圓錐曲線上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于某直線軸對(duì)稱的充要條件

圓錐曲線上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于某直線軸對(duì)稱的充要條件定理1橢圓上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是，且此時(shí)還有與異號(hào)或均為0，與異號(hào)或均為0.定理2(1)雙曲線的同一支上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是且，且此時(shí)還有與異號(hào)或均為0，與同號(hào)或均為0；(2)雙曲線的不同支上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是且R，且此時(shí)還有與異號(hào)或均為0，與同號(hào)或均為0.定理3拋物線上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是，且此時(shí)還有與異號(hào)或均為0，與異號(hào)或均為0.下面給出這三個(gè)定理的簡(jiǎn)潔常規(guī)的證明(對(duì)于定理1,3，以下證法還給出了兩種關(guān)于充要條件的結(jié)論的證明).在以下證明中，設(shè)線段的中點(diǎn)為，得；再由點(diǎn)在直線上可得.定理1的證明得，作差整理后可得再由，可得線段的中點(diǎn)為.由點(diǎn)差法可知，橢圓內(nèi)非中心的任意一點(diǎn)都是該橢圓唯一一條弦的中點(diǎn)，橢圓的中心是該橢圓過(guò)中心的任意一條弦的中點(diǎn)，所以所求充要條件即點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可得所求充要條件是.(注：因?yàn)檫^(guò)橢圓內(nèi)的點(diǎn)作直線一定與該橢圓交于相異兩點(diǎn)，所以以上證明中無(wú)須驗(yàn)證“直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”.)在該證明中已得的中點(diǎn)，所以直線即，把它與橢圓的方程聯(lián)立后，可得關(guān)于的一元二次方程由其判別式，也可得所求充要條件是.且還可得與異號(hào)或均為0.把直線與橢圓的方程聯(lián)立后，還可得關(guān)于的一元二次方程由其判別式，又可得所求充要條件是.且還可得與異號(hào)或均為0.定理2的證明由點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)為，直線即，把它與雙曲線的方程聯(lián)立后，可得關(guān)于的一元二次方程由其判別式，得進(jìn)而可得相應(yīng)結(jié)論成立.把直線與雙曲線的方程聯(lián)立后，還可得關(guān)于的一元二次方程進(jìn)而也可得相應(yīng)結(jié)論成立.定理3的證明由點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)為.由點(diǎn)差法可知，拋物線內(nèi)的任意一點(diǎn)都是該拋物線唯一一條弦的中點(diǎn)，所以所求充要條件即點(diǎn)在拋物線內(nèi)(即含焦點(diǎn)的區(qū)域)，可得欲證成立.(注：因?yàn)檫^(guò)拋物線內(nèi)的點(diǎn)作直線一定與該拋物線交于相異兩點(diǎn)(因?yàn)樵谥惺堑亩问剑谥惺堑囊淮问?，所以兩者一定有公共點(diǎn)但又不會(huì)相切，所以相交)，所以以上證明中無(wú)須驗(yàn)證“直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”.)在該證明中已得的中點(diǎn)，所以直線即，把它與雙曲線的方程聯(lián)立后，可得關(guān)于的一元二次方程進(jìn)而可得相應(yīng)結(jié)論成立.把直線與拋物線的方程聯(lián)立后，還可得關(guān)于的一元二次方程……也可得相應(yīng)結(jié)論成立.下面再舉例說(shuō)明以上結(jié)論及其證法的應(yīng)用.題1若橢圓上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍，并證明.解法1顯然.用點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，進(jìn)而可求得的取值范圍是.再由定理1可得.解法2同解法1得線段的中點(diǎn).由點(diǎn)差法知，橢圓內(nèi)任一點(diǎn)都是唯一一條弦的中點(diǎn)(但橢圓的中心是經(jīng)過(guò)它的任意弦的中心)，所以題意即點(diǎn)在橢圓內(nèi)，得……而后再同解法1.題2若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍，并證明.解法1顯然.用點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可求得的取值范圍是.再由定理3可得.解法2同解法1得線段的中點(diǎn).由點(diǎn)差法知，拋物線內(nèi)任一點(diǎn)都是唯一一條弦的中點(diǎn)，所以題意即點(diǎn)在拋物線內(nèi)，得……而后再同解法1.題3若雙曲線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍，并證明.解用點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可求得的取值范圍是.再由定理2可得.題4若雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍，并證明或.解用點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，易得的取值范圍是R.再由定理2可得或.題5若雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍，并證明.解易知，用點(diǎn)差法可求得線段的中點(diǎn)，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，易得的取值范圍是.再由定理2可得.題6已知雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍，并證明.解易知.由點(diǎn)差法可得，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由，得所以所求的取值范圍是.再由定理2可得.題7(2010年高考安徽卷理科第19題)如圖1所示，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，離心率.圖1(1)求橢圓E的方程；(2)求的角平分線所在直線l的方程；(3)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l(筆者注：這里的直線l見(jiàn)第(2)問(wèn))對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由.解(1).(2)可求得直線的方程分別為.設(shè)直線l上的任一點(diǎn)是，可得，即或.再由直線l的斜率為正數(shù)，得直線l的方程為.(3)由定理1可知，在橢圓E上不存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn).題8(2015年高考浙江卷理科第19題)如圖2所示，已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋eq\f(1,2)對(duì)稱．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．圖2解(1)由題意知m≠0，再由定理1可求得答案為.(2)令t＝eq\f(1,m)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，得|AB|＝eq\r(t2＋1)·eq\f(\r(－2t4＋2t2＋\f(3,2)),t2＋\f(1,2))，且O到直線AB的距離d＝eq\f(t2＋\f(1,2),\r(t2＋1)).設(shè)△AOB的面積為S(t)，得S(t)＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋2)≤eq\f(\r(2),2)(當(dāng)且僅當(dāng)t2＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立)．所以△AOB面積的最大值為eq\f(\r(2),2).(2)可設(shè)直線AB的方程為y＝－eq\f(1,m)x＋b.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－\f(1,m)x＋b，))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,m2)))x2－eq\f(2b,m)x＋b2－1＝0.令t＝eq\f(1,m)，得t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，可求得|AB|＝eq\r(t2＋1)·eq\f(\r(－2t4＋2t2＋\f(3,2)),t2＋\f(1,2)).且點(diǎn)O到直線AB的距離d＝eq\f(t2＋\f(1,2),\r(t2＋1))..設(shè)△AOB的面積為S(t)，得S(t)＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋2)≤eq\f(\r(2),2)(當(dāng)且僅當(dāng)t2＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立)即△AOB面積的最大值為eq\f(\r(2),2).題9(2016年高考江蘇卷理科第19題)如圖所示