雙正方形的旋轉(zhuǎn)【圖形變換公開課】

第5頁(yè)共8頁(yè)圖形的變換一、學(xué)情分析初三學(xué)生在初二階段就已經(jīng)學(xué)過(guò)旋轉(zhuǎn)這一節(jié)內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的相關(guān)特征應(yīng)該還是比較熟悉的，同時(shí)在旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的一些相關(guān)的核心知識(shí)點(diǎn)（如正方形的性質(zhì)）已經(jīng)在前階段的復(fù)習(xí)中涉及到，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)初步具備一定的解決問(wèn)題的綜合能力.鑒于此課例習(xí)題既有基礎(chǔ)性還有一定的綜合性，故對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)較好的班級(jí)可以安排在中考第一輪“基礎(chǔ)+綜合”復(fù)習(xí)階段，而對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的班級(jí)則可以安排在中考第二輪“綜合+基礎(chǔ)”專題復(fù)習(xí)階段.放在第一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)，只需解決兩個(gè)例題即可；放在第二輪專題復(fù)習(xí)，可分成兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行為好，以滿足各個(gè)層次學(xué)生的不同需求.二、教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠進(jìn)一步體悟解決雙正方形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的核心知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的特征（性質(zhì)），即旋轉(zhuǎn)角等于對(duì)應(yīng)邊的夾角；旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形（對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等）.學(xué)生能夠進(jìn)一步理解并能熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的特征解決雙正方形旋轉(zhuǎn)的實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)，還要讓學(xué)生通過(guò)雙正方形的旋轉(zhuǎn)領(lǐng)悟旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變與不變，變就有可能存在函數(shù)關(guān)系，不變就可能存在相等關(guān)系（或定值），這就是旋轉(zhuǎn)問(wèn)題展現(xiàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)本質(zhì)的魅力，也是數(shù)學(xué)所特有的哲學(xué)價(jià)值.數(shù)學(xué)學(xué)科的本位，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思維的本色，在本節(jié)課的復(fù)習(xí)中可以得到充分的體現(xiàn).三、學(xué)法點(diǎn)撥解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的基本策略是“化靜為動(dòng)，以靜制動(dòng)”.所謂“化靜為動(dòng)”，即要搞清楚整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中哪些元素（如邊、角）發(fā)生了變化，哪些元素仍然沒(méi)變，有時(shí)還要通過(guò)特殊位置圖形的特征來(lái)判斷不變的元素.所謂“以靜制動(dòng)”，即要把旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的各種圖形的位置情況作為靜止的圖形進(jìn)行研究，接下來(lái)的計(jì)算與證明和原先沒(méi)啥兩樣，只不過(guò)賦予了旋轉(zhuǎn)的背景而已.如果學(xué)生能夠破譯旋轉(zhuǎn)背后的“密碼”，那么以旋轉(zhuǎn)為背景的幾何問(wèn)題就迎刃而解了.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）預(yù)學(xué)嘗試如果條件許可，可以提前一天把3個(gè)例題的題設(shè)（教師預(yù)設(shè)的幾個(gè)問(wèn)題在預(yù)學(xué)稿上是隱去的）和圖形發(fā)給學(xué)生預(yù)學(xué)，讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)回家自主提出問(wèn)題，在學(xué)案稿上寫好.