2023年全國乙卷文科數(shù)學(xué)高考試卷(原卷+答案)

絕密★啟用前

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）

（適用地區(qū)：內(nèi)蒙古、江西、河南、陜西、匕肅、青海、寧夏、新疆）

文科數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案書寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題

1.∣2+i2+2i3∣=（）

A.1B.2C.√5D.5

設(shè)全集集合則（）

2.U={0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,l,6},MUcUN=

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為（）

A.24B.26C.28D.30

TT

4.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是α,仇c,若αcos8-反OSA=C,且C=^,則NB=()

ππ3萬2π

A.—B.—C.—D.—

105105

5.已知f(x)=是偶函數(shù)，則α=（)

eαλ-l

A.-2B.-1C.1D.2

6.正方形ABC。的邊長是2,E是AB的中點，則EC?ED=（）

A.√5B.3C.2√5D.5

7.設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域{（x,y）∣l≤∕+y2≤4}內(nèi)隨機取一點，記該點為力,則直線的

TT

傾斜角不大于二的概率為（）

8.函數(shù)/(x)=?√+αx+2存在3個零點，則ɑ的取值范圍是()

A(-8,-2)B.(-∞,-3)C.(-4,-1)D.3,0)

9.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽

到不同主題概率為()

10.已知函數(shù)/（x）=sin"υx+°）在區(qū)間

條相鄰對稱軸，則TTyj=()

A--B.--C.?D.3

2222

11.已知實數(shù)x,y滿足爐+》2-4%-2丁一4=0,則％-37最大值是()

A.1+述B.4C.1+3夜D.7

2

12.設(shè)48為雙曲線χ2-3l=i上兩點，下列四個點中，可為線段48中點的是()

A.(1,1)B,-1,2c.(1,3)D.(-1,-4)

二、填空題

13.已知點在拋物線C：y2=2px±.,則4到C的準線的距離為.

（兀、1

14.若6∈∣0,-,tan。=—,貝IJSine-COSe=.

I2）2

Λ-3J≤-1

15.若X,y滿足約束條件<x+2y≤9,則z=2x-y的最大值為.

3x+γ>7

16.已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，AABC是邊長為3的等邊三角形，SA_L平面ABC,則SA=

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同

的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮

率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為不，χ.(∕=l,2,???,10).試驗結(jié)果如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率%545533551522575544541568596548

伸縮率y.536527543530560533522550576536

記Zj=Xj-X(i=1,2,…,10),記4*2,…,ZHJ的樣本平均數(shù)為)，樣本方差為一.

⑴求W.S2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

—,則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則

10

不認為有顯著提高)

18.記5“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知的=11,%=40.

(1)求｛4｝的通項公式：

(2)求數(shù)列｛∣4∣｝的前"項和Z,.

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，ABlBC,AB=2,BC=2√2-PB=PC=瓜BP,AP,BC的中點分

別為Q,E,。，點F在AC上，BFlAO.

A

(1)求證：EE〃平面AOO；

(2)若NPOP=I20。，求三棱錐P-ABC的體積.

3/16

20.已知函數(shù)/(X)=『+aln(l+x).

?x√

(I)當(dāng)a=T時，求曲線y=∕(x)在點(IJ(X))處的切線方程.

(2)若函數(shù)/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

21.已知橢圓。：4+捺=1(?！?〉0)的離心率是點A(-2,0)在C上.

(1)求。的方程；

(2)過點(—2,3)的直線交。于P,。兩點，直線AP,AQ與軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的中點

為定點.

【選修4-4】(10分)

22.在直角坐標系X0y中，以坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為

./兀C兀、x=2cosaτt

p=2sιn0z-≤θ＜-?,曲線C2:?C.（a為參數(shù)，一＜a＜兀）.

[42）y=Isma2

(1)寫出Cl的直角坐標方程;

(2)若直線V=X+機既與G沒有公共點，也與。2沒有公共點，求加的取值范圍.

【選修4-5](10分)

23已知/（尤）=2,|+卜一2|.

