2024屆上海市奉賢區(qū)市級名校數(shù)學高一上期末考試試題含解析

2024屆上海市奉賢區(qū)市級名校數(shù)學高一上期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至8000，則C大約增加了()（）A.10% B.30%C.60% D.90%2．將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的最大值和最小值分別為A. B.C. D.3．已知為所在平面內(nèi)一點，，則（）A. B.C. D.4．若圓錐的底面半徑為2cm，表面積為12πcm2，則其側面展開后扇形的圓心角等于（）A. B.C. D.5．《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其外形由圓柱和長方體組合而成.已知某組合體由圓柱和長方體組成，如圖所示，圓柱的底面直徑為1寸，長方體的長、寬、高分別為3.8寸，3寸，1寸，該組合體的體積約為12.6立方寸，若取3.14，則圓柱的母線長約為（）A.0.38寸 B.1.15寸C.1.53寸 D.4.59寸6．若角滿足條件，且，則在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．下列四個函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B.y=tanxC.y=lnx D.y=x|x|8．已知為定義在上的偶函數(shù)，，且當時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．當點在圓上變動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（）A. B.C. D.10．設函數(shù)的定義域為．則“在上嚴格遞增”是“在上嚴格遞增”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知A，B，C為的內(nèi)角.（1）若，求的取值范圍；（2）求證：；（3）設，且，，，求證：12．不等式的解集是______13．兩個球的體積之比為8：27，則這兩個球的表面積之比為________．14．已知點，，在函數(shù)的圖象上，如圖，若，則______.15．經(jīng)過點且在軸和軸上的截距相等的直線的方程為__________16．已知，則____________.（可用對數(shù)符號作答）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）已知若，求x的取值范圍．（結果用區(qū)間表示）（2）已知，求的值18．在三棱錐中，平面平面，，，分別是棱，上的點（1）為的中點，求證：平面平面.（2）若，平面，求的值.19．設在區(qū)間單調(diào)，且都有（1）求的解析式；（2）用“五點法”作出在的簡圖，并寫出函數(shù)在的所有零點之和.20．已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷奇偶性，并求在區(qū)間上的值域.21．在充分競爭的市場環(huán)境中，產(chǎn)品的定價至關重要，它將影響產(chǎn)品的銷量，進而影響生產(chǎn)成本、品牌形象等某公司根據(jù)多年的市場經(jīng)驗，總結得到了其生產(chǎn)的產(chǎn)品A在一個銷售季度的銷量單位：萬件與售價單位：元之間滿足函數(shù)關系，A的單件成本單位：元與銷量y之間滿足函數(shù)關系當產(chǎn)品A的售價在什么范圍內(nèi)時，能使得其銷量不低于5萬件？當產(chǎn)品A的售價為多少時，總利潤最大？注：總利潤銷量售價單件成本

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】根據(jù)所給公式、及對數(shù)的運算法則代入計算可得；【詳解】解：當時，，當時，，∴，∴約增加了30%.故選：B2、A【解析】先化簡f（x）,再結合函數(shù)圖象的伸縮變換，得到函數(shù)y＝g（x）的解析式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)最值的求法，求出函數(shù)的最大值與最小值【詳解】∵函數(shù)，∴g（x）∵x∈∴4x∈∴當4x時，g（x）取最大值1；當4x時，g（x）取最小值故選A.3、A【解析】根據(jù)平面向量的線性運算及平面向量基本定理即可得出答案.【詳解】解：因為為所在平面內(nèi)一點，，所以.故選：A4、D【解析】利用扇形面積計算公式、弧長公式及其圓的面積計算公式即可得出【詳解】設圓錐的底面半徑為r=2，母線長為R，其側面展開后扇形的圓心角等于θ由題意可得：，解得R=4又2π×2=Rθ∴θ=π故選D【點睛】本題考查了扇形面積計算公式、弧長公式及其圓的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題5、C【解析】先求出長方體的體積，進而求出圓柱的體積，利用求出的圓柱體體積和圓柱的底面半徑為0.5寸，求出圓柱的母線長【詳解】由題意得，長方體的體積為(立方寸)，故圓柱的體積為(立方寸).設圓柱的母線長為l，則由圓柱的底面半徑為0.5寸，得，計算得：(寸).故選：C6、B【解析】因為，所以在第二或第四象限，且，所以在第二象限考點：三角函數(shù)的符號7、D【解析】由奇偶性排除AC，由增減性排除B，D選項符合要求.【詳解】，不是奇函數(shù)，排除AC；定義域為，而在上為增函數(shù)，故在定義域上為增函數(shù)的說法是不對的，C錯誤；滿足，且在R上為增函數(shù)，故D正確.故選：D8、B【解析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質，再把不等式等價轉化，利用的性質求解作答.【詳解】因為定義在上的偶函數(shù)，則，即是R上的偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，，即，因此，，平方整理得：，解得，所以原不等式的解集是.故選：B9、D【解析】設中點的坐標為，則，利用在已知的圓上可得的中點的軌跡方程.【詳解】設中點的坐標為，則，因為點在圓上，故，整理得到.故選：D.【點睛】求動點的軌跡方程，一般有直接法和間接法，（1）直接法，就是設出動點的坐標，已知條件可用動點的坐標表示，化簡后可得動點的軌跡方程，化簡過程中注意變量的范圍要求.