函數(shù)的奇偶性高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊

第5章函數(shù)概念與性質(zhì)5.4函數(shù)的奇偶性在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵，六角形的雪花晶體，有倒影的山水景色·····

●怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖象的這種對稱性?

實際上，對于函數(shù)f(x)＝x2定義域R

內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝x3＝f(x).這時我們稱函數(shù)f(x)＝x2為偶函數(shù).

函數(shù)的奇偶性(1)奇偶性：奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有－x∈A前提f(－x)＝_______f(－x)＝________結(jié)論函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)圖象特點關(guān)于______對稱關(guān)于_______對稱f(x)－f(x)y軸原點(2)本質(zhì)：奇偶性是函數(shù)對稱性的表示方法.(3)應(yīng)用：

奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對其定義域內(nèi)的每一個x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說f(x)是奇(偶)函數(shù).【思考】具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點?提示：定義域關(guān)于原點對稱.例1判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)：(1)f(x)＝x2－1；解：函數(shù)f(x)＝x2－1的定義域是R.

因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝－1是偶函數(shù).(2)f(x)＝2x；解：函數(shù)f(x)＝2x

的定義域是R.因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝2(－x)＝－2x＝－f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝2x

是奇函數(shù).(3)f(x)＝2∣x∣；解：函數(shù)f(x)＝2∣x∣的定義域是R.因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝2∣－x∣＝2∣x∣＝f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝2∣x∣是偶函數(shù).(4)f(x)＝(x－1)2.解：函數(shù)f(x)＝(x－1)2

的定義域是R.因為f(1)＝0，f(－1)＝4，，所以f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1).因此，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可以知道，函數(shù)f(x)＝(x－1)2

既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).例2判斷函數(shù)f(x)＝x3＋5是否具有奇偶性.解函數(shù)f(x)的定義域為R.因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－

f(x)，

所以函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù).【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)

(1)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù).(

)(2)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù). (

)(3)奇函數(shù)的圖象一定過(0，0). (

)???2.下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是 (

)B解析：B選項的圖象關(guān)于y軸對稱，是偶函數(shù)，其余選項都不具有奇偶性.解析

C解析：A、D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項中函數(shù)為奇函數(shù).解析【跟蹤訓(xùn)練】

A

解析2.設(shè)f(x)是定義在R上的一個函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f(x)－f(－x)

在R上一定 (

)A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)A解析：F(－x)＝f(－x)－f(x)

＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，

符合奇函數(shù)的定義.解析

3.如圖，給出奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，則f(－2)＋f(－1)的值為 (

)A.1 B.0

C.－2 D.2C解析

{x∣－3＜x＜0或x＞3}解析：因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，

所以f(3)＝f(－3)＝0.當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，解得x＞3；當(dāng)x＜0時，f(x)＞0，解得－3＜x＜0.解析

0，0

解析探究具有奇偶性的函數(shù)，其定義域具有怎樣的特點?練習(xí)

B2.函數(shù)f(x)＝x2＋2x

的圖象是否關(guān)于某條直線對稱?

它是否為偶函數(shù)?解

f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱∴函數(shù)f(x)＝x2＋2x不是偶函數(shù).3.已知函數(shù)f(x)在y軸右邊的圖象如圖所示.(1)若f(x)是偶函數(shù)，試畫出函數(shù)f(x)在y軸左邊的圖象；(2)若f(x)是奇函數(shù)，試畫出函數(shù)f(x)在y

軸左邊的圖象.4.對于定義在R

上的函數(shù)f(x)，下列判斷是否正確?(1)若f(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)；解若f(x)是偶函數(shù)，則對任意實數(shù)x都有f(－x)＝f(x)，所以，f(－2)＝f(2)成立，該判斷正確；(2)若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；解若f(－2)＝f(2)，

但是不一定有對任意實數(shù)x都有f(－x)＝f(x)成立，不滿足偶函數(shù)的定義，該判斷錯誤；(3)若f(－2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；解若f(－2)≠f(2)，

則對任意實數(shù)x都有f(－x)＝f(x)不成立，

根據(jù)偶函數(shù)的定義可知，f(x)不是偶函數(shù)該判斷正確；(4)若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù).解若取f(x)＝x3－4x，

滿足f(－2)＝f(2)，

但f(x)是奇函數(shù)，該判斷錯誤.5.證明函數(shù)f(x)＝x3－x在R

上是奇函數(shù).證明：∵f(x)＝x3－x，定義域為R，∴f(－x)＝(－x)3－(－x)

＝－x3＋x

＝－(x3－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)＝x3－x在R上是奇函數(shù).6.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(3)f(x)＝2∣x∣－3.解∵f(x)＝2∣x∣－3的定義域為R，

其定義域關(guān)于原點對稱，

又∵f(－x)＝2∣－x∣－3＝2∣x∣－3＝f(x)，∴f(x)＝2∣x∣－3為偶函數(shù).7.求證：(1)f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣是R上的偶函數(shù)；解∵f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣的定義域為R，∴f(－x)＝∣－x＋3∣＋∣－x－3∣

