2023-2024學(xué)年安徽省合肥市七中、合肥十中數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省合肥市七中、合肥十中數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.2．函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.3．若，則的值為A. B.C. D.4．設(shè)集合，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A.y＝2sin B.y＝C.y＝2sin D.y＝2sin6．已知，則的周期為（）A. B.C.1 D.27．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．函數(shù)f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是()A. B.±C.0或1 D.9．已知向量（2，3），（x，2），且⊥，則|23|＝（）A.2 B.C.12 D.1310．若，則錯(cuò)誤的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，且在上，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____12．用表示a，b中的較小者，則的最大值是____.13．在中，若，則的形狀一定是___________三角形.14．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是___________.15．在中，，則_____________16．求值:____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求面積.18．筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)哪的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中描繪了筒車(chē)的工作原理．如圖1是一個(gè)半徑為R（單位：米），有24個(gè)盛水筒的筒車(chē)，按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要120秒，為了研究某個(gè)盛水筒P離水面高度h（單位，米）與時(shí)間t（單位：秒）的變化關(guān)系，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．已知時(shí)P的初始位置為點(diǎn)（此時(shí)P裝滿(mǎn)水）.（1）P從出發(fā)到開(kāi)始倒水入槽需要用時(shí)40秒，求此刻P距離水面的高度（結(jié)果精確到0.1）；（2）記與P相鄰的下一個(gè)盛水筒為Q，在簡(jiǎn)車(chē)旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，求P與Q距離水面高度差的最大值（結(jié)果精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：，，，19．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2，0)，AB邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，點(diǎn)T(－1，1)在AD邊所在直線上．求：(1)AD邊所在直線的方程；(2)DC邊所在直線的方程20．2021年起，遼寧省將實(shí)行“3+1+2”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級(jí)學(xué)生的化學(xué)成績(jī)進(jìn)行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個(gè)等級(jí)，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行賦分A等級(jí)排名占比15%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是86-100；B等級(jí)排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是71-85；C等級(jí)排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是56-70；D等級(jí)排名占比13%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是41-55；E等級(jí)排名占比2%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是30-40；現(xiàn)從全年級(jí)的化學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的原始成績(jī)(未賦分)進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中a的值；（2）用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該校本次化學(xué)成績(jī)?cè)挤植簧儆诙嗌俜植拍苓_(dá)到賦分后的C等級(jí)及以上(含C等級(jí))？（結(jié)果保留整數(shù)）（3）若采用分層抽樣的方法，從原始成績(jī)?cè)赱40，50)和[50，60)內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人，查看他們的答題情況來(lái)分析知識(shí)點(diǎn)上的缺漏，再?gòu)闹羞x取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中恰有一人原始成績(jī)?cè)赱40，50)內(nèi)的概率.21．已知，均為銳角，且，是方程的兩根.（1）求的值；（2）若，求與的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，則故選:.2、C【解析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值判斷即可；【詳解】解：∵，∴是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除A，B選項(xiàng)；∵，∴在上不單調(diào)，排除D選項(xiàng)故選：C3、C【解析】由題意求得，化簡(jiǎn)得，再由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，聯(lián)立方程組，求得，代入即可求解.【詳解】由，整理得，所以，又由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得由解得，所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，即可求解.【詳解】由，解得，即，即，又由，即，所以.故選：D.5、C【解析】先從圖象中看出A，再求出最小正周期，求出ω，代入特殊值后結(jié)合φ范圍求出φ的值，得到答案.【詳解】由圖象可知A＝2，因?yàn)椋剑?，所以T＝，ω＝2.當(dāng)x＝－時(shí)，2sin＝2，即sin＝1，又|φ|<，解得φ＝.故函數(shù)的解析式為y＝2sin.故選：C6、A【解析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，代入周期計(jì)算公式即可求得周期.【詳解】，周期為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的最小正周期，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由增函數(shù)的性質(zhì)及定義域得對(duì)數(shù)不等式組，再對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求解【詳解】不等式即為，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，考查解函數(shù)不等式，解題時(shí)除用函數(shù)的單調(diào)性得出不等關(guān)系外，一定要注意函數(shù)的定義域的約束，否則易出錯(cuò)8、A【解析】根據(jù)函數(shù)值為2，分類(lèi)討論即可.