新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破課件 第1部分 專題突破 專題2　第2講　三角恒等變換與解三角形（含解析）

第2講三角恒等變換與解三角形專題二

三角函數(shù)與解三角形考情分析1.三角恒等變換主要考查化簡、求值，解三角形主要考查求邊長、角度、面積

等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范

圍問題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度.考點一三角恒等變換考點二正弦定理、余弦定理考點三解三角形的實際應(yīng)用專題強化練內(nèi)容索引三角恒等變換考點一核心提煉1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcos

β±cos

αsinβ；(2)cos(α±β)＝cos

αcos

β?sinαsinβ；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(1)(2022·新高考全國Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，則A.tan(α－β)＝1

B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1

D.tan(α＋β)＝－1√例1由題意得sinαcos

β＋cos

αsinβ＋cos

αcos

β－sinαsinβ整理，得sinαcos

β－cos

αsinβ＋cos

αcos

β＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.√三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪；(4)弦、切互化：一般是切化弦.規(guī)律方法√跟蹤演練1√(2)已知函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx，設(shè)當(dāng)x＝θ時，f(x)取得最大值，則cos

θ＝________.正弦定理、余弦定理考點二核心提煉例2√因為bsin2A＝asin

B，所以2bsinAcos

A＝asin

B，利用正弦定理可得2abcosA＝ab，(2)(2022·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).①證明：2a2＝b2＋c2；方法一

由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsin

Acos

B－sinCcos

Asin

B＝sinBsin

Ccos

A－sinBcos

Csin

A，可得accos

B－bccos

A＝bccos

A－abcos

C，即accos

B＋abcos

C＝2bccosA(*).將上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二

因為A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.由①及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因為b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周長l＝a＋b＋c＝14.正、余弦定理的適用條件(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理.(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理.注意：應(yīng)用定理要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.規(guī)律方法跟蹤演練2√根據(jù)正弦定理可知b＝2RsinB，a＝2RsinA，得2RsinBcos

A＋2RsinAcos

B＝2Rsin(A＋B)＝2，①求角A的大?。辉凇鰽BC中，由正弦定理得，c＝2RsinC，b＝2RsinB，化簡得cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA.即sin(A＋B)＝2sinCcosA，∵A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC≠0，②若a＝2，求△ABC面積的最大值及此時邊b，c的值.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又b2＋c2≥2bc，∴bc≤4，解三角形的實際應(yīng)用考點三解三角形應(yīng)用題的?？碱愋?1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.核心提煉(1)滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃的詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，小明同學(xué)為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12m，在它們的地面上的點M(B，M，D三點共線)測得樓頂A、滕王閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得滕王閣頂部C的仰角為30°，則小明估算滕王閣的高度為(精確到1m)A.42m B.45m

C.51m D.57m√例3在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△CDM中，CD＝CMsin60°(2)雷達(dá)是利用電磁波探測目標(biāo)的電子設(shè)備，電磁波在大氣中大致沿直線傳播，受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離L＝

(如圖)，其中h1為雷達(dá)天線架設(shè)高度，h2為探測目標(biāo)高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠(yuǎn)大于h1，h2.假設(shè)某探測目標(biāo)高度為25m，為保護(hù)航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機的巡航高度至少約為(參考數(shù)據(jù)：

≈4.12)A.6400m B.8100mC.9100m D.1000m√根據(jù)題意可知L＝412km，R＝8490km，h2＝0.025km，解得h1≈9.02(km)≈9100(m).所以艦載預(yù)警機的巡航高度至少約為9100m.解三角形實際問題的步驟規(guī)律方法(1)如圖，已知A，B，C，D四點在同一條直線上，且平面PAD與地面垂直，在山頂P點測得點A，C，D的俯角分別為30°，60°，45°，并測得AB＝200m，CD＝100m，現(xiàn)欲沿直線AD開通穿山隧道，則隧道BC的長為跟蹤演練3√由題意可知A＝30°，D＝45°，∠PCB＝60°，所以∠PCD＝120°，∠APC＝90°，∠DPC＝15°，因為sin15°＝sin(45°－30°)所以在△PCD中，所以在Rt△PAC中，(2)如圖是建黨百年展覽的展館——國家博物館.現(xiàn)欲測量博物館正門柱樓頂部一點P離地面的高度OP(點O在柱樓底部).現(xiàn)分別從地面上的兩點A，B測得點P的仰角分別為30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60

米，則OP等于√如圖所示，設(shè)OP＝h，由題意知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.在Rt△BOP中，OB＝h.在△ABO中，由余弦定理，得OA2＝AB2＋OB2－2AB·OBcos60°，專題強化練一、單項選擇題√1234567891011121314由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).√1234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314所以bc＝6，又b－c＝1，可得b＝3，c＝2，√12345678910111213141234567891011121314∴cos

β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos

α－sin(β－α)sinα12345678910111213145.故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群，故宮宮殿房檐設(shè)計恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°.圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度(單位：米)約為A.3米

B.4米C.6(－1)米

D.3(＋1)米√1234567891011121314如圖，根據(jù)題意得∠ACB＝15°，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，∠CAD＝45°，CD＝24米，所以∠CAD＝45°，在△ACD中，由正弦定理得12345678910111213141234567891011121314√12345678910111213146.(2022·濟寧模擬)已知sinα－cos

β＝3cosα－3sinβ，且sin(α＋β)≠1，則sin(α－β)的值為1234567891011121314由sinα－cos

β＝3cosα－3sinβ得，12345678910111213141234567891011121314二、多項選擇題7.(2022·張家口質(zhì)檢)下列命題中，正確的是A.在△ABC中，若A>B，則sinA>sinBB.在銳角△ABC中，不等式sinA>cos

B恒成立C.在△ABC中，若acos

A＝bcos

B，則△ABC是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝

，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形√√√對于A，由A>B，可得a>b，利用正弦定理可得sinA>sinB，正確；1234567891011121314因此不等式sinA>cos

B恒成立，正確；對于C，在△ABC中，acos

A＝bcos

B，利用正弦定理可得sinAcos

A＝sinBcos

B，∴sin2A＝sin2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，1234567891011121314∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，錯誤；由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，1234567891011121314∴△ABC必是等邊三角形，正確.1234567891011121314√√123456789101112131412345678910111213141234567891011121314三、填空題12345678910111213141234567891011121314123456789101112131411.(2022·開封模擬)如圖，某直徑為5海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距5海里，cos∠BAD＝－

.則小島B與小島D之間的距離為_____海里；小島B，C，D所形成的三角形海域BCD的面積為____平方海里.123456789101112131415由圓的內(nèi)接四邊形對角互補，得又∠BCD為銳角，所以sin∠BCD1234567891011121314整理得CD2－8CD－20＝0，解得CD＝10(負(fù)根舍去).1234567891011121314123456789101112131412.(2022·汝州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝2，cos2C＝cos2A＋4sin2B，則△ABC面積的最大值為____.由cos2C＝cos2A＋4sin2B得，1－2sin2C＝1－2sin2A＋4sin2B，即sin2A＝sin2C＋2sin2B，由正弦定理得a2＝c2