六樹木生長量

第六章生長概論

（IntroductionofIncrement)

第一節(jié)樹木生長量概念

（ConceptionofTreeIncrement)一、樹木生長量的定義

在一定間隔內(nèi)，樹木各調(diào)查因子（D，H，V），所發(fā)生的變化稱之為樹木的生長，其變化量稱之為生長量。顯然，樹木的生長量是隨著時(shí)間的變化而變化，是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。12/9/20231.二、生長量的種類

1、總生長量樹木從種植開始，直至調(diào)查時(shí)（t），整個(gè)期間的累積生長量。它是t的函數(shù)，記為2、定期生長量樹木在一定間隔期[t-n，t]內(nèi)的生長量，記為。3、連年生長量樹木在單位時(shí)間的生長速度，即樹木在一年間的生長量，記為。12/9/20232.4、定期平均生長量樹木在一定間隔期[t-n，t]內(nèi)的平均生長速度，即定期生長量被定期的年數(shù)n除之商。記為生長比較緩慢的樹種，相差一年的連年生長量一般不易測準(zhǔn)，故生產(chǎn)中常用定期（n=5或者10年）平均生長量來代替連年生長量。5、總平均生長量（簡稱為平均生長量）指樹木在[0，t]內(nèi)的平均生長速度，即樹木總生長量被t除之商，記為。12/9/20233.三、樹木生長特點(diǎn)樹木生長是依靠細(xì)胞的增殖不斷地?cái)U(kuò)大它的直徑、樹高、材積等，由于細(xì)胞增殖的不可逆性，決定了樹木的生長是一各“純生型”的生長過程是一個(gè)“純生型”的生長過程。具有以下特點(diǎn)：在樹木幼年階段，生長緩慢；在樹木中年階段，生長旺盛；在樹木近、成熟階段，生長趨于停止。上述特點(diǎn)，反映在總生長量與樹木年齡t的關(guān)系，是一條被拉常了的“s”型曲線。12/9/20234.第二節(jié)樹木生長方程

EquationsofTreeIncrement樹木總生長量yt關(guān)于t的函數(shù)稱為泛指生長方程。這樣的生長方程有無窮多條。其原因是影響樹木生長的因子太多。通常生長方程研究的是樹木的平均生長曲線。即在均值意義上的生長方程，是唯一的。生長方程描述樹木某調(diào)查因子生長的本質(zhì)規(guī)律，是關(guān)于樹木年齡t的確定性函數(shù)。12/9/20235.一、羅緝斯諦（Logistic）方程及擬合法1、方程的導(dǎo)出設(shè)y（t）為樹木的生長方程，且令樹木單位時(shí)間的生長量（即生長速度）為，相對生長速度（即生長率）為由于樹木在林地上的營養(yǎng)空間有限，樹木生長受到林木競爭的限制，且隨樹木調(diào)查因子y（t）的增長而競爭加劇，使得該樹木的相對生長速度為y的遞減函數(shù)。12/9/20236.假設(shè)為y的線性遞減函數(shù)，即令下式成立：（1）

式中r、k為大于零的常數(shù)。(1)式為著名的阻滯方程（Wehuls-pearl），其中，是樹木競爭其相對生長速度的下降量。故稱為“擁擠效應(yīng)系數(shù)”。12/9/20237.方程（1）是變量可分離型一階常微分方程，用變量分離法解之：首先進(jìn)行變量分離兩邊積分12/9/20238.左邊積分：右邊積分：

c為積分常數(shù)

被積函數(shù)化為部分分式：令欲使上式成立有：解得A=1B=1/K12/9/20239.代入，有從而得到方程的（1）的隱式通解。為了確定積分常數(shù)c，代入初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，y=y0于是代入通解移項(xiàng)：12/9/202310.令則

（2）式（2）即為著名的羅輯斯諦方程。12/9/202311.2.羅輯斯諦方程的性質(zhì)（1）羅緝斯締曲線有兩條漸近線Y=ky=0K稱為樹木生長的極限值··········12/9/202312.（2）y是關(guān)于t的單調(diào)增函數(shù)由公式（1），樹木生長速度為

即y是關(guān)于t的增函數(shù)

12/9/202313.（3）曲線存在一個(gè)拐點(diǎn)求y對t的二階導(dǎo)數(shù)方程令則這就是拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)12/9/202314.3、羅輯斯諦曲線擬合所謂曲線擬合，即根據(jù)樣本資料，i=1,2,…,n.對方程中參數(shù)r、m、k進(jìn)行抽樣估計(jì)，確定r、m、k的值。預(yù)先給定樹木調(diào)查因子y的最大值，賦值于k。羅輯斯諦方程可化為兩邊取對數(shù)則12/9/202315.若令X=t則羅輯斯諦方程化為直線方程根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)資料，由最小二乘法即可求出參數(shù)12/9/202316.式中；為協(xié)方差

