2022年高考真題 數(shù)學(xué)（北京卷） （含解析）

絕密★本科目考試啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在

試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選

出符合題目要求的一項(xiàng).

1.已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<xWl},則4A=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)C.1-2,1)D.

(-3,-2]U(l,3)

【答案】D

【解析】

【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】由補(bǔ)集定義可知：A/A={x|—3<x4—2或l<x<3},即電A=(—3,—2]U(1,3),

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=3—4i,則目=()

A.1B.5C.7I).25

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出z,再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.

【詳解】由題意有z==6=_4_3i,故|Z|=J(T)2+(—3)2=5.

故選：B.

3.若直線2x+y-l=0是圓(%-。)2+尸=1的一條對(duì)稱軸，則。=()

11

A.-B.-----C.1D.—1

22

【答案】A

【解析】

【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解.

【詳解】由題可知圓心為因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即

2a+0—1=0.解得a=L

2

故選：A.

4.己知函數(shù)/(幻=:二，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有()

1+2

A./(-X)+/w=0B./(-x)-/(x)=o

C./(-x)+/(x)=lD./(-%)-/(%)=1

【答案】C

【解析】

【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

112XI

【詳解】f(-x]+f(x]=——+—^—=-^—+——=l,故A錯(cuò)誤，C正確;

1)')1+2-、1+2*1+2*1+2V

12X-12

/H3=]+2-x-]+2*=]+2'=1———,不是常數(shù)，故BD

1+2,2X+12"+1

錯(cuò)誤；

故選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=cos2x-sin2x,則()

冗冗、(7171\

[一彳,一父)上單調(diào)遞減B./(X)在(一1，五J上單調(diào)遞增

C.在上單調(diào)遞減D.Ax)在(?,上單調(diào)遞增

【答案】c

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)得出/(x)=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?(x)=cos2x-sin2x=cos2x.

^rr打qrI冗,JT\

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)—5<x<—［■時(shí)，則/(x)在卜萬,一kJ上單調(diào)遞增，

A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)—?<x<3時(shí)，—、<2x<.，則〃x)在(一?,5］上不單調(diào)，B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<乙時(shí)，0<2x<當(dāng),則“X)在(0,《|上單調(diào)遞減，C對(duì)；

33\)

仃,7仃仃7jr\TT7TT

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)了<x<［5時(shí)，5<21<-￡，則/(*)在［m上不單調(diào)，D錯(cuò).

故選：C.

6.設(shè)｛4｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“｛4｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,當(dāng)

〃>N0時(shí)，/>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則dwO,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、

必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則d/0,記卜］為不超過x的最大整數(shù).

若｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則。>0,

若qNO,則當(dāng)〃22時(shí)，a“>420；若q<0,則a.=q-l)d,

由a“=4+(〃-l)d〉0可得〃>］-幺，取N°=］一多+1,則當(dāng)〃>乂時(shí)，a?>0,

dL"_

所以，“｛〃”｝是遞增數(shù)歹『'=>"存在正整數(shù)名,當(dāng)心No時(shí)，?！?gt;0”；

若存在正整數(shù)N。，當(dāng)“〉No時(shí)，an>0,取&eN*且4>乂，ak>0,

假設(shè)d<0，令a,=%+(〃一%)〃<0可得且左一々>女，

aa

當(dāng)“〉+1時(shí),4<0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則d>0,即數(shù)列｛風(fēng)｝是遞增

數(shù)列.

所以，“｛〃”｝是遞增數(shù)列”u”存在正整數(shù)時(shí),當(dāng)〃〉No時(shí)，4>0”.

所以，”｛%｝是遞增數(shù)列''是"存在正整數(shù)N。,當(dāng)〃〉乂時(shí)，a,〉0”的充分必要條件.

故選：C.

7.在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，

為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和電戶的關(guān)

系，其中7表示溫度，單位是降尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)T與IgP的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，照尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)T=270,P=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)T=300,尸=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài),

另一方面，T=300時(shí)對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.

當(dāng)T=360,P=729時(shí)，因2<lgP<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

4432

8.(2x-1)=a4x+a3x+a2x+ayx+a0,則％+4+4=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】

【分析】利用賦值法可求%+4+%的值.

【詳解】令X=1,則+。3+“2++“0=1，

令％=—1,則44一%+%+%=(-3)=81,

1+81

故%+4+/=2.=41，

故選：B.

