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高考小題突破5概率與統(tǒng)計(jì)的基本計(jì)算考點(diǎn)一用樣本估計(jì)總體例1(多選題)(2023廣東廣州一模)某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重,經(jīng)統(tǒng)計(jì),這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)(單位:kg)全部介于45至70之間,將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則(
)A.頻率分布直方圖中a的值為0.07B.這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60C.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62D.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為62.5AC解析
對于A,因?yàn)?×(0.01+a+0.06+0.04+0.02)=1,所以a=0.07,故A正確;對于B,(0.01+0.07+0.06)×5×100=70,故B錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)?.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7,0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9,0.7<0.78<0.9,所以第78百分位數(shù)位于區(qū)間[60,65)內(nèi),設(shè)第78百分位數(shù)為x,則0.01×5+0.07×5+0.06×5+(x-60)×0.04=0.78,解得x=62,故C正確;對于D,因?yàn)?.01×5×47.5+0.07×5×52.5+0.06×5×57.5+0.04×5×62.5+0.02×5×67.5=57.25,所以估計(jì)該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為57.25,故D錯(cuò)誤.故選AC.增分技巧1.用樣本的頻率估計(jì)總體的步驟(1)確定樣本容量N;(2)確定事件發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))n;(3)求頻率
;(4)估計(jì)總體.2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的步驟(1)確定樣本;(2)求樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差);(3)由數(shù)字分析樣本、估計(jì)總體.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(多選題)(2023浙江湖州模擬)為響應(yīng)自己城市倡導(dǎo)的低碳出行,小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具,他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時(shí)間(單位:分鐘),得到下列兩個(gè)頻率分布直方圖.基于以上統(tǒng)計(jì)信息,則(
)A.騎車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是22B.坐公交車時(shí)間的40%分位數(shù)的估計(jì)值是19C.坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值D.坐公交車時(shí)間的方差的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的方差的估計(jì)值坐公交車時(shí)間為x騎車時(shí)間為yBC解析
對于A,設(shè)騎車時(shí)間的中位數(shù)為a,易知20<a<22,則0.10×2+0.20(a-20)=0.50,解得a=21.5,故騎車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是21.5,故A錯(cuò)誤;對于B,設(shè)坐公交車時(shí)間的40%分位數(shù)為b,易知18<b<20,則0.025×2+0.050×2+0.075×2+0.100×(b-18)=0.4,解得b=19,故坐公交車時(shí)間的40%分位數(shù)的估計(jì)值是19,故B正確;對于C,坐公交車時(shí)間的平均數(shù)(2)(多選題)(2023江蘇南通二模)已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量(單位:噸/公頃)數(shù)據(jù)為9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量(單位:噸/公頃)數(shù)據(jù)為9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,則(
)A.甲種雜交水稻的樣本極差小于乙種雜交水稻的樣本極差B.甲種雜交水稻的樣本平均數(shù)等于乙種雜交水稻的樣本平均數(shù)C.甲種雜交水稻的樣本方差大于乙種雜交水稻的樣本方差D.甲種雜交水稻的第60百分位數(shù)小于乙種雜交水稻的第60百分位數(shù)ABD考點(diǎn)二古典概型例2(2023遼寧盤錦高級(jí)中學(xué)一模)“春雨驚春清谷天,夏滿芒夏暑相連;秋處露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中每句的開頭一字代表著季節(jié),每一句詩歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣,則這2個(gè)節(jié)氣恰好不在一個(gè)季節(jié)的概率為__________.延伸探究在本例條件下,若從24個(gè)節(jié)氣中任選3個(gè)節(jié)氣,求這3個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率.增分技巧古典概型求解的關(guān)鍵點(diǎn)(1)解答古典概型問題,關(guān)鍵是正確求出樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù),常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí).(2)在求樣本點(diǎn)的總數(shù)時(shí),要準(zhǔn)確理解樣本點(diǎn)的構(gòu)成,這樣才能保證所求事件A所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法與樣本點(diǎn)的總數(shù)的求法的一致性.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2022新高考Ⅰ,5)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(
)D(2)(2023天津,13)甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球,其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球,取到的三個(gè)球都是黑球的概率為__________;將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球,是白球的概率為__________.考點(diǎn)三相互獨(dú)立事件的概率A(2)(多選題)(2023江蘇南京師大附中模擬)甲、乙兩人準(zhǔn)備買一部手機(jī),購買國產(chǎn)手機(jī)的概率分別為0.6,0.5,購買白色手機(jī)的概率分別為0.4,0.6,若甲、乙兩人購買哪款手機(jī)互相獨(dú)立,則(