為x的方差

回代即得出：12/9/202317.二、單分子生長式（Mitscherlich)1.方程的導(dǎo)出在樹木生長過程中，假定在某一時(shí)刻（t+1）的大小f（t+1）與其前一時(shí)刻的大小f（t）存在著下列關(guān)系：

（1）r〈1，b>0（1）式稱為線性一階差分方程式。12/9/202318.以（1）式中的f（t）為x軸，f（t+1）為y軸，由此形成[f（0）,f（1）],[f（1）,f（2）],···,[f（t）,f（t+1）],···的散點(diǎn)圖稱為差分圖

差分圖一定在線的上面.·········12/9/202319.令故：

（2）12/9/202320.f（t）滿足（1）式，f（t）稱為差分方程式（1）的解，（2）式進(jìn)一步整理：(3)若令則（3）式成為

令則（５）（5）式即為（1）的一般解。

12/9/202321.再假設(shè)則代入（5）對于單分子式有此式即為單分子式12/9/202322.2、曲線之性質(zhì)（1）有一條漸近線A為樹木生長的極限值當(dāng)t=0f（0）=0（2）f（t）是關(guān)于t的單調(diào)增函數(shù)A>0,k>0顯然，t=0，樹木生長速度的極大值。12/9/202323.（3）單分子式生長曲線不存在拐點(diǎn)3.單分子生長方程的擬合求解差分方程參數(shù)r、b令t=1，2，···，N-1則形成線性回歸方程用前述最小二乘法求解出r、b再回代到12/9/202324.若把測定值f（t）做倒數(shù)變換才滿足線性，則其一般解可寫成變換一：倒數(shù)變換12/9/202325.把倒數(shù)變換復(fù)原，則：

此式即羅輯斯諦方程。12/9/202326.若把測定值f（t）做對數(shù)變換才滿足線性，則由（5）式的一般解此時(shí)復(fù)原為真數(shù)則

若設(shè)則此式即為Compertz曲線式。變換二：對數(shù)變換12/9/202327.第三節(jié)連年生長量與平均生長量的關(guān)系RelationshipbetweenAnnualIncrementandMeanAnnualIncrement

令n年時(shí)的平均生長量表示，n+1年時(shí)的平均生長量用表示，則根據(jù)連年生長量意義可知：連平12/9/202328.所以當(dāng)，則，亦即平均生長量在上升時(shí)期，連年生長量就大于平均生長量。當(dāng)，則，亦即平均生長量在下降時(shí)期，連年生長量就小于平均生長量。當(dāng)，則，平均生長量達(dá)最高峰時(shí)期，連年生長量和平均生長量相等。此時(shí)，林地生產(chǎn)力最好，稱數(shù)量成熟。生產(chǎn)方程受樣本函數(shù)之影響，有些在連年生長量與平均生長量的關(guān)系上也反映出無交點(diǎn)或多個(gè)交點(diǎn)的畸變現(xiàn)象。12/9/202329.第四節(jié)樹木生長率GrowthPercentageofTree一、生長率的定義樹木的相對生長速度，即樹木一年間的生長量與其原來大小的比值，用百分?jǐn)?shù)表示。材積生長率生長率的主要意義在于產(chǎn)量預(yù)估。12/9/202330.二、生長率的計(jì)算公式由于在實(shí)際測定中，樹木在某年齡（t）時(shí)的生長速度（即連年生長量）常用某一段時(shí)間的定期平均生長量所代替。即故而在計(jì)算生產(chǎn)率時(shí)產(chǎn)生用誰做分母的問題，從而產(chǎn)生不同生產(chǎn)率計(jì)算公式。12/9/202331.1.復(fù)利式期末材積（）為復(fù)利中的本利和，期初材積（）為復(fù)利中的本金，生長率為利率，則2.單利公式即相當(dāng)于以期初材積為分母。12/9/202332.3.普雷斯勒（Pressier1957）公式此式是取定期n年間的平均生長量代替連年生長量，取a年和a-n年的材積平均數(shù)為分母，即顯然，pv為樹木在n年間的平均生長率三、三種生長率計(jì)算公式之間的關(guān)系P單>P復(fù)>P普由于普雷斯勒公式計(jì)算方便，實(shí)際中常用。12/9/202333.第五節(jié)林分生長量的概念ConceptionofStandGrowth一、林分蓄積生長的特點(diǎn)

林分蓄積的生長，是組成林分的樹木材積的消長的累積，樹木生長屬于“純生”型，而林分生長過程，由于森林自然稀疏的結(jié)果，則屬“生滅”型，顯然林分生長模型要比樹木生長模型復(fù)雜的多。林分的蓄積生長量實(shí)際上是有活立木的正生長量和自然枯死量的代數(shù)和所構(gòu)成。12/9/202334.1.幼齡林階段由于林木間尚未發(fā)生競爭，自然枯損量