9.已知正三棱錐尸-ABC的六條棱長均為6,S是AABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集

合T={QeS|PQ<5},則7表示的區(qū)域的面積為()

A.—B.兀C.27tD.3兀

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以P為球心，5為半徑的球與底面A3C的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

設(shè)頂點(diǎn)P在底面上的投影為。，連接80,則。為三角形ABC的中心,

且BO=2x6x走=26，故PO=J36-12=2"

32

因?yàn)镻Q=5,故OQ=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

而三角形A8C內(nèi)切圓的圓心為。，半徑為zx彳xj、1

故S的軌跡圓在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為1

故選：B

10.在A/WC中，AC=3,BC=4,NC=90°.P為A/WC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則麗?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cos6,sin。），表示出西，PB，根據(jù)數(shù)量積

的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0,0）,A（3,0）,8（0,4）,

因?yàn)镻C=1,所以2在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

設(shè)P(cosO,sin。),0e[(),2TT],

所以/^4=(3-cos。,-sin。),P8=(-cos。,4-sin6),

所以PA?P6=(-cos9)x(3-cos0)+(4-sine)x(-sine)

=cos2^-3cos^-4sin^+sin20

=l-3cos^-4sin^

=1-5sin(6+0),其中sin°=],cos°=[,

因?yàn)橐籰〈sin(8+e)〈l,所以TWl-5sin(6+o)W6,即中.麗e[-4,6]；

故選：D

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)f(x)=!+J匚7的定義域是.

X

【答案】(F,0)D(0』

【解析】

【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；

【詳解】解：因?yàn)?(x)=—+J匚3,所以《八，解得XW1且XH0,

X[XW0

故函數(shù)的定義域?yàn)?F,0)U(0,1]；

故答案為：(―oo,0)u(0,1]

12.已知雙曲線V+工=1的漸近線方程為y=±且X，則m=.

m3

【答案】-3

【解析】

【分析】首先可得m<(),即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到“、b,再跟漸近線方程

得到方程，解得即可；

【詳解】解：對(duì)于雙曲線V+三=1,所以團(tuán)<0,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁一二=1,

m-m

則。=1,b=Q,又雙曲線y2+三=1的漸近線方程為y=±Y3x，

m3

所以q="，即/==且，解得利=一3；

b3V-m3

故答案為：-3

13.若函數(shù)f(x)=Asinx-6cosx的一個(gè)零點(diǎn)為則4=；

【答案】①.1②.-V2

【解析】

7T7T

(分析］先代入零點(diǎn),求得A的值,再將函數(shù)化簡(jiǎn)為f(x)=2sin(x一］),代入自變量x=丘,

計(jì)算即可.

【詳解】???/(1)=曰A-曰=0，，A=1

f(x)=sinx-V3cosx=2sin(x-y)

/(Z)=2sin(E」)=_2siT=-0

121234

故答案為：1,-72

一ax+1,x<a,

14.設(shè)函數(shù)/(x)=。,2若/(x)存在最小值，則a的一個(gè)取值為________:a

(x-2),x>a.

的最大值為.

【答案】①0(答案不唯一)②.I

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)y=-以+1的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，。=0符合條件,

。<0不符合條件，a>()時(shí)函數(shù)y=-ar+l沒有最小值，故/⑺的最小值只能取y=(x-2)?

的最小值，根據(jù)定義域討論可知—〃+■()或一片+12(4—解得()<awi.

。1,x<0

【詳解】解：若…時(shí),/⑴力(一次心。‘"⑼

若a<0時(shí)，當(dāng)時(shí)，/(%)=-依+1單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f(x)->-00,故f(x)沒

有最小值，不符合題目要求;

若a>0時(shí),

當(dāng)x<a時(shí)，/(x)=-?x+I單調(diào)遞減，f(x)>f(a)=-a2+\,

0(0<a<2)

當(dāng)x>〃時(shí)，｛濡=%_2)2(心2)

，一片+120或—。2+L—2)2,

解得0<aWl,

綜上可得OWaWl；

故答案為：0(答案不唯一)，1

15.己知數(shù)列｛《,｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和S”滿足5“=9(〃=1,2,…).給出下列四

個(gè)結(jié)論：

①｛4｝的第2項(xiàng)小于3；②｛凡｝為等比數(shù)列；

③｛??｝為遞減數(shù)列；④｛??｝中存在小于高的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】

99

【分析】推導(dǎo)出q=-------,求出q、”,的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利

4％

用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.

