然后構造二次函數，轉化為零點分布問題可解；（3）將問題轉化為方程在上有2022個實數根，再轉化為兩個函數交點個數問題，然后可解.【小問1詳解】因為整理得，令，因為，所以在區(qū)間有零點，即存在，使得，即存在，使得，所以，函數在上是“1躍點”函數【小問2詳解】函數在上存在2個“1躍點”方程在上有兩個實數根，即在上有兩個實數根，令，則解得或，所以的取值范圍是【小問3詳解】由，得，即因為函數在上有2022個“躍點”，所以方程在上有2022個解，即函數與的圖象有2022個交點.所以或或即或或18、（1）；（2）萬件.【解析】（1）由題意，分別寫出與對應的函數解析式，即可得分段函數解析式；（2）當時，利用二次函數的性質求解最大值，當時，利用基本不等式求解最大值，比較之后得整個范圍的最大值.【詳解】解：（1）當，時，當，時，∴（2）當，時，，∴當時，取得最大值（萬元）當，時，當且僅當，即時等號成立.即時，取得最大值萬元綜上，所以即生產量為萬件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大為萬元【點睛】與函數相關的應用題在求解的過程中需要注意函數模型的選擇，注意分段函數在應用題中的運用，求解最大值時注意利用二次函數的性質以及基本不等式求解.19、（1）；（2）比更遠離，理由見解析.【解析】（1）由絕對值的幾何意義可得，即可求的取值范圍；（2）只需比較大小，討論、分別判斷代數式的大小關系，即知與哪一個更遠離.【小問1詳解】由比遠離，則，即.∴或，得：或.∴的取值范圍是.【小問2詳解】因為，有，因為，所以從而，①當時，，即；②當時，，又，則∴，即綜上，，即比更遠離20、（1）；（2）（k∈Z）；（3）或.【解析】（1）解：由題意，，（1）函數的最小正周期為；（2），得，所以對稱中心；（3）由題意，，得或，所以或點睛：本題考查三角函數的恒等關系的綜合應用．本題中，由向量的數量積，同時利用三角函數化簡的基本方法，得到，利用三角函數的性質，求出周期、對稱中心等21、（1）；（2）分鐘；（3）再經過分鐘后盛水筒不在水中.【解析】（1）先結合題設條件得到，，求得，再利用初始值計算初相即可；（2）根據盛水筒達到最高點時，代入計算t值，再根據，得到最少時間即可；（3）先計算時，根據題意，利用同角三角函數的平方關系求，再由分鐘后，進而計算d值并判斷正負，即得結果.【詳解】