一方面把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在活力，方便在課上師生共同交流預(yù)學(xué)嘗試提出的問(wèn)題；另一方面讓教師能夠及時(shí)了解學(xué)情，便于及時(shí)調(diào)整預(yù)設(shè)，以取得更好的學(xué)習(xí)效果.（二）互動(dòng)反饋例題1（中考試題改編）：把正方形ABCD繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°≤α≤90°)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H.（1）試問(wèn)圖中有哪些相等的線段嗎?請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想；（2）連結(jié)DG、BE，猜想DG與BE的關(guān)系，并證明；（3）連結(jié)BG、CF，猜想BG與CF的關(guān)系，并證明；（4）若AD＝3，∠DAG＝30°，則你能求出陰影部分的面積嗎？功能分析：本題的設(shè)計(jì)是一個(gè)正方形繞著另一個(gè)正方形的對(duì)角線的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，是涉及旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識(shí)的一個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題，學(xué)生曾經(jīng)或多或少經(jīng)歷過(guò)類似的問(wèn)題，情景比較熟悉，前3題都是比較基礎(chǔ)的問(wèn)題，學(xué)生比較容易上手，也有利于學(xué)生快速進(jìn)入旋轉(zhuǎn)情景中.（1）、（2）主要引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的哪些線段相等，哪些角相等（雙正方形自身的邊、角相等則是顯而易見的，也是非常重要的條件），并能尋求證明的方法與途徑（全等，等腰三角形知識(shí)）；（3）建立在（1）的基礎(chǔ)上主要考查學(xué)生旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的線段存在平行關(guān)系，并能力求通過(guò)等腰三角形的性質(zhì)或相似的判定來(lái)證明；（4）是一個(gè)比較綜合的問(wèn)題，建立在（1）的基礎(chǔ)上，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形及其面積的問(wèn)題.學(xué)法預(yù)設(shè)：筆者在這里設(shè)計(jì)了4個(gè)問(wèn)題，既有學(xué)生熟悉的問(wèn)題，也有變式逐步提高的問(wèn)題，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)應(yīng)該都能解決.4個(gè)問(wèn)題涉及旋轉(zhuǎn)、全等、相似、等腰三角形、平行、解直角三角形、正方形等各種基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)把這些知識(shí)點(diǎn)串了起來(lái).通過(guò)“化靜為動(dòng)”的策略找到∠DAG=∠BAE，∠ADC=∠AGH=∠ABC=∠AEF，AD=AG=AB=AE，GF=BC；通過(guò)“以靜制動(dòng)”發(fā)現(xiàn)等腰△HGB、△CHF，△AGH≌△ABH等等.第1問(wèn)，學(xué)生很容易猜想GH=BH，CH=HF.如何證明？對(duì)于證明GH=BH，估計(jì)學(xué)生會(huì)有兩種思路.一是連結(jié)BG，利用等腰三角形的性質(zhì)和判定來(lái)證明；二是連結(jié)AH，利用△AGH≌△ABH來(lái)證明.第2問(wèn)，學(xué)生根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征，利用△ADG≌△AEB很容易證明DG=BE，甚至于證明DG⊥BE.此問(wèn)宜讓學(xué)生自主解決.第3問(wèn)，學(xué)生可能也會(huì)有兩種思路.一是利用第1問(wèn)的結(jié)論可知△CHF與△GHB都是等腰三角形，再利用等腰三角形頂角相等從而底角相等，從而易證BG∥CF；二是利用△CHF∽△GHB來(lái)證明平行，這一點(diǎn)學(xué)生可能不一定想到，因?yàn)榉椒ㄒ缓?jiǎn)便易行.第4問(wèn)，則是建立在第1問(wèn)得基礎(chǔ)上，先是要引導(dǎo)學(xué)生把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為求四邊形GABH的面積，再轉(zhuǎn)化為△ABH的面積(或者先求直角梯形DAHC，再求直角三角形AGH的面積即可)，下面的問(wèn)題就單純是解直角三角形了.