【詳解】由題意可知，V〃eN*，%>0，

當(dāng)”=1時(shí)，a；=9,可得%=3；

9999

當(dāng)〃22時(shí)，由S“=一可得S,i=——，兩式作差可得q=-------,

a?4T冊(cè)%

999

所以，——=一一%,則一一七=3,整理可得。；+3出-9=0,

%ana2

因?yàn)?>0,解得出=*-3<3,①對(duì)；

(9YR1

假設(shè)數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,則片=%%，即—二&-，

所以，S；=S23,可得a；(l+4)2=a；(l+q+<72),解得q=0,不合乎題意，

故數(shù)列｛q｝不等比數(shù)列，②錯(cuò)；

當(dāng)〃》2時(shí)，an=-------=_12>0,可得凡〈區(qū)一，所以，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)

4an_,a?an_,

列，③對(duì)；

假設(shè)對(duì)任意neN,.擊，則5000002100GOOx擊=1000,

991

所以，^ooooo-^―<-)與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).

,^1000001UUU1UU

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法

來進(jìn)行推導(dǎo).

三、解答題共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在AABC中，sin2C=V3sinC.

(1)求NC；

(2)若6,且AABC的面積為6百，求AABC的周長.

【答案】(1)7

6

⑵6+65/3

【解析】

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C

的值；

(2)利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得C的值，即可求得AABC的

周長.

【小問1詳解】

解：因?yàn)镃e（O,萬）,則sinC>0,由已知可得由sinC=2sinCcosC，

可得cosC=《3,因此，C=j

26

【小問2詳解】

解：由三角形的面積公式可得￡ABC=ga匕sinC=|a=66,解得。=4&.

由余弦定理可得c?=4+/_2a》cosC=48+36-2x4&x6x且=12，c=，

2

所以，AABC的周長為a+b+c=6百+6.

17.如圖，在三棱柱ABC—A4G中，側(cè)面BCC4為正方形，平面8CG4，平面，

AB=BC=2,M,N分別為4月，AC的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面BCGBi；

（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角

的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）取的中點(diǎn)為K，連接MK,NK,可證平面MMV〃平面CBgG,從而可

證MN〃平面CBBC」

（2）選①②均可證明B4J,平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空

間向量可求線面角的正弦值.

【小問1詳解】

取AB的中點(diǎn)為K，連接

由三棱柱ABC-A4cl可得四邊形A為平行四邊形，

而用知=R,則MK//BBi,

而MK<Z平面CBB?,u平面CBB￡,故MKH平面CBB?,

而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面。346，

而NKnMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面CBB|G,而MNu平面MKN,故MN〃平面CBqG,

【小問2詳解】

因?yàn)閭?cè)面CBB,C,為正方形，故，BB,,

而C3u平面CBBG,平面CBB?1平面ABB.A,,

平面CBB￡c平面ABB^=，故C8_L平面,

因?yàn)镹KHBC,故NKL平面

因?yàn)?51平面故NK上AB,

若選①，則腦V,而NK工AB,NKCMN=N,

故43_1_平面乂\旅，而MKu平面MNK,故AB_LMK，

所以而CB上BB],CBcAB=B,故6g_L平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l」,0）,M（0,l,2）,

故麗二叱①的二。』,。）,而"。/；），

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

n-BNx+y=0

從而《取z=—1，則1=(-2,2,-1),

n-BM-y+2z=0

設(shè)直線AB與平面BMW所成的角為。，則

sin0=jcos^n,AJB^|=~■

若選②，因?yàn)镹K〃BC,故NK_L平面A844,而用0u平面例KN,

故NKJ_KM,而B]M=8K=1,NK=1,故B1M=NK,

而4B=MK=2,MB=MN,故ABB、MM^MKN,

所以NBB|M=NMKN=90。，故

而CB上BBi,CBcAB=B,故84_L平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故麗=（0,2,0）,麗=（1,1,0）,兩=（0,1,2）,

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0

則從而V取z=—l則3=(-2,2,-1),

3.兩=0y+2z=0

設(shè)直線AB與平面8M0所成的角為。，則

sin0=cos(n,AB]=—^―=—.

\/2x33

18.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含

9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙

以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E

（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證

明）

7

【答案】（1）0.4（2）-

（3）丙

【解析】

【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

（3）計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值

最大.

【小問1詳解】

由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為04,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

【小問2詳解】

設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件人

----------3

P（X=O）=P（A4A）=O-6xO.5xO.5=方，

P（X=1）=尸（4AA）+P（%A4）+P（AAA）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=-?，

20

尸（乂=2）=。（4人4）+。（4可4）+P（耳44）

7

0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——

20

2

P(X=3)=P(A4A3)=04x0.5x0.5=—

???X的分布列為

X0123

3872

P

20202020

38727

/.E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

202020205

【小問3詳解】

丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為,，甲獲得9.80

4

的概率為乙獲得9.78的概率為9.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越

106

多，對(duì)丙越有利.

