角與弧度高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊

第7章三角函數(shù)7.1角與弧度我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些角，如銳角、直角、鈍角、平角、周角.利用這些角，我們已能表示圓周上某些點(diǎn)P.但要表示圓周上周而復(fù)始地運(yùn)動著的點(diǎn)，僅有這些角是不夠的.如點(diǎn)P繞圓心旋轉(zhuǎn)一周半，所在位置怎樣用角來表示?在生活中，也有類似情形.如“游樂園的摩天輪旋轉(zhuǎn)了兩周半”為了精確地刻畫旋轉(zhuǎn)程度，我們需要引入一個(gè)角，來量化“兩周半”.●旋轉(zhuǎn)兩周半是轉(zhuǎn)了怎樣的一個(gè)角?7.1.1任意角一個(gè)角可以看作平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的開始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊.如圖7-1-1所示，射線OA

繞端點(diǎn)O，按頭所示方向旋轉(zhuǎn)到OB

便形成角α.點(diǎn)O是角α

的頂點(diǎn)，射線OA和OB

分別是α

的始邊和終邊.

因此，361°就是旋轉(zhuǎn)一周后緊接著又旋轉(zhuǎn)了1°所形成的角；720°就是旋轉(zhuǎn)兩周所形成的角；旋轉(zhuǎn)兩周半，就是旋轉(zhuǎn)了900°的角.一、任意角(1)角的分類類型定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)，按_______方向旋轉(zhuǎn)形成的角

逆時(shí)針類型定義圖示負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)，按_______方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)

順時(shí)針(2)本質(zhì)：將初中所學(xué)的銳角、直角、鈍角、平角和周角等推廣到任意角.例如圖中的α＝420°，β＝－150°.(3)應(yīng)用：可以定義任意的旋轉(zhuǎn)角.對于兩個(gè)任意角α，β，將角α

的終邊旋轉(zhuǎn)角β(當(dāng)β是正角時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)β是負(fù)角時(shí)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)β是零角時(shí)不旋轉(zhuǎn))，這時(shí)終邊所對應(yīng)的角稱為α與β的和，記作α＋β.射線OA繞端點(diǎn)O分別按逆時(shí)針方向、順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角稱為互為相反角.角α

的相反角記為－α，于是有α－β＝α＋(－β).二、象限角角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸_______，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個(gè)角是______________.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，稱這個(gè)角為軸線角.正半軸第幾象限角思考(1)－300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分別是第幾象限角?其中哪些角的終邊相同?(2)具有相同終邊的角彼此之間有什么關(guān)系?你能寫出與60°角終邊相同的角的集合嗎?(圖7-1-4)三、終邊相同的角(1)定義：所有與角α

終邊相同的角，連同角α

在內(nèi).(2)表示：集合S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}.(3)本質(zhì)：表示成角α

與整數(shù)個(gè)周角的和.【思考】反過來，若角α，β滿足S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}時(shí)，角α，β是否是終邊相同的角?提示：當(dāng)角α，β

滿足S＝{β∣β＝α＋k·360°，k∈Z}時(shí)，表示角α與β相隔整數(shù)個(gè)周角，即角α，β終邊相同.例1在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′.分析只需將這些角表示成k·360°＋α

(0°＜α＜360°)的形式，然后根據(jù)

α

來確定它們所在的象限.(1)650°；(2)－150°；解因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以650°的角與290°的角終邊相同，是第四象限角.解因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°，所以－150°的角與210°的角終邊相同，是第三象限角.(3)－990°15′.解因?yàn)椋?90°15′＝－3×360°＋89°45′，所以－990°15′的角與89°45′的角終邊相同，

是第一象限角.例2

思考(1)終邊落在x軸正半軸上的角的集合如何表示?終邊落在x軸上的角的集合如何表示?(2)終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示?(3)若α是第三象限角，則一是第幾象限角?【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯(cuò)的打“?”)(1)經(jīng)過1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過30°. (

)(2)終邊與始邊重合的角是零角. (

)(3)第二象限的角是鈍角. (

)???2.與45°角終邊相同的角是 (

)A.－45°

B.225°

C.395°

D.－315°D解析：與45°角終邊相同的角可以表示為45°＋k·360°，

k∈Z，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn)只有答案D符合題意.解析3.已知0°≤α＜360°，且α

與600°角終邊相同，則

α＝______，它是第______象限角.