＝∣x－3∣＋∣x＋3∣＝f(x)，

∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；(2)g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣是R上的奇函數(shù)；解∵g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣的定義域為R，∴g(－x)＝∣－x＋3∣－∣－x－3∣

＝∣x－3∣－∣x＋3∣＝－g(x).∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù).習(xí)題5.4感受·理解1.下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)?哪些是偶函數(shù)?哪些既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)?(1)f(x)＝2x2－7；(2)f(x)＝x3＋5x；(3)f(x)＝5x－3.(1)f(x)＝2x2－7；解

f(x)＝2x2－7的定義域為(－∞，＋∞)，

定義域關(guān)于原點對稱，∵f(－x)＝2(－x)2－7＝2x－7＝f(x)，

∴函數(shù)f(x)＝2x2－7是偶函數(shù).(2)f(x)＝x3＋5x；解f(x)＝x3＋5x的定義域為(－∞，＋∞)，

定義域關(guān)于原點對稱，∵f(－x)＝(－x)5＋5(－x)＝－x3－5x＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)＝x3＋5x是奇函數(shù).(3)f(x)＝5x－3.解f(x)＝5x－3的定義域為(－∞，＋∞)，

f(－x)＝5·(－x)－3＝－5x－3，

－f(x)＝－5x＋3，∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)＝5x－3既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).2.已知函數(shù)f(x)＝x2－2∣x∣－1，試判斷函數(shù)f(x)的奇

偶性，并畫出函數(shù)的圖象.解函數(shù)f(x)＝x2－2∣x∣－1的定義域為R，

關(guān)于原點對稱，∵f(－x)＝(－x)2－2∣x∣－1＝x2－2∣x∣－1＝f(x)，∴函數(shù)f(x)＝x2－2∣x∣－1是偶函數(shù)函數(shù).函數(shù)f(x)＝x2－2∣x∣－1＝

＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x＜0，(x－1)2－2，x≥0，(x＋1)2－2，x＜0，先作出函數(shù)y＝(x－1)2－2，x≥0的圖象，然后作它關(guān)于y軸的對稱圖象，合起來即得f(x)的圖象，如圖所示：

4.證明函數(shù)g(x)＝∣x∣＋x2的圖象關(guān)于y軸對稱.解由題意，g(x)＝∣x∣＋x2的定義域為R，

關(guān)于原點對稱，且g(－x)＝∣－x∣＋(－x)2＝∣x∣＋(x)2＝g(x)，∴g(x)＝∣x∣＋x2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.思考·運用5.設(shè)m為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1是函數(shù)，求m的值.解∵函數(shù)f(x)的定義域是R關(guān)于原點對稱，

又∵f(x)是偶函數(shù)，

∴f(－x)＝(－x)2－mx＋1＝x2＋mx＋1＝f(x)恒成立，

∴2mx＝0恒成立，

∵x∈R，

∴m＝0.6.已知函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋1，a，b∈R，且f(－2)＝－1，

求f(2)的值.解∵f(x)＝ax3－bx＋1，∴f(－2)＝a(－2)3－b(－2)＋1

＝－8a＋2b＋1＝－1，解得：8a－2b＝2.∴f(2)＝a·23－2b＋1＝8a－2b＋1＝2＋1＝3.7.已知函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝1，求函數(shù)y＝f(x)的表達式.解設(shè)x＜0，則－x＞0，f(－x)＝1.而函數(shù)y＝f(x)是R上奇函數(shù)

則f(－x)＝－f(x)＝1即f(x)＝－1

∴當(dāng)x＜0時，f(x)＝－1.根據(jù)函數(shù)y＝f(x)是R上奇函數(shù)則f(－0)＝－f(0)＝f(0)

即f(0)＝0，綜上所述函數(shù)y＝f(x)的表達式是f(x)＝1，(x＞0)，0，(x＝0)，－1，(x＜0).8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R.(1)求證：函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)為R上的偶函數(shù)；解∵函數(shù)f(x)的定域為R，∴函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)的定義域為R，即函數(shù)g(x)的定義域關(guān)于原點對稱，

又∵g(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)是在R上的偶數(shù)；(2)求證：函數(shù)h(x)＝f(x)－f(－x)為R

上的函數(shù)；解∵數(shù)f(x)的定域為R，

∴函數(shù)h(x)＝f(x)－f(－x)的定義域為R，

即函數(shù)h(x)的定義域關(guān)于原點對稱，又∵h(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]

＝f(－x)－f(x)＝－h(huán)(x)，

∴函數(shù)h(x)＝f(－x)－f(x)是在R上的奇數(shù)；(3)試判斷：定義在R上的函數(shù)f(x)能否表示為一個函數(shù)

和一個偶函數(shù)的和.