)A.恰有一人購買國產(chǎn)手機(jī)的概率為0.5B.兩人都沒購買白色手機(jī)的概率為0.52C.甲購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為0.48D.甲、乙至少一人購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為0.468AD解析
由已知,甲、乙兩人購買哪款手機(jī)互相獨(dú)立,“甲購買國產(chǎn)手機(jī)”記為事件A,則P(A)=0.6;“乙購買國產(chǎn)手機(jī)”記為事件B,則P(B)=0.5;“甲購買白色手機(jī)”記為事件C,則P(C)=0.4;“乙購買白色手機(jī)”記為事件D,則P(D)=0.6.對于C,“甲購買國產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件E,其概率為P(E)=P(AC)=0.6×0.4=0.24,故C錯(cuò)誤;對于D,“乙購買國產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件F,其概率為P(F)=P(BD)=0.5×0.6=0.3,結(jié)合選項(xiàng)C的判斷,甲、乙至少一人購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為1-P()=1-(1-0.24)×(1-0.3)=0.468,故D正確.增分技巧求相互獨(dú)立事件和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)(1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的“和”事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的“積”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨別n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征:①同一個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做n次;②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.對點(diǎn)訓(xùn)練3B(2)(2023浙江金麗衢十二校三模)班級(jí)舉行知識(shí)競猜闖關(guān)活動(dòng),設(shè)置了A,B,C三個(gè)問題,答題者可自行決定答三題順序.甲有60%的可能答對問題A,80%的可能答對問題B,50%的可能答對問題C.記答題者連續(xù)答對兩題的概率為p,要使得p最大,他應(yīng)該先回答(
)A.問題AB.問題BC.問題A,B和C都可以D.問題CD解析
①若先回答問題A,則答題順序可能為A,B,C和A,C,B.當(dāng)答題順序?yàn)锳,B,C且連對兩題時(shí),p=0.6×0.8×(1-0.5)+(1-0.6)×0.8×0.5=0.4;當(dāng)答題順序?yàn)锳,C,B且連對兩題時(shí),p=0.6×0.5×(1-0.8)+(1-0.6)×0.5×0.8=0.22.故先回答問題A,連對兩題的概率為0.4+0.22=0.62.②若先回答問題B,則答題順序可能為B,A,C和B,C,A.當(dāng)答題順序?yàn)锽,A,C且連對兩題時(shí),p=0.8×0.6×(1-0.5)+(1-0.8)×0.6×0.5=0.3;當(dāng)答題順序?yàn)锽,C,A且連對兩題時(shí),p=0.8×0.5×(1-0.6)+(1-0.8)×0.5×0.6=0.22.故先回答問題B,連對兩題的概率為0.3+0.22=0.52.③若先回答問題C,則答題順序可能為C,A,B和C,B,A.當(dāng)答題順序?yàn)镃,A,B且連對兩題時(shí),p=0.5×0.6×(1-0.8)+(1-0.5)×0.6×0.8=0.3;當(dāng)答題順序?yàn)镃,B,A且連對兩題時(shí),p=0.5×0.8×(1-0.6)+(1-0.5)×0.8×0.6=0.4.故先回答問題C,連對兩題的概率為0.3+0.4=0.7.∵0.7>0.62>0.52,∴要使p最大,應(yīng)先回答問題C.故選D.考點(diǎn)四條件概率與全概率公式考向1條件概率例4(1)(2023上海寶山二模)從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中,每次不放回地隨機(jī)摸出一球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為事件A,“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為事件B,則P(B|A)=__________.(2)(2023江蘇江浦高級(jí)中學(xué)模擬)某公司在某地區(qū)進(jìn)行商品A的調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位購買商品A的顧客的性別,其中男性顧客18位,已知該地區(qū)商品A的購買率為10%,該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)中任選一人,若此人是男性,則此人購買商品A的概率為__________.增分技巧條件概率的三種求法
對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2022天津,13)52張撲克牌,沒有大小王,無放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為__________;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為__________.考向2全概率公式例5(2023遼寧鞍山一中模擬)某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品,三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示,且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%,50%,40%.若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個(gè),則選到綁帶式口罩的概率為(
)A.0.23 B.0.47
C.0.53
D.0.77D解析
由題圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩的占比分別為70%,20%,10%,記事件A1,A2,A3分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩,則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3兩兩互斥,所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%,50%,40%,記事件B為“選到綁帶式口罩”,則P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4,所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.增分技巧應(yīng)用全概率公式求概率的步驟