240°

三解析：因?yàn)?00°＝360°＋240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角.解析【跟蹤訓(xùn)練】1.在下列說法中，正確的是 (

)①時(shí)鐘經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角是60°；②鈍角一定大于銳角；③射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0°；④－2000°是第二象限角.A.①②

B.③④

C.①③

D.②④D2.179°角是 (

)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角B解析：179°是第二象限角.解析3.與－457°角終邊相同的角的集合是 (

)A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C解析：－457°＝－2×360°＋263°，所以與－457°角終邊相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}.解析4.若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°(m，k∈Z)，則角α與β的終邊的位置關(guān)系是 (

)A.重合B.關(guān)于原點(diǎn)對稱C.關(guān)于x軸對稱 D.關(guān)于y軸對稱D解析：角α的終邊和60°角的終邊相同，角β的終邊與120°角終邊相同，因?yàn)?80°－120°＝60°，所以角α與β的終邊的位置關(guān)系是關(guān)于y軸對稱.解析5.2021°角是第________象限角.

三解析：因?yàn)?021°＝5×360°＋221°，因?yàn)?21°角在第三象限，所以2021°是第三象限角.解析練習(xí)1.(口答)寫出3個(gè)與60°角終邊相同的角：___________________________.420°；780°；1140°2.(口答)下列角中哪些角與30°角的終邊相同：(1)210°；(2)－330°；解

(1)210°－30°＝180°，所以210°與30角的終邊不相同.(2)－330°－30°＝－360°，所以－330°與30°角的終邊相同.(3)390°；(4)750°.(3)390°－30°＝360°，所以390°與30°角的終邊相同.(4)750°－30°＝720°＝360°×2，所以750°與30°角的終邊相同.3.分別寫出滿足下面條件的角的集合：(1)終邊為y

軸負(fù)軸；

(2)終邊落在坐標(biāo)軸上.

4.分別作出下列各角的終邊，并指出它們是第幾象限角：(1)330°；解330°－360°＝－30°，是第四象限角，

如圖：(2)－200°；解－200°＋360°＝160°，是第二象限角，

如圖：(3)945°；解945°－360°×3＝－135°，是第三象限角，

如圖：(4)－650°.解－650°＋360°×2＝70°，是第一象限角，

如圖：5.在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角：(1)－55°；解－55°＝305°－360°，270°＜305°＜360°，∴在0°到360°的范圍內(nèi)與該角終邊相同的角為305°，且為第四象限.(2)395°8′；解∵395°8′＝35°8′＋360°，0°＜35°8′＜90°，∴在0°到360°的范圍內(nèi)與該角終邊相同的角為35°8′，且為第一象限.(3)1563°.解∵1563°＝123°＋4×360°，90°＜123°＜180°，∴在0°到360°的范圍內(nèi)與該角終邊相同的角為123°，且為第二象限.6.下列命題中正確的是().A.第一象限角一定不是負(fù)角B.小于90°的角一定是銳角C.鈍角一定是第二象限角D.第一象限角一定是銳角C7.求出與下列各角終邊相同的最小正角和最大負(fù)角：(1)1140°；解與1140°終邊相同的角可表示為：{α∣α＝k·360°＋60°，k∈Z}.則當(dāng)k＝－1時(shí)，

α＝－1×360°＋60°＝－300°，此時(shí)為最大的負(fù)角，

當(dāng)k＝0時(shí)，

α＝0×360°＋60°＝60°，此時(shí)為最小的正角.(2)1680；解與1680°終邊相同的角可表示為：{α∣α

＝k·360°＋240°，k∈Z}.則當(dāng)k＝－1時(shí)，

α＝－1×360°＋240°＝－120°，此時(shí)為最大的負(fù)角.當(dāng)k＝0時(shí)，α＝0×360°＋240°＝240°，此時(shí)為最小的正角.(3)－1290°；解與－1290°終邊相同的角可表示為{α∣α＝k·360°－210°，k∈Z}.則當(dāng)k＝0時(shí)，α＝0×360°－210°＝－210°，此時(shí)為最大的負(fù)角.

當(dāng)k＝1時(shí)，α＝1×360°－210°＝150°，此時(shí)為最小的正角.(4)－1510°.解與－1510°終邊相同的角可表示為{α∣α

＝k·360°－70°，k∈Z}.則當(dāng)k＝0時(shí)，

α＝0×360°－70°＝－70°，此時(shí)為最大的負(fù)角.