探究·拓展9.設(shè)a為給定實數(shù)，函數(shù)f(x)的定義域為A.(1)若對于任意x∈A，都有f(a－x)－f(a＋x)＝0，問：

此函數(shù)的圖象一定具有怎樣的對稱性?說明理由.解對于任意的x∈A，都有f(a－x)－f(a＋x)＝0，則函數(shù)y＝f(x)圖象關(guān)于直線x＝a對稱.理由如下：設(shè)函數(shù)y＝f(x)圖象上任意一點P(x0，y0)，則y0＝f(x0)，且P關(guān)于直線x＝a的對稱點為P′(2a－x0，y0)，

由f(a－x)＝f(a＋x)，用x－a取代上式中的x，

得f(2a－x)＝f(x)則，f(2a－x0)＝f(x0)＝y(tǒng)0，

故P′(2a－x0，y0)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，

所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若對于任意x∈A，都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0，問：

此數(shù)的圖象一定具有怎樣的對稱性?說明理由.解對于任意的x∈A，

都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0，

則函數(shù)y＝f(x)圖象關(guān)于點(a，0)對稱.理由如下：設(shè)函數(shù)y＝f(x)圖象上任意一點P1(x1，y1)，則y1＝f(x1).且P1關(guān)于點(a，0)的對稱點為P1′(2a－x1，－y1)，由f(a－x)＋f(a＋x)＝0，用x－a取代上式中的x，

得f(2a－x)＝－f(x)，則f(2a－x1)＝－f(x1)＝－y1，

故P′(2a－x1，－1)在函數(shù)y＝f(x)圖象上，

∴函數(shù)y＝f(x)圖象關(guān)于點(a，0)對稱.鏈接映射的概念我們已經(jīng)知道，函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系：對于集合A中的每一個實數(shù)x

，在集合B中都有唯一的實數(shù)y

和它對應(yīng).是否存在兩個普通集合之間的類似的對應(yīng)關(guān)系呢?例如，坐標平面內(nèi)的所有點組成的集合為A，所有的有序數(shù)對組成的集合為B＝{(x，y)∣x∈R，y∈R}.讓每一點與其坐標對應(yīng)，則A中的每一個元素(點)，在B中都有唯一的元素(有序數(shù)對)與之對應(yīng).一般地，設(shè)A，B是兩個非空集合，如果按某種對應(yīng)關(guān)系f，對于A中的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)稱為從集合A到集合B的映射(mapping)，記為f：A→B例如圖所示的對應(yīng)中：根據(jù)映射的定義，可以知道圖中，(4)的對應(yīng)是從A到B的映射(1)(2)(3)的對應(yīng)不是從A到B的映射.請思考：1.假定某高中每個班級都有45位同學(xué)，每個班級學(xué)生按1~45進行編號，全校學(xué)生的姓名都不相同.設(shè)集合A＝{x∣x為某高中的學(xué)生的姓名)，B＝{x∣1≤x≤45，x∈N}，f：每個學(xué)生姓名對應(yīng)學(xué)生的編號；g：

每個編號對應(yīng)學(xué)生的姓名.問：f是否為從A到B的映射?g是否為從B到A的映射?2.設(shè)A＝B＝{a，b，c，d，e，···，x，y，z}(元素為26

個英文字母)，作映射f：A→B為并稱A中字母拼成的文字為明文，相應(yīng)的B中對應(yīng)字母拼成的文字為密文.(1)mathematics

的密文是什么?(2)試破譯密文ju

jt

gvooz.3.如圖，小明同學(xué)在學(xué)習(xí)映射時，找到了生活中的一個實例—紐扣對應(yīng)，你能再舉一些生活中與映射有關(guān)的例子嗎?4.映射與函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系?問題與探究f(x)＋g(x)，f(x)g(x)和f(g(x))的單調(diào)性我們知道，函數(shù)f(x)＝x2與g(x)＝2x在R上都是增函數(shù)，那么，函數(shù)f(x)＋g(x)即x3＋2x

在R上是否仍是增函數(shù)?能說明理由嗎?一般地，設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為A，嘗試探究：(1)若函數(shù)f(x)，g(x)都是增函數(shù),試判別函數(shù)f(x)＋g(x)在定義域A上的單調(diào)性，并說明理由.又若f(x)，g(x)都是減函數(shù)，結(jié)果如何呢?試說明理由.(2)函數(shù)f(x)，g(x)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，判別函數(shù)f(x)g(x)在定義域A上的單調(diào)性.總結(jié)上述探究(1)(2)，你能得到哪些結(jié)論?并繼續(xù)探究，將你探究的結(jié)果填入下表中(用“增函數(shù)”“減函數(shù)”“不能確定”填空)：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)＋g(x)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)不能確定增函數(shù)減函數(shù)不能確定不能確定減函數(shù)增函數(shù)不能確定不能確定減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)不能確定我們知道，定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x

與定義在非負實數(shù)集上的函數(shù)g(x)＝x2都是增函數(shù)，那么函數(shù)f(g(x))是否仍為增函數(shù)?說明理由.一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為F，g(x)的定義域為G，且g(x)的值域為F

的子集.(1)若f(x)，g(x)都是增函數(shù)，試判別f(g(x))的單調(diào)性；(2)若f(x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)，試判別f(g(x))的單調(diào)性.總結(jié)上述探究(1)(2)，你能得到哪些結(jié)論?并繼續(xù)探究，將你探究的結(jié)果填入下表中(用“增函數(shù)”“減函數(shù)”“不能確定”填空)：f(x)g(x)f(g(x))增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減