外接球半徑常見的求法

多面體外接球半徑常見求法知識(shí)回憶：定義1：假設(shè)一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，那么稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：假設(shè)一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，那么稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關(guān)系：．球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫．被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫球的外表積外表積S＝；球的體積V＝．球與棱柱的組合體問題正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個(gè)面都相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長為，球半徑為。如圖3，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對(duì)角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。圖3圖3圖4圖5一、公式法例1一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，那么這個(gè)球的體積為.小結(jié)此題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、多面體幾何性質(zhì)法例2各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，那么這個(gè)球的外表積是A.B.C.D.小結(jié)此題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長等于其外接球的直徑〞這一性質(zhì)來求解的.三、補(bǔ)形法例3假設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，那么其外接球的外表積是.小結(jié)一般地，假設(shè)一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，那么就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，那么有.變式1：三棱錐中，兩兩垂直，且，那么三棱錐外接球的外表積為〔〕A．B．C．D．四、尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，都在同一球面上，那么此球的體積為.而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).變式1：求棱長為a的正四面體P–ABC的外接球的外表積變式1：底面邊長為的正三棱柱外接球的體積為，那么該三棱柱的體積為五、確定球心位置法1：三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，⊥底面，且，那么此三棱錐外接球的半徑為〔〕 B． C．D．六．構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例4.三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與外表積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6圖6練習(xí)1、球面上有三點(diǎn)、、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的外表積．2、.在球面上有四個(gè)點(diǎn)、、、.如果、、兩兩互相垂直，且,那么這個(gè)球的外表積是______.3：一棱長為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。〔答案為〕4、〔2006年廣東高考題〕假設(shè)棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，那么該球的外表積為5、〔2007年天津高考題〕一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為，那么此球的外表積為.6、〔2006年全國卷I〕各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，那么這個(gè)球的外表積為〔〕.A.B.C.D.〔2023年福建高考題〕假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，那么其外接球的外表積是.8、〔2003年全國卷〕一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，那么此球的外表積為〔〕A.B.C.D.9、〔2023年浙江高考題〕球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，，，，那么球的體積等于.10、球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為1