【詳解】若f(x)＝2，①x≤－1時(shí)，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2時(shí)，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2時(shí)，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).綜上，x＝.故選：A.9、D【解析】由，可得，由向量加法可得，再結(jié)合向量模的運(yùn)算即可得解.【詳解】解:由向量（2，3），（x，2），且，則,即,即,所以,所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量加法及模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】對(duì)于，由，則，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，故錯(cuò)誤故選D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】∵，∴，∴，∵且在上，∴線段為的角平分線，∴，以A為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，D∴故答案為112、【解析】分別做出和的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】解：分別做出和的圖象，如圖所示：又，當(dāng)時(shí)，解得：，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：.13、等腰【解析】根據(jù)可得，利用兩角和的正弦公式展開(kāi)，再逆用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得，即可得的形狀.【詳解】因，，所以，即，所以，可得：，因?yàn)?，，所以所以，即，故是等腰三角?故答案為：等腰.14、【解析】令，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有正根，利用判別式及韋達(dá)定理列出不等式組求解即可得答案.【詳解】解：方程可化，令，則，所以原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有正根，設(shè)兩根分別為，則，解得，所以的取值范圍是，故答案為：.15、【解析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得的值【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得，故設(shè)，，()，由余弦定理可得，故.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正弦的兩角和公式即可得解【詳解】解：因?yàn)?，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)高線的性質(zhì)，結(jié)合互相垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴AB的斜率，∴AB邊高線斜率，又，∴AB邊上的高線方程為，化簡(jiǎn)得.【小問(wèn)2詳解】直線AB的方程為，即，頂點(diǎn)C到直線AB的距離為，又，∴的面積.18、（1）m（2）m【解析】（1）根據(jù)題意P從出發(fā)到開(kāi)始倒水入槽用時(shí)40秒，可知線段OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了，由，可求圓的半徑，由題意可知以O(shè)A為終邊的角為，由此即可求出P距離水面的高度；（2）由題意可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s，易知P開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度的解析式，設(shè)P，Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B，C表示，易知，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad，求出Q距離水面的高度，可得則P，Q距離水面的高度差，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由于筒車(chē)轉(zhuǎn)一周需要120秒，所以P從出發(fā)到開(kāi)始倒水入槽的40秒，線段OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了，因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為，得，以O(shè)A為終邊的角為，所以P距離水面的高度m【小問(wèn)2詳解】解：由于筒車(chē)轉(zhuǎn)一周需要120秒，可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s，又以O(shè)A為終邊的角為，則P開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度，如圖，P，Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B，C表示，則，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad，此時(shí)Q距離水面的高度則P，Q距離水面的高度差，利用，可得當(dāng)或，即或時(shí)，最大值為所以，筒車(chē)旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，P與Q距離水面高度差的最大值約為m19、（1）；（2）【解析】分析：（1）先由AD與AB垂直，求得AD的斜率，再由點(diǎn)斜式求得其直線方程；（2）根據(jù)矩形特點(diǎn)可以設(shè)DC的直線方程為，然后由點(diǎn)到直線的距離得出，就可以求出m的值，即可求出結(jié)果.詳解：(1)由題意：ABCD為矩形，則AB⊥AD，又AB邊所在的直線方程為：x－3y－6＝0，所以AD所在直線的斜率kAD＝－3，而點(diǎn)T(－1，1)在直線AD上所以AD邊所在直線的方程為：3x＋y＋2＝0.(2)方法一：由ABCD為矩形可得，AB∥DC，所以設(shè)直線CD的方程為x－3y＋m＝0.由矩形性質(zhì)可知點(diǎn)M到AB、CD的距離相等所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)所以DC邊所在的直線方程為x－3y＋2＝0.方法二：方程x－3y－6＝0與方程3x＋y＋2＝0聯(lián)立得A（0，-2），關(guān)于M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C（4，2）因AB∥DC，所以DC邊所在的直線方程為x－3y＋2＝0.點(diǎn)睛：本題主要考查直線方程的求法，在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線．故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類(lèi)討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況20、（1）a0.030；（2）54分；（3）.【解析】（1）由各組頻率和為1列方程即可得解；（2）由頻率分布直方圖結(jié)合等級(jí)達(dá)到C及以上所占排名等級(jí)占比列方程即可的解；（3）列出所有基本事件及滿(mǎn)足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【詳解】（1）由題意，(0.0100.0150.015a0.0250.005)101，所以a0.030；（2）由已知等級(jí)達(dá)到C及以上所占排名等級(jí)占比為15%+35%+35%=85%，假設(shè)原始分不少于x分可以達(dá)到賦分后的C等級(jí)及以上，易得，則有(0.0050.0250.0300.015)10(60x)0.0150.85，解得x≈53.33(分)，所以原始分不少于54分才能達(dá)到賦分后的C等級(jí)及以上；（3）由題知得分在[40,50)和[50,60)內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，則抽取的5人中，得分在[40,50)內(nèi)的有2人，得分在[50,60)的有3人記得分在[50,60)內(nèi)的3位學(xué)生為a，b，c，得分在[40,50)內(nèi)的2位學(xué)生為D，E，則從5人中任選2人，樣本空間可記為{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE}