導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1．1變化率與導(dǎo)數(shù)1．1．1變化率問題潘樹春課時目標：1．理解平均變化率的概念；2．了解平均變化率的幾何意義；3．會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率.知識建構(gòu)１．探究：如圖（１）是函數(shù)h(t)=hto-4.9t2+6.5thto⑴運動員在這段時間內(nèi)是靜止的嗎？（１．１．１圖（１））⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？結(jié)合圖形可知，，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度________________２．平均變化率概念一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的平均變化率為說明：（１）,(這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)則平均變化率為;（２）幾何意義：兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的_____________________；（３）平均變化率反映了在函數(shù)在某個區(qū)間上____________，或說在某個區(qū)間上曲線陡峭的程度.導(dǎo)學導(dǎo)練知識點１平均變化率的計算公式例1已知s=，（１）計算t從3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒各段內(nèi)平均速度；（２）觀察計算的結(jié)果，總結(jié)規(guī)律.點撥：根據(jù)計算平均辯護率的公式進行計算，在第（２）問中主要觀察計算結(jié)果變化的趨勢．變式一質(zhì)點的運動方程為，則在一段時間內(nèi)相應(yīng)的平均速度為．A．3+6B.-3+6C.3-6D.-3-6知識點２函數(shù)平均變化率的計算例２已知函數(shù)f(x)=的圖象上的點及臨近的點,則．點撥：嚴格按照平均變化率的計算公式進行.變式求在附近的平均變化率.知識點３概念的辨析例３一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為．Ａ．從時間到時，物體的平均速度；Ｂ．在時刻時該物體的瞬時速度；Ｃ．當時間為時物體的速度；Ｄ．從時間到時,物體的加速度點撥：在概念中要注意每一個字母表示的意義，這對后面的學習和定義的理解很重要．變式一物體運動方程是,則2s到（2+）s這段時間內(nèi)位移的增量為．A.8B.8+2C.8+2()D.4+2()作業(yè)設(shè)計1．一物體運動方程是，物體從1s到3s的平均速度是米/秒．A.30B.20C.40D.452.在曲線的圖象上取一點（1，1）及鄰近一點,則等于．A.B.C.D.3.函數(shù)，自變量x由改變到時，函數(shù)的改變量為．A．B.C．D.4.在平均變化率的定義中，自變量的增量是．A．B．C．D．5.已知函數(shù)的圖象上一點及附近一點，則等于__．A． B．C．D．6.如果質(zhì)點按規(guī)律運動，則在一小段時間中相應(yīng)的平均速度是．A．B．C．D．7.質(zhì)點運動規(guī)律為，則在時間中相應(yīng)的平均速度為．8.設(shè)函數(shù)，求：（1）當自變量從1到1.1時，自變量的增量；（2）當自變量從1到1.1時，函數(shù)值的增量；（3）當自變量從1到1.1時，函數(shù)的平均變化率．9.過曲線上兩點和作曲線的割線，并求出當時割線的斜率.１．１．２導(dǎo)數(shù)的概念課時目標：1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2．理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；3．會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)．知識建構(gòu)１．瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？提示：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值.２．導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限，即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即注意:(1)函數(shù)應(yīng)在點及其附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在.(2)在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負,但不為0，而可能為0.(3)是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（）及點）的____________．(4)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點處的瞬時變化率，它反映函數(shù)在點處_____________________．(5)導(dǎo)數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與____________．(6)在定義式中，設(shè)，則，當趨近于0時，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式也可寫成(7)若極限不存在，則稱函數(shù)在點處____________．導(dǎo)學導(dǎo)練例1（1）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）求函數(shù)在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．點撥：按照導(dǎo)數(shù)的定義，在自變量增量趨近于0時，對函數(shù)值的增量與自變量增量的比值求極限，即為函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù).例2函數(shù)滿足，則當x無限趨近于0時，（1）（2）點撥：導(dǎo)數(shù)等于縱坐標的增量與橫坐標的增量之比的極限值.變式設(shè)在處可導(dǎo)，則當無限趨近于0時，（1）無限趨近于1，則=___________;（2）無限趨近于1，則=_______;（3）＝________.例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).點撥：按照導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計算過程中注意運算和求極限.變式已知,求.作業(yè)設(shè)計1.在導(dǎo)數(shù)定義中，自變量的改變量______.A．>0B.<0C.=0D.2.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則_______.A．3B．C．D．3.已知函數(shù),且,則的值為_______.A.1 B.C.－1 D.04.在可導(dǎo)，則=_________.A．與、都有關(guān)B．僅與有關(guān)而與無關(guān)C．僅與有關(guān)而與無關(guān)D．與、都無關(guān)5.一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為_______.Ａ．從時間到時，物體的平均速度Ｂ．在時刻時該物體的瞬時速度Ｃ．當時間為時物體的速度Ｄ．從時間到時物體的平均速度6.設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則______.7.已知質(zhì)點M按規(guī)律做直線運動(位移單位：cm，時間單位：s)，(1)當時，求.(2)當時，求.(3)求質(zhì)點M在時的瞬時速度.8．求在點處的導(dǎo)數(shù).9.若． （1）求的值.（2）求的值.１．１．３導(dǎo)數(shù)的幾何意義課時目標1．了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；2．理解曲線的切線概念；3．通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題.知識建構(gòu)１.曲線的切線及切線的斜率當點沿著曲線無限接近點P，即Δx→0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（１）曲線在某點處的切線與該點的位置有關(guān);（２）曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以有無窮多個.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即，因此，如果在點處可導(dǎo)，則曲線在點（）處的切線方程為_______________.說明：若在處可導(dǎo)，則曲線在點（）有切線存在，反之不然.若曲線在點（）有切線，函數(shù)在不一定可導(dǎo)，并且，若函數(shù)在不可導(dǎo)，曲線在點（）也可能有切線3.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟①求出切點P的坐標；②求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點的切線的斜率；③利用點斜式求切線方程.4.導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,是一個確定的數(shù)，那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，即。注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．5.函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系（1）函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù).（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點而言的，就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（3）函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1求曲線在某一點處的切線例1（1）求曲線在點P(1,2)處的切線方程；（2）求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù).點撥：例2求曲線在點(1，4)處的切線方程.點撥知識點2求曲線在某一點處切線的斜率例3求曲線在處的切線的傾斜角.點撥：要求切線的傾斜角，也要先求切線的斜率，再根據(jù)斜率，求出傾斜角．作業(yè)設(shè)計1.設(shè)，則曲線在點處的切線________.A．不存在B．與軸平行或重合C．與軸垂直D．與軸斜交2.曲線在點處的切線方程為________.A．B．C．D．3．函數(shù)在點處的切線方程是_____.A．B．C．D．4、曲線在點處切線的傾斜角是________.A． B． C． D．５.曲線在點處的切線與軸，軸的交點分別是與.６.已知A、B是拋物線上橫坐標分別為，的兩點，求拋物線的平行于割線AB的切線方程.7.曲線的方程為，（1）求此曲線在點P(1，2)處的切線斜率，以及切線方程.（2）求此曲線在點P(－2，5)處的切線方程.8.在點P處的切線斜率為3，求點P的坐標.１．２導(dǎo)數(shù)的計算１．２．１幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課時目標1．掌握由定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟，推導(dǎo)五種常見函數(shù)、、、、的導(dǎo)數(shù)公式；2．掌握并能運用這五個公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．知識建構(gòu)1．知識回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．2．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法（1）求函數(shù)的改變量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)＝_________.３．幾個常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以表示函數(shù)圖像上每一點處的切線的斜率都為0．若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態(tài)．(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以表示函數(shù)圖像上每一點處的切線的________．若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為________________________.(3)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為,所以表示函數(shù)圖像上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函數(shù)減少得越來越慢；當時，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快．若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為．(4)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).點撥：根式化簡中，注意分子和分母有理化的運用.推廣：若，則.變式.說明：實際上，此公式對都成立，但證明較復(fù)雜，所以證明即可.知識點2三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)的證明例2證明.點撥：嚴格按照導(dǎo)數(shù)的定義來證明.(提示：)知識點3求導(dǎo)在求瞬時速度中的運用例3質(zhì)點運動方程是,求質(zhì)點在時的速度．點撥：注意化簡過程中利用二項展開式.導(dǎo)學導(dǎo)練1．用導(dǎo)數(shù)定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1);(2).2.若，則的值為________；3.物體自由落體的運動方程是s=s(t)=gt2，(s單位m，t單位s，g=9.8m/s2)，求t=3時的速度.4．證明5.求曲線在點處的切線方程.6．求曲線在點A的切線方程．1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則課時目標：1.熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則；3．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．知識建構(gòu)１．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(1)若(c為常數(shù))，則(2)若,則(3)若,則(4)若,則(5)若,則(6)若,則(7)若,則(8)若,則２．導(dǎo)數(shù)的運算法則(1);(2);(3).推論：（常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）３．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（１）復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作.