當(dāng)k＝1時(shí)，α＝1×360°－70°＝290°，此時(shí)為最小的正角.8.已知α

是第四象限角，分別確定－α，180°＋α

，180°－α

是第幾象限角.解∵α

是第四象限角，∴k·360°－90°＜

α

＜k·360°，k∈Z，∴－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，

故－α

是第一象限角；k·360°＋90°＜α＋180°＜k·360＋180°，k∈Z，故180°＋α

是第二象限角；－k·360°＋180°＜180°－α

＜k·360＋270°，k∈Z，故180°－α

是第三象限角.7.1.2弧度制在本章引言中，我們曾考慮用有序數(shù)對(r，α)或(r，l)來表示點(diǎn)P，那么，●

r，l與α

之間具有怎樣的關(guān)系呢?一、角度制

二、弧度制(1)弧度制①1弧度的角：長度等于__________的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.②表示方法：1弧度記作1rad.半徑長上述規(guī)定基于下面的基本事實(shí)：

上式表明，角α

的弧度數(shù)由角α

的大小唯一確定，而與其為圓心角所在圓的大小(半徑)無關(guān).這種用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.(2)角的弧度數(shù)的計(jì)算在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為αrad，那么，|α|=___.(3)本質(zhì)：

角的兩種不同的度量模式，適用情況不同，而且弧度是表示角的默認(rèn)單位.

(4)應(yīng)用：角度制更容易理解和運(yùn)算，與小學(xué)、初中知識更容易銜接；

弧度制表示角應(yīng)用更廣泛，與實(shí)數(shù)一一對應(yīng).【思考】初中學(xué)習(xí)的角度制是怎樣定義的?1°角是多少?

三、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝____rad2πrad＝______180°＝___radπrad＝______2π360°π180°圖7-1-9給出了一些角的弧度數(shù)與角度數(shù)之間的關(guān)系.用弧度表示角的大小時(shí)，只要不引起誤解，可以省略單位.例如lrad，2rad，π

rad，可分別寫成1，2，π.【思考】角度制、弧度制都是角的度量制，那么它們之間換算的關(guān)鍵是什么?提示：計(jì)算時(shí)，我們要特別注意πrad＝180°，用這個(gè)公式進(jìn)行互化即可.例3把下列各角從弧度化為度：

例4把下列各角從度化為弧度：(1)252°；(2)11°15′.

如圖7-1-10，設(shè)長度為r的線段OA繞端點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn)形成角α

(α

為任意角，單位為弧度).四、扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝____.(2)扇形面積公式：S＝_____＝______.

αR【思考】初中學(xué)過的半徑為r，圓心角為n°的扇形弧長、面積公式分別是什么?

例5已知扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，求該扇形的面積.解設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則有2r＋l＝8，

r＝2，解得l＝2r，

l＝4.

角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與弧度數(shù)的集合之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系，即角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都對應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都對應(yīng)唯一的一個(gè)角.【基礎(chǔ)小測】

???

D解析：1080°＝180°×6，所以1080°化為弧度制是6π.解析

解析【跟蹤訓(xùn)練】1.下列說法中，錯(cuò)誤的是 (

)A.半圓弧所對的圓心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度D解析：根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確，D錯(cuò)誤.解析

D

解析

B

解析

D

解析

5.在直徑為20cm的圓中，150°的圓心角所對的弧長為________.

解析

練習(xí)1.(口答)把下列各角從度化為弧度：(1)180°；(2)90°；(3)45°；

(4)30°；(5)120°；(6)270°.

2.(口答)把下列各角從弧度化為度：

3.把下列各角從度化為弧度：(1)75°；(2)－210°；(3)135°；(4)22°30′.

4.把下列各角從弧度化為度：

5.寫出與下面的角終邊相同的角的集合：

6.分別用弧度制表示下列角的集合：(1)終邊落在x

軸上的角；(2)終邊落在y

軸上的角.

7.若α＝－6，則角α

的終邊在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限A8.已知半徑為240mm的圓上，有一段弧的長是500mm，

求此弧所對的圓心角的弧度數(shù).

習(xí)題7.1感受·理解1.在0°到360°范內(nèi)，找出與下列各角終相同的角，并指出它們是第幾象限角：(1)－265°；(2)3900°；(3)－840°10′；(4)560°24′.(1)－265°；(2)3900°；解∵－265°＝－360°＋95°，95°是第二象限的角，∴－265°是第二象限的角；解∵3900°＝3600°＋300°，300°是第四象限的角，∴3900°是第四象限的角；(3)－840°10′；

(4)560°24′.解∵－840°10′＝－1080°＋239°50′，

239°50′是第三象限的角，∴－840°10′是第三象限的角；解∵560°24′＝360°＋200°24′，

200°24′是第三象限的角，∴560°24′是第三象限的角；2.分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合

中適合－360°≤α≤360°的元素α寫出來：(1)60°；(2)－75°；解由題意可知：A＝{x∣x

＝

k·360°＋60°，k∈Z}，當(dāng)k＝0，

－1時(shí)，

α＝60°，

－300°.解由題意可知：B＝{x∣x

＝

k