云南省牟定縣第一高級(jí)中學(xué)2022屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

2021~2022學(xué)年上學(xué)期期末教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高中三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知曲線C：，則“”是“曲線C是橢圓”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．若x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A． B．6 C．8 D．95．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為32，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（）A．16 B．8 C．13 D．56．九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”．在某種玩法中，用表示解下（，）個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，若，且，則解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A．13 B．15 C．16 D．297．已知，，，則（）A． B． C． D．8．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H―H鍵長）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C―H鍵長）均相等，任意兩個(gè)C―H鍵之間的夾角（鍵角）均相等且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列四個(gè)說法：①是周期函數(shù)；②有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；③是奇函數(shù)；④．其中所有正確說法的序號(hào)為（）A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④10．已知奇函數(shù)在上的最大值為，則（）A．或3 B．或2 C．2 D．311．已知P是邊長為4的正三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．16 B．12 C．5 D．412．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．在等比數(shù)列中，，則的公比______．14．已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，若該圓錐的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為______．15．如圖，楊輝三角最早出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》.它揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.由此可得圖中第9行從左到右數(shù)第5個(gè)數(shù)是______，第9行排在奇數(shù)位置的所有數(shù)字之和為______．（本題第一空2分，第二空3分）16．已知雙曲線W：（，）的左焦點(diǎn)為，直線l：與W的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則W的離心率為______．三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值．18．（12分）某6人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參加志愿者活動(dòng)次數(shù)為2，3，4的人數(shù)分別為1，3，2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加表彰會(huì)．（1）求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；（2）記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為X，求X的分布列和期望．19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，是等邊三角形．（1）證明：平面平面PCD．（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）求的極值．（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．21．（12分）已知拋物線：，：，點(diǎn)在上，且不與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，過點(diǎn)M作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．記直線MA，MB，MO的斜率分別為，，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4，離心率為．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出橢圓C的一個(gè)參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）已知P是橢圓C上一點(diǎn)，Q是直線l上一點(diǎn)，求的最小值．23．［選修4-5：不等式選講］（10分）已知函數(shù)．（1）畫出的圖象；（2）求不等式的解集．2021~2022學(xué)年上學(xué)期期末教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高中三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷參考答案（理科）1．D因?yàn)?，，所以?．B由，得，故z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．3．C若曲線C是橢圓，則解得，且，所以“”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件．4．D畫出可行域（圖略）知，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，且最大值為9．5．B因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，，…，的方差為32，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為．6．B由題可知，，，，，．7．C因?yàn)?，，所以．又，所以，則，則．故．8．A設(shè)，則由余弦定理知，，解得，故該四面體的棱長均為．該四面體底面外接圓的半徑，高．故該四面體的體積為．9．A易知不是周期函數(shù)，故①不正確．由于，故②正確；，故③正確；，故④不正確．10．B因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，解得，即．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得．11．C如圖，延長AC到D，使得．因?yàn)?，所以點(diǎn)P在直線BD上．取線段AC的中點(diǎn)為O，連接OP，則．顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為3，所以．12．A等價(jià)于．令函數(shù)，則，故是增函數(shù)．等價(jià)于，即．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．13．-3或6由題可知，，解得或6．14．6√3π設(shè)該圓錐的底面半徑為r，則它的高為，母線長為，則它的體積，解得，故它的側(cè)面積．15．126；256由題可知，圖中第9行從左到右數(shù)第5個(gè)數(shù)是，排在奇數(shù)位置的所有數(shù)字之和為．16．由題可知，，則．設(shè)，則，解得，故A是CF的中點(diǎn)，則．設(shè)W的右焦點(diǎn)為，在中，由余弦定理知，，解得．由雙曲線定義知，，則W的離心率．17．解：（1）因?yàn)?，所以，解得或（舍去）．又為銳角三角形，所以．（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為9π．18．解：（1）從這6人中隨機(jī)選出2人，共有種選法；其中這2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的選法有種。故選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率為．（2）由題可知，X可能的取值為5，6，7，8，，，，故X的分布列為X5678P．19．（1）證明：設(shè)，因?yàn)槭堑冗吶切?，且，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，則．又，所以，所以，即．又平面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAD．因?yàn)槠矫鍼CD，所以平面平面PCD．（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，，，，，，．?分設(shè)平面PBC的法向量，則令，得．設(shè)平面PCD的法向量為，則令，得．，故二面角的正弦值為．20．（1）解：因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取得極大值，且極大值為-1，無極小值．（2）證明：因?yàn)?，所以．令，則．令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減．又，，所以，．當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，．21．解：（1）因?yàn)?，所以．設(shè)過點(diǎn)M并與相切的直線的方程為．聯(lián)立方程組整理得，則．由題可知，，即方程的兩根，故．（2）因?yàn)椋钥稍O(shè)過點(diǎn)M并與相切的直線的方程為．聯(lián)立方程組整理得，則．由題可知，，．…8分又，所以．當(dāng)時(shí)，，