（２）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積．若，則.導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例１求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（１）；（２）；（３）．（４）；點撥：（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)先對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度;比如有的函數(shù)雖然表面形式為商的形式，但有時化簡之后可以避免使用商的求導(dǎo)法則.知識點2導(dǎo)數(shù)的簡單運用例２日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1）;（2）.點撥:函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢．由上述計算可知，．它表示純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍．這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快．知識點3求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例３求的導(dǎo)數(shù).點撥:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化簡計算結(jié)果．變式求的導(dǎo)數(shù).作業(yè)設(shè)計１.下列函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)不等于的是_______.A.B.C.D.２.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________.A. B.C.D.3曲線在點處的切線傾斜角為_________.4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________.5曲線在點處的切線的斜率是______，切線的方程為___________.6.求下函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（１）;(2);(3);（４）.7.假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？8.曲線有兩條平行于直線的切線，求此二切線之間的距離．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課時目標1．了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次.知識建構(gòu)１．如圖1,表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近___________;在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近____________.1.3.1圖12．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的____________;（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例１判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．（1）；（２）.點撥：利用導(dǎo)數(shù)的正負來求函數(shù)的單調(diào)性，要注意先考慮函數(shù)的定義域.變式（06江西卷）對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x－1）0，則必有________.A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）知識點2利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍例2已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．點撥：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解．知識點3究對勾函數(shù)的性質(zhì)和圖像例3已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并作出該函數(shù)的大致圖像.點撥:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而可以畫出一個陌生函數(shù)的大致圖像,并進一步從圖像中可以研究該函數(shù)更多的性質(zhì).作業(yè)設(shè)計1.函數(shù)的遞增區(qū)間是__________.ABCD2．若函數(shù)h(x)＝2x－eq\f(k,x)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是_________.A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]3.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是__________.ABCD4.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為______________5.在增函數(shù)，則的關(guān)系式為是_______________6.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.7.求的單調(diào)遞增區(qū)間.8.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函數(shù)()=In(1+)-+,(≥0).(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；(Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間.１．３．２函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課時目標1.理解極大值、極小值的概念；2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值；3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.知識建構(gòu)１．極值的概念（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有_________,就說是函數(shù)的一個極大值，記作y極大值=，是極大值點（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有_________,就說是函數(shù)的一個極小值，記作y極小值=，是極小值點（3）極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點：（1）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.（2）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值.（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點;而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點２.判別是極大、極小值的方法若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足_____________,則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足________________,則是的極小值點，是極小值３.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù);(2)求方程=0的根;(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么在這個根處無極值如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1求函數(shù)的極值例1求的極值，并畫出該函數(shù)的大致圖像.點撥：當在的左側(cè)為正，右側(cè)為負時，為極大值點；當在的左側(cè)為負，右側(cè)為正時，為極小值點.變式求的極值，并畫出其大致圖像.知識點2利用極值求參數(shù)例２．已知函數(shù)，當時，有極大值；（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值點撥:可導(dǎo)函數(shù)在某點處取得極值，則導(dǎo)函數(shù)在該點處的函數(shù)值為0.知識點3極值的綜合運用例3（2010·北京高考文科·Ｔ１8）設(shè)函數(shù)，，且方程的兩個根分別為1，4.（1）當且曲線過原點時，求的解析式；（2）若在無極值點，求的取值范圍.點撥:二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決。恒大于0，則；恒小于0，則.作業(yè)設(shè)計1.為可導(dǎo)偶函數(shù)，則等于______.A.0B.C.1D.－12.導(dǎo)函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)值為是函數(shù)在這點取極值的_________.A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.必要非充分條件3.有________.A.極大值，極小值B.極大值，極小值C.極大值，無極小值D.極小值，無極大值4.數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖（1）所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點有_______.A.個B.個C.個D.個1.3.2圖15函數(shù)在時有極值，那么的值分別為_____________.6.函數(shù)在處有極大值，則常數(shù)的值為_____________.7.若有極大值和極小值，則的取值范圍是__________.8.求函數(shù)的極值.9.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）設(shè)為實數(shù)，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當且時，.１．３．３函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)課時目標⒈理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握最值存在定理；⒉掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟.知識建構(gòu)1．最值存在定理一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．說明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但既沒有最大值，也沒有最小值.2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系⑴“最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個_____，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性;⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的，而極值不唯一；⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個⑷極值不能在區(qū)間端點處取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的步驟只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值．一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，從而得出函數(shù)在上的最值導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1求函數(shù)的最值例1求在的最大值與最小值點撥：將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.變式求函數(shù)的值域.例２已知,.是否存在實數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；（2）的最小值是1.若存在，求出，若不存在，說明理由.點撥：例３（2010·陜西高考文科·Ｔ2１）已知函數(shù)（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù),當存在最小值時，求其最小值的解析式；（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時，點撥：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值、可用來解不等式，以及證明不等式.作業(yè)設(shè)計1．函數(shù)的最大值為__________.A BCD2.（2010·山東高考文科·Ｔ8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為__________.A.13萬件B.11萬件C.9萬件D.7萬件3.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_______________.4設(shè)，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為____.5.函數(shù)在[0,3]上的最大值是_______;最小值是_______.6已知函數(shù)在與時都取得極值.(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對，不等式恒成立，求的取值范圍7.(2009·湖北黃岡模擬)已知函數(shù)．(1)若在時取得極值，求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當時，.１．４生活中的優(yōu)化問題舉例課時目標１.理解利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用;２.提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力.知識建構(gòu)1.導(dǎo)數(shù)解決的實際問題.導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：(1)與幾何有關(guān)的最值問題；(2)與物理學有關(guān)的最值問題；(3)利潤及其成本有關(guān)的最值問題；(4)效率最值問題.2.解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系.再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1用料最省問題例１圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？