拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

拋物線的定義lFKMN

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.設(shè)︱KF︱=pxyo設(shè)︱KF︱=p則F（，0），l：x=-

p2p2設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由定義可知，化簡(jiǎn)得y2=2px（p＞0）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程··FMlNK1.

拋物線的準(zhǔn)線方程是x=－4,

則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.焦點(diǎn)坐標(biāo)為

.2.

拋物線y=2x2

的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

.y2=16x(4,0)課堂練習(xí)

變式訓(xùn)練1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)是F（3，0）；(2)準(zhǔn)線方程是x=1/4；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；(4)焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上.2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程(1)y2=28x;(2)4x2=3y;(3)2y2+5x=0;(4)y=4ax2例題講解

例1.(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-4,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.xyo(-4,-2)知識(shí)回顧圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）據(jù)方程來判斷焦點(diǎn)位置及開口方向：

一次定焦點(diǎn)，正負(fù)定開口.研究拋物線的幾何性質(zhì)由拋物線y2=2px(p>0)有

所以拋物線的范圍為1.范圍xlFyO關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y)也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px,若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，2.對(duì)稱性xlF(x,y)yO(x,-y)拋物線的對(duì)稱軸也叫作拋物線的軸研究拋物線的幾何性質(zhì)定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).∴y2=2px(p>0)中，令y=0，則x=0.即拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)(0,0).3.頂點(diǎn)xlFyO由定義知,拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.4.離心率x┑lFMdHyO

拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離和它到準(zhǔn)線的距離d之比，叫做拋物線的離心率，用e表示.

下面請(qǐng)大家類比得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱

(0,0)e=1典例分析因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以因此,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x.解得p=2.

解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)所以，可以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：典例分析

因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以因此,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x.解得p=2.

解：假設(shè)拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)所以，可以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以假設(shè)拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，可以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=-2py(p>0)

例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．解:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得,焦點(diǎn)F坐標(biāo)為

(1,0),所以直線AB的方程為y-0=x-1，即y=x-1．①將方程①代入拋物線方程y2=4x，得x2-6x+1=0．

思考:如果直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)F,|AB|的長(zhǎng)還等于x1+x2+2嗎?由三角形性質(zhì)焦點(diǎn)弦:過焦點(diǎn)F的直線被拋物線截得的線段。

通徑:與拋物線的軸垂直的焦點(diǎn)弦。

|AB|=x1+x2+p=2py2=2px2p越大，拋物線張口越大|AB|=x1+x2+pxOyF60°F'同理，z焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為：p=2p=260°xOyFθF'焦半徑的傾斜角式：焦點(diǎn)弦的傾斜角式：ppxOyFθF'焦點(diǎn)弦的傾斜角式：當(dāng)θ為90°時(shí)，焦點(diǎn)弦表示通徑。

思考：通徑是最短的焦點(diǎn)弦嗎？你能證明嗎？

鞏固練習(xí)3.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科)已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=