（2）間接法，有如下幾種方法：①幾何法：看動點是否滿足一些幾何性質，如圓錐曲線的定義等；②動點轉移：設出動點的坐標，其余的點可以前者來表示，代入后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點軌跡方程；③參數(shù)法：動點的橫縱坐標都可以用某一個參數(shù)來表示，消去該參數(shù)即可動點的軌跡方程.10、A【解析】利用特例法、函數(shù)單調(diào)性的定義結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出合適的選項.【詳解】若函數(shù)在上嚴格遞增，對任意的、且，，由不等式的性質可得，即，所以，在上嚴格遞增，所以，“在上嚴格遞增”“在上嚴格遞增”；若在上嚴格遞增，不妨取，則函數(shù)在上嚴格遞增，但函數(shù)在上嚴格遞減，所以，“在上嚴格遞增”“在上嚴格遞增”.因此，“在上嚴格遞增”是“在上嚴格遞增”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先證明，再由不等式證明即可；（3）找出不等式的等價條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構造不等式，利用不等式性質即可得證.【小問1詳解】,為銳角，，，解得，當且僅當時，等號成立，即.【小問2詳解】在中，，,,.【小問3詳解】由（2）知，令，原不等式等價為，在上為增函數(shù)，，，同理可得，，，，故不等式成立，問題得證.【點睛】本題第3問的證明需要用到，換元后轉換為，再構造不等式是證明的關鍵，本題的難點就在利用函數(shù)單調(diào)性構造出不等式.12、【解析】先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，再解一元二次不等式即可【詳解】故答案為【點睛】本題考查了指數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，屬中檔題13、【解析】設兩球半徑分別為，由可得，所以．即兩球的表面積之比為考點：球的表面積，體積公式．14、【解析】設的中點為，連接，由條件判斷是等邊三角形，并且求出和的長度，即根據(jù)周期求.【詳解】設的中點為，連接，，，且，是等邊三角形，并且的高是,，即，，即，解得：.故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的周期求參數(shù)，意在考查數(shù)形結合分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題型，本題的關鍵是利用直角三角形的性質和三角函數(shù)的性質判斷的等邊三角形.15、或【解析】根據(jù)題意將問題分直線過原點和不過原點兩種情況求解，然后結合待定系數(shù)法可得到所求的直線方程【詳解】（1）當直線過原點時，可設直線方程為，∵點在直線上，∴，∴直線方程為，即（2）當直線不過原點時，設直線方程，∵點在直線上，∴，∴，∴直線方程為，即綜上可得所求直線方程為或故答案為或【點睛】在求直線方程時，應先選擇適當形式的直線方程，并注意各種形式的方程所適用的條件，由于截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題時若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零，分為直線過原點和不過原點兩種情況求解．本題考查直線方程的求法和分類討論思想方法的運用16、【解析】根據(jù)對數(shù)運算法則得到，再根據(jù)對數(shù)運算法則及三角函數(shù)弦化切進行計算.【詳解】∵，∴，又，.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)（2）或.【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即可；（2）由同角三角函數(shù)的基本關系求解，注意角所在的象限即可.【詳解】（1）因為，所以，解得，即x的取值范圍為.（2）因為，所以是第三象限角或第四象限角，當是第三象限角時，，當是第四象限角時，.18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質，證得，由面面垂直的性質定理，證得平面，進而證得平面平面.（2）根據(jù)線面平行的性質定理，證得，平行線分線段成比例，由此求得的值.【詳解】（1），為的中點，所以.又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）∵平面，面，面面∴，∴.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質定理，考查線面平行的性質定理，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）圖象見解析，所有零點之和為【解析】（1）依題意在時取最大值，在時取最小值，再根據(jù)函數(shù)在單調(diào)，即可得到，即可求出，再根據(jù)函數(shù)在取得最大值求出，即可求出函數(shù)解析式；（2）列出表格畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)的對稱性求出零點和；【小問1詳解】解：依題意在時取最大值，在時取最小值，又函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，所以，即，又，所以，由得，即，又因為，所以，，所以.【小問2詳解】解：列表如下0001所以函數(shù)圖象如下所示：由圖知的一條對稱軸為有兩個實數(shù)根，記為，則由對稱性知，所以所有實根之和為.20、（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析（2）函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上的值域為【解析】（1）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性；（2）先得到定義域關于原點對稱，結合得到函數(shù)為奇函數(shù)，利用第一問的單調(diào)性求出在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：，，且，有.因為，，且，所以，.于是，即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問2詳解】的定義域為.因，所以為奇函數(shù).由（1）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，結合奇偶性可得在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因為，，所以在區(qū)間上的值域為.21、（1）（2）