1.4圖1點撥：變式當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使容量最大.知識點2求最大利潤問題例2．某造船公司所造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)＝3700x＋45x2－10x3(單位：萬元)，成本函數(shù)為C(x)＝460x＋5000(單位：萬元)，又在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；(提示：利潤＝產(chǎn)值－成本)(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？點撥：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤．變式已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？知識點3例３．一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得周長l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b.點撥：作業(yè)設(shè)計1一個物體的運動方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是_________.A．米/秒B.米/秒C．米/秒D.米/秒2.將8分為兩數(shù)之和，使其立方和最小，則分法為_______.A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不對3.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為,要使其體積最大，則高為___________.A.B.C.D.4．正三棱柱的體積V為定值，當其表面積最小時，底面邊長等于5.設(shè)有長為a，寬為b的矩形，其底邊在半徑為R的半圓的直徑所在的直線上，另兩個頂點正好在半圓的圓周上，則此矩形的周長最大時，=________．6.（2010·江蘇高考·Ｔ１4）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是____________.7.設(shè)工廠A到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運貨到工廠A所需運費最省?8.已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的長與寬．1.5定積分的概念1.5.1定積分的概念（一）課時目標1．體會求曲邊梯形面積、求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程，了解定積分的背景；2．感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）.知識建構(gòu)1.求曲邊梯形面積的四個步驟第一步：分割．在區(qū)間中任意插入個分點，將它們等分成個小區(qū)間，第個區(qū)間的長度第二步：近似代替，“___________”.用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．第四步：取極限.說明：（1）歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近（2）最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值.2.求變速運動的路程一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“________________”的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤≤b內(nèi)所作的位移．導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1求曲邊梯形的面積例1．求圍成的圖形面積.解：（1）分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間，，，…，記第個區(qū)間為________________________,其長度為.分別過上述分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，顯然，.（2）近似代替∵，當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值________________________，這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代曲”，則有（3）求和面積===從而得到的近似值（4）取極限點撥：求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近（“以直代曲”的思想）知識點2定積分思想在物理中的運用例2．彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長到所作的功．解：將物體用常力沿力的方向移動距離，則所作的功為．（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取極限點撥：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解．作業(yè)設(shè)計1.把區(qū)間[1,3]等分,所得個小區(qū)間,每個小區(qū)間的長度為__________.A.B.C.D.2.把區(qū)間等分后,第個小區(qū)間是__________.A.B.C．D.3.在“近似替代”中，函數(shù)在區(qū)間上的近似值_______________.A.只能是左端點的函數(shù)值B.只能是右端點的函數(shù)值C.可以是該區(qū)間內(nèi)的任一函數(shù)值）D.以上答案均不正確4.求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為分割對象，則被分割的區(qū)間為______.A．［0，］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］5．如果1N力能拉長彈簧1cm，為將彈簧拉長6cm，所耗費的功是__________.A．0.18B．0.26C．0.12 D．0.286.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x=a,x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的面積.已知函數(shù)y＝sinnx在[0，]（n∈N*）上的面積為. ①y＝sin3x在[0,]上的面積為； ②y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為.7．求由曲線與所圍的圖形的面積.8.用定積分定義求物體自由落體的下落距離.已知自由落體運動的速率，則落體運動從到所走的路程為__________. 1.5.2定積分的概念（二）課時目標1.借助于幾何直觀的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡單的定積分；2.理解掌握定積分的幾何意義，并能運用幾何意義求一些簡單的定積分.知識建構(gòu)1．定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作和式：.如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,記為：其中稱為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，為積分上限，為積分下限.說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）稱為，而不是．（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：2．定積分的幾何意義如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積取負號．在物理學中，變速運動路程；變力做功.3．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1（其中k是不為0的常數(shù)）；（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)2性質(zhì)3（其中）;（定積分對積分區(qū)間的可加性）性質(zhì)4若，則.推論：導(dǎo)學導(dǎo)練知識點1運用定積分的幾何意義求定積分例1計算定積分.點撥：運用被積函數(shù)的圖像求定積分.變式若改為計算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負值如何解決呢？例2用定積分的幾何意義求值:①;②.點撥：根據(jù)定積分的幾何意義，可將一些特殊函數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為利用平面幾何知識求某些規(guī)則圖形的面積.變式求定積分：.知識點2定積分在物理中的運用例3物體A以速度在一直線上運動，在此直線上與物體A出發(fā)的同時，物體B在物體A的正前方5m處以的速度與A同向運動，問兩物體何時相遇？相遇時物體A的走過的路程是多少？（時間單位為：s，速度單位為：m/s）點撥：作業(yè)設(shè)計1.已知自由下落物體的速度為，則物體從到所走過的路程__________.A．B．C．D．2.將和式的極限表示成定積分__________. A． B． C． D．3.設(shè)的曲線是上的連續(xù)曲線,等分,在每個小區(qū)間上任取,則是___________.A.B.C.D.4.定積分的大小_________.A.與和積分區(qū)間有關(guān)，與的取法無關(guān)B.與有關(guān)，與區(qū)間及的取法無關(guān)C.與和的取法有關(guān)，與積分區(qū)間無關(guān)D.與、區(qū)間和的取法都有關(guān)5.若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則_______.A． B．0 C． D．6.給出下列定積分： ①; ②; ③; ④.其中為負值的有_______.7．曲線，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為__．8.(1)根據(jù)定積分的幾何意義，求______;_____；_______.(2）設(shè)，則_______;______;__________.9.計算，其中,1.6微積分基本定理課時目標1.通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義.2.通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法,會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分.知識建構(gòu)1．變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運動，在時刻時物體所在位置為,速度為（），則物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為___________________.另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)在上的增量來表達，即=（其中.）2．微積分基本定理如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個原函數(shù)，則____________________________________.為了方便起見，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式．它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學與積分學之間聯(lián)系的橋梁．它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎(chǔ)．因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發(fā)展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果．導(dǎo)學導(dǎo)練知識點１利用定積分基本定理及其性質(zhì)求積分例1求下列定積分的值:①②③④點撥：①注意8x與x8的區(qū)別;②被積式為絕對值時,應(yīng)分段積分;③利用奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的積分區(qū)間上的積分值為0;④利用簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則尋找公式中的F(x).變式①②③知識點2定積分的上（下）限含有變量問題與函數(shù)的最值例2已知f(x)=,求f(x)的最小值.點撥：求積分后即轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,注意到隱含條件x≥0.解決此類問題應(yīng)注意積分式中的積分變量是什么,切忌想當然.變式函數(shù)f(a)=的最小值為.知識點3微積分基本定理的綜合運用例3.（2010·福建高考理科·Ｔ20節(jié)選）已知函數(shù)，其圖像記為曲線C.（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(ii)證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點.曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值.點撥：（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）利用導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值.變式（2010·海南高考·理科T13）設(shè)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分,先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數(shù),…,和,…,,由此得到N個點（i=1,2,…,N）,在數(shù)出其中滿足≤（（i=1,2,…,N））的點數(shù)，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為.作業(yè)設(shè)計1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）等于_____.A.B.C.D.2.下列式子中,正確的是__________.A.=f(b)-f(a)+CB.=f(b)-f(a)C.=f(b)-f(a)D.[]=f(x)3.如果,則A.0B.aC.-aD.2a4．函數(shù)在[－1,5]上_______.A．有最大值0，無最小值B．有最大值0和最小值－eq\f(32,3)C．有最小值－eq\f(32,3)，無最大值D．既無最大值也無最小值5.某物體的運動方程S(t)=,則此物體在t=2時刻的瞬間速度為_________.6.一次函數(shù)f(x)圖象經(jīng)過點(3,4),且則f(x)的表達式為.7.求下列定積分:①;②;③;④8．求通過(0,0)、(1,2)的拋物線，要求它具有以下性質(zhì)：(1)它的對稱軸平行于y軸，且開口向下；(2)它在軸上方與軸所圍成的面積最小．1.7定積分的簡單應(yīng)用課時目標１．能利用定積分求曲邊梯形的面積，以及解決物理中的變速直線的路程、變力做功問題．２．通過定積分求曲邊梯形的面積，體會定積分的基本思想，學會其方法，通過定積分在物理中的應(yīng)用，進一步體會定積分的價值，感受數(shù)學的應(yīng)用價值，提高數(shù)學的應(yīng)用意識．知識建構(gòu)１．求曲邊梯形