22

19.已知橢圓：￡：與+與=1（。＞方＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0,l）,焦距為2百.

a"b~

（1）求橢圓E的方程;

（2）過點(diǎn)尸（-2,1）作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線AB,4c分別與

x軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)|MN|=2時(shí)，求k的值.

【答案】（1）—+/=1

4

（2）k=Y

【解析】

b=l

【分析】（1）依題意可得（2C=26,即可求出。，從而求出橢圓方程；

c2^a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設(shè)3（玉,必）、C（x2,y2）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋

達(dá)定理，由直線AB、AC的方程，表示出工”、%,根據(jù)|削|=|與一如|得到方程，解

得即可;

【小問1詳解】

解：依題意可得匕=1,2c=20又—從，

所以。=2,所以橢圓方程為三+V=1；

4-

【小問2詳解】

解：依題意過點(diǎn)P(—2,l)的直線為y-l=A(x+2),設(shè)3(X1,yJ、C(x2,y2),不妨令

-2<xt<x2<2,

y-l=Z(x+2)

2消去y整理得(1+4&2卜2+(16爐+8A)X+16&2+16左=0,

由，X2i

—+y=1

14-

所以△=(16%2+8女)2-4(1+4公)(16公+16%)>0,解得太<0,

..16k~+8%\6k2+16k

所cc以一一]+正，

I+4/

直線AB的方程為'-1=2一X,令y=0,解得x,w=「J

再If

.%—1

直線AC的方程為y—i一》,令y=0,解得/=

1-%

所以|MN|=%-X"I=尸-一廣1一

IfIf

=?_________________芭

1-[4+2)+1]1-[A(X]+2)+1]

二々?內(nèi)

-k^x2+2)&(M+2)

(x2+2)Xj—x2(%j+2)

k(x2+2)(x)+2)

=2,一司=2

網(wǎng)(％+2)(%+2)

所以卜-x2|=|Zc|(x2+2)(%+2),

即J(玉+々)--4%*2=陶[工2%+2(%2+%)+4]

2

0||『16公+8左丫,16k+16k1,J16攵2+I6Z(16公+8八/

即』--------4x------L=4-------+2--------+4

式1+4攵2J1+4/111+4公(1+4FJ

即

石：乞2/+,—0+4公)(1+)=J.+16A—2(16Z2+8后)+4(1+4/)]

整理得8口=4網(wǎng)，解得左=T

20.已知函數(shù)/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線y=〃尤)在點(diǎn)(0,/(。))處切線方程；

(2)設(shè)g(x)=C'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,，e(0,+8),有/"+/)>/($)+/?).

【答案】(1)y=x

(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；

(3)令〃z(x)=/(x+f)-/(x),(x,Z>0),即證帆(x)>/〃(0),由第二問結(jié)論可知皿X)在

［0,+8)上單調(diào)遞增，即得證.

【小問1詳解】

解：因?yàn)?(x)=e1n(l+x),所以/(0)=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

又/'(x)=eFn(l+x)+3),

.?.切線斜率々=r(o)=i

切線方程為：y=x

【小問2詳解】

解：因?yàn)橐騲)=/'(x)=e*(ln(l+x)+/一),

1+x

21

所以g'(x)=ev(ln(l+x)+---------，

1+x(1+x)

令h(x)=ln(l+尤)+-1,

1+x(1+x)

、122x2+1

則h(x)--------------+-----7-=------>0,

1+x(1+x)2(1+x)3(1+x)3

.?.〃*)在［0,+OO)上單調(diào)遞增，

/.h(x)>/z(0)=1>0

...g'(x)>0在［0,+℃)上恒成立，

.?.g(x)［0,+00)上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

解：原不等式等價(jià)于f(s+f)-f(s)>f(t)-/(0),

^m(x)=/(x+O-/(x),(x,t>0),

即證m(x)>/n(0),

m(x)=f(x+t)-/(x)=ex+,ln(l+x+r)-evln(l+x),

ee

m'(x)=et+,ln(l+x+t)+--------eAln(l+x)------=g(x+f)-g(x),

1+x+r1+x

由(2)知g(x)=/'(x)=e*(ln(l+x)+『一)在［(),+<?)上單調(diào)遞增，

g(x+t)>g(x),

m(x)>0

.?""(x)在(O,+x))上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤j>0,

m(x)>m(0),所以命題得證.

21.已知。：q,4,…，4為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)如若對(duì)任意的鹿門1,2,…,加｝,在

Q中存在4，%1，4+2,…嗎+/（//°），使得4+4+1+4+2+…+《+/=〃，則稱。為加一連

續(xù)可表數(shù)列.

（1）判斷Q：2,1,4是否為5—連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

（2）若Q：%,生，…，%,為8—連續(xù)可表數(shù)列，求證：上的