關(guān)鍵的問(wèn)題是兩次轉(zhuǎn)化思想的自覺(jué)運(yùn)用，這對(duì)于學(xué)困生還是有困難的，對(duì)中等及以上學(xué)生不是難事.答案精要：（1）GH=BH，CH=HF（雙正方形自身的邊、角相等除外）；連接BG，由正方形的性質(zhì)可知：AG＝AB、∠AGH＝∠ABH＝90°，∴∠AGB＝∠ABG，∴∠AGH－∠AGB＝∠ABH－∠ABG即∠HGB＝∠HBG，∴GH=BH，又∵GF＝BC，∴CH=HF.（2）方法同（1），若EQ\f(DG,BG)＝EQ\f(a,b)，則EQ\f(GM,GN)＝EQ\f(1,3)；（3）易求得DO=OG=1，GP=PB=3，由BN=x得PN=3-x，故OM=EQ\f(1,3)(3-x)，于是AM=3-EQ\f(1,3)(3-x)=2+EQ\f(1,3)x.∴y＝EQ\f(1,2)(2+EQ\f(1,3)x+3)+EQ\f(1,2)×3×(3-x)=7-EQ\f(4,3)x；（三）總結(jié)提煉通過(guò)3個(gè)雙正方形旋轉(zhuǎn)的例習(xí)題的教學(xué)，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和方法論的提煉，讓學(xué)生進(jìn)一步感受在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變與不變.深刻領(lǐng)會(huì)旋轉(zhuǎn)的特征，即旋轉(zhuǎn)角度等于對(duì)應(yīng)邊的夾角，旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形.同時(shí)體悟隱藏在旋轉(zhuǎn)背景背后的全等、相似、解直角三角形、函數(shù)、面積、特別是正方形的性質(zhì)等數(shù)學(xué)核心的知識(shí)點(diǎn)以及特殊到一般思想、化歸思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.（四）延伸拓展1、基礎(chǔ)訓(xùn)練：（中考試題改編）正方形ABCD與OEFG都是邊長(zhǎng)為12的正方形，其中點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn).正方形OEFG繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜45°)（I）猜想：圖中有哪些相等的線段（正方形的邊長(zhǎng)相等除外）？寫出兩個(gè)并證明；（II）若NJ=5，求BN的長(zhǎng)；（III）若CM=x，四邊形OMJN的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.答案精要：（I）CM=BN；OM=ON；MJ=NJ；MG=NE，證明略；（II）易證△MOJ≌△NOJ，設(shè)CM=BJ=x，由NJ＝MJ＝5可得BJ＝7-x，在Rt△NBJ中利用勾股定理可得x2+(7-x)2=52，解得x=3或4.故BN等于3或4；（III）由（II）易知，y=36-EQ\f(1,2)x(7-x)，即y=EQ\f(1,2)x2-EQ\f(7,2)x+36.2、拓展訓(xùn)練：（2007無(wú)錫濱湖區(qū)中考模擬題）將兩張互相重合的正方形紙片ABCD和EFGH的中心O用圖釘固定住，保持正方形ABCD不動(dòng)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)正方形EFGH.（I）試給出旋轉(zhuǎn)角度小于90°時(shí)的一些猜想：①M(fèi)E＝MA；②兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值；③∠MON保持45°不變.請(qǐng)你對(duì)這三個(gè)猜想作出判斷（正確的在序號(hào)后的括號(hào)內(nèi)打上“√”，錯(cuò)誤的打上“×”）：①（）；②（）；③（）.（II）可以發(fā)現(xiàn)：（I）中的△EMN的面積S隨著旋轉(zhuǎn)角度∠DOE的變化而變化.請(qǐng)你指出在怎樣的位置時(shí)△EMN的面積S取得最大值.（不必證明）（III）上面的三個(gè)猜想中若有正確的，請(qǐng)選擇其中的一個(gè)給予證明；若都是錯(cuò)誤的，請(qǐng)選擇其一說(shuō)明理由.答案精要：（I）①（√）；②（×）；③（√）；(II)當(dāng)∠AOE=45°時(shí)，△EMN的面積S取得最大值；(III)對(duì)于猜想①，連接OA、OE、AE、OD、ED．由已知得OA=OE，∴∠OAE=∠OEA．又∵∠OAM=∠OEM=45°，∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，即∠MAE=∠MEA．∴ME=MA．對(duì)于猜想③，證得OM平分∠EOA，同理ON平分∠DOE，∴∠MOE+∠NOE=EQ\f(1,2)∠AOD=EQ\f(1,2)×90°=45°，即∠MON保持45°不變．五、設(shè)計(jì)思路和意圖中考第一輪復(fù)習(xí)不是知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單重復(fù)，第一輪復(fù)習(xí)雖要以基礎(chǔ)為主，但也要兼顧綜合，體現(xiàn)“基礎(chǔ)+綜合”的復(fù)習(xí)思路，這樣才能滿足各個(gè)層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.本節(jié)課選自圖形變換一章的復(fù)習(xí)，針對(duì)不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生展開教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)“起點(diǎn)低（注重基礎(chǔ)，下要保底），步子緊（小步子式逐步提高要求），落點(diǎn)高（上不封頂）”的設(shè)計(jì)要求，利用幾何畫板的動(dòng)畫功能演繹旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變與不變.這其中圍繞某一核心知識(shí)背景（本節(jié)課是旋轉(zhuǎn)）來(lái)設(shè)計(jì)“套題（題組）”式訓(xùn)練是一條行之有效的途徑.1、要精心設(shè)計(jì)有效的復(fù)習(xí)課教學(xué)環(huán)節(jié).通過(guò)“預(yù)學(xué)嘗試—互動(dòng)反饋—總結(jié)提煉—延伸拓展”等四個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.引導(dǎo)學(xué)生預(yù)學(xué)提問(wèn)（猜想），師生合作梳理問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立嘗試，再互動(dòng)解決問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上教師再提出預(yù)設(shè)中的問(wèn)題，有些雖然和學(xué)生提出的問(wèn)題重復(fù)，但更能激發(fā)提出問(wèn)題的學(xué)生的成就感.而對(duì)于學(xué)生沒(méi)有猜想到的新問(wèn)題可以讓學(xué)生再次獨(dú)立及合作互動(dòng)解決，反饋在嘗試和互動(dòng)中生成.教師在教學(xué)時(shí)，要對(duì)所遇到的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行拓展，一題多問(wèn)，一題多變，一圖多變，一圖多用，多圖歸一，多解歸一，使同一個(gè)教學(xué)內(nèi)容發(fā)揮其最大的教學(xué)功能.在這樣的有效訓(xùn)練中才能真正提升學(xué)生解決問(wèn)題的智慧.2、要讓散落的“珍珠”串成美麗的“項(xiàng)鏈”.例題即訓(xùn)練題，改編例題和習(xí)題的界限，總共5個(gè)例習(xí)題已經(jīng)足夠?qū)W生課內(nèi)外的訓(xùn)練和思考了.每個(gè)例習(xí)題的設(shè)計(jì)都是安排兩個(gè)完全相同的正方形旋轉(zhuǎn)，這樣做的目的一方面因其旋轉(zhuǎn)要素已經(jīng)涵蓋了圖形旋轉(zhuǎn)的類型和特征，另一方面是因?yàn)檎叫问撬倪呅沃凶钐厥獾乃倪呅?，它集中了矩形菱形的所有性質(zhì)，而兩個(gè)完全相同的正方形通過(guò)旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生性質(zhì)疊加，不僅結(jié)論會(huì)更加豐富多彩，而且解決問(wèn)題的方法也是多樣化的，從而使得旋轉(zhuǎn)變換更具魅力.每一個(gè)例習(xí)題都以問(wèn)題串的形式出現(xiàn)，每一個(gè)例習(xí)題都以雙正方形的旋轉(zhuǎn)為背景，每一個(gè)例習(xí)題都可以看作是一?！罢渲椤?題組中的每個(gè)例習(xí)題，前一個(gè)都是后一題的基礎(chǔ)與鋪墊，后一題都是前一題的提升和拓展，我中有你，你中有我，這就是“套題（題組）”式訓(xùn)練方式.總共5題的旋轉(zhuǎn)都是圍繞正方形的對(duì)角線上的點(diǎn)展開（端點(diǎn)、中點(diǎn)、任意點(diǎn)），由淺入深，層層推開，串成“珍珠”的線就是旋轉(zhuǎn).要突出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變化，更體現(xiàn)不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透.復(fù)習(xí)課如果堅(jiān)持這樣做了，學(xué)生才能真正“聰明”起來(lái)，才能真正達(dá)到“以少勝多”的最大功效，才能讓散落的“珍珠”（零散的知識(shí)點(diǎn)）串成美麗的“項(xiàng)鏈”（內(nèi)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生內(nèi)生的智慧）.可見，組織的教學(xué)內(nèi)容要突出其與其他的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法間的聯(lián)系.一