對點(diǎn)訓(xùn)練5(2023安徽安慶二模)設(shè)某批產(chǎn)品中,甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,甲、乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為2%和3%.現(xiàn)從中任取一件,若取到的是次品的概率為2.95%,則推測丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率為__________.5%解析
記事件A表示“取到的是一件次品”,事件B1,B2,B3分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的,顯然Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3兩兩互斥,則P(B1)=0.45,P(B2)=0.35,P(B3)=0.2.由于P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.03,設(shè)P(A|B3)=m,由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02×0.45+0.03×0.35+m×0.2,而P(A)=2.95%,故m=5%. 考點(diǎn)五正態(tài)分布及其應(yīng)用例6(1)(多選題)(2023河北衡水中學(xué)模擬)工廠生產(chǎn)某零件,其尺寸D(單位:cm)服從正態(tài)分布N(10,0.01k2).其中k由零件的材料決定,且k>0.當(dāng)零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm時(shí),認(rèn)為該零件不合格;當(dāng)零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm時(shí),認(rèn)為該零件為優(yōu)質(zhì)零件;其余則認(rèn)為是普通零件.已知當(dāng)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)時(shí),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973,則下列說法正確的有(
)A.k越大,預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)零件與不合格零件的概率之比越小B.k越大,預(yù)計(jì)生產(chǎn)出普通零件的概率越大C.若k=1.5,則生產(chǎn)200個(gè)零件約有9個(gè)零件不合格D.若生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件、普通零件與不合格零件盈利分別為3a,2a,-5a,則當(dāng)k=1時(shí),每生產(chǎn)1000個(gè)零件預(yù)計(jì)盈利2580aAC解析
依題意,得μ=10,σ2=0.01k2,則σ=0.1k,k>0.對于A,當(dāng)k變大時(shí),σ變大,則零件尺寸D的正態(tài)曲線越“矮胖”,所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)零件的概率越小,不合格零件的概率越大,故A正確;對于B,由選項(xiàng)A可知,預(yù)計(jì)生產(chǎn)出普通零件的概率越小,故B錯(cuò)誤;對于C,當(dāng)k=1.5時(shí),σ=0.1k=0.15,則P(X>10.3)=P(X>μ+2σ)≈0.022
75,而P(X<9.7)=P(X<μ-2σ)=P(X>μ+2σ)≈0.022
75,所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的不合格零件的概率為P(X>10.3)+P(X<9.7)≈0.045
5,故生產(chǎn)200個(gè)零件約有不合格零件的個(gè)數(shù)為200×0.045
5=9.1≈9,故C正確;對于D,當(dāng)k=1時(shí),σ=0.1k=0.1,則P(X>10.3)=P(X>μ+3σ)≈0.001
35,P(X<9.7)≈0.001
35,P(9.9<X<10.1)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682
7,所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件的概率為0.682
7,不合格零件的概率為0.002
7,普通零件的概率為1-0.682
7-0.002
7=0.314
6,故每生產(chǎn)1
000個(gè)零件預(yù)計(jì)盈利1
000×[0.682
7×3a+0.314
6×2a+0.002
7×(-5a)]≈2
664a,故D錯(cuò)誤.故選AC.(2)(2022新高考Ⅱ,13)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=__________.0.14解析
由題意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.增分技巧利用正態(tài)曲線的對稱性求概率的策略(1)解決此類問題的關(guān)鍵是利用對稱軸x=μ確定所求概率對應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間與已知概率對應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間的關(guān)系,必要時(shí),可借助圖形判斷.(2)對于X~N(μ,σ2),由直線x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸知:①對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);②P(X<x0)=1-P(X≥x0);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).(3)對于特殊區(qū)間求概率一定要掌握服從N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X在三個(gè)特殊區(qū)間的取值概率,將所求問題向P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)轉(zhuǎn)化,然后利用特定值求出相應(yīng)概率.同時(shí),要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1這些特殊性質(zhì).對點(diǎn)訓(xùn)練6(1)(多選題)(2023遼寧沈陽一模)某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布N(100,σ2),則下列結(jié)論正確的是(
)A.σ越大,則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間(99.9,100.1)內(nèi)的概率越大B.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于100的概率為0.5C.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于100.01的概率與小于99.99的概率相等D.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在
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