4/16

(1)求不等式/(x)≤6-x的解集；

f(x)≤y

(2)在直角坐標系Xoy中，求不等式組J；八所確定的平面區(qū)域的面積.

x+y-6≤0

5/16

參考答案

1.【答案】C

【詳解】由題意可得2+i?+2i3=2—l—2i=l—2i，則∣2+i?+2i?卜卜2i∣=Jj+(_27=也

故選：C.

2.【答案】A

【詳解】由題意可得LN={2,4,8},則MJQN={0,2,4,6,8}.故選：A.

3.【答案】D

【詳解】如圖所示，在長方體ABeD—AAGO中，AB=BC=2,AA1=3,

點H,I,J,K為所在棱上靠近點Bl,Cl,D,,Λ1的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點，

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABeQ-A∣B∣G"去掉長方體。N∕C∣-LM"4之后所得的幾何體,

/ι__________Ol

∕/zo/I

該兒何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形,

其表面積為:2χ(2χ2)+4χ(2χ3)-2χ(lχl)=30.故選：D.

4.【答案】C

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-SinBcosA=SinC,

即sinAcosB-sinBcosA=Sin(A+3)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得SinBeOSA=0,由于B∈(0,兀)，故sin8〉0,據(jù)此可得CoSA=O,4=],

TTπ3π

則8=兀一A—C=兀一^一士=竺.故選：C.

251()

5.【答案】D

【詳解】因為=為偶函數(shù)，則〃司_/(_司=—≤一一W)e''口=。,

e-1QM—1cax_1Q,ιυt_1

又因為X不恒為0,可得e*_e(j)X=0，即e、=e("f*，則x=(α-l)x,即l=a-1,解得α=2.

故選：D.

6.【答案】B

6/16

【詳解】以｛A8,AO｝為基底向量，可知網(wǎng)=k4=2,A月?AO=0,

則EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=--AB+AD，

22

所以EC?EZ)=(;A分+AD?^-^AB+AΣ)｝=-^AB2+Aiy=—1+4=3；

7.【答案】C

【詳解】因為區(qū)域｛(x,y)∣l≤∕+y2≤4*7^θ(0,0^4,外圓半彳仝R=2,內(nèi)圓半價r=1的圓環(huán),

πTT

則直線OA的傾斜角不大于二的部分如陰影所示，在第?象限部分對應(yīng)的圓心角NMON=:,

44

結(jié)合對稱性可得所求概率3πx4?.

rp=-------=——

3π4

故選：C.

8.【答案】B

【詳解】f(x)=x3+ax+2,則/'(X)=3/+4,

若J(X)要存在3個零點,則〃力要存在極大值和極小值,則“<0,

9.【答案】A

【詳解】用1,2,3,4,5,6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結(jié)果如下表:

7/16

乙

123456

甲

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36個不同結(jié)果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結(jié)果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6個,

305

因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個，概率P===7.

366

10.【答案】D

【詳解】因為/(x)=sin(3x+e)在區(qū)間

T2TTTTTT2,71

所以一=------=—,且①〉0,則T=π,w=-=2,

2362T

當(dāng)X=工時?，/(尤)取得最小值，則2?工+e=2E—二，Z∈Z,

662

則夕=2E—2,kwZ,不妨取女=0,則/(x)=SinRx—當(dāng))，則/—2]=Sin(—2]=且,

6I612JI3J2

11.【答案】C

【詳解］令x-y=%,則X=左+y,代入原式化簡得29+(2&-6)y+^-4"4=0,

因為存在實數(shù)九則r0,B[J(2?-6)2-4×2(?2-4?-4)≥O,

化簡得女2一2左一17≤0,解得1—3五≤Z≤l+3五，故》一》的最大值是30+1，

12.【答案】D

X+*2X+%'

【詳解】設(shè)Aa,yj,5(%2,%),則AB的中點M

2'2,

一+%

可得L=―，%=--=江&，

xλ-X2X+/%+%2

2

8/16

x2_Zt-l

?l—?2222

9，兩式相減得？牙所以

因A,B在雙曲線上，則《2-2=0,bp?Z=±^?=9.

Xo——=11

■9

對于選項A：可得Z=1,%A8=9,則A8:y=9x-8,

y=9x-8

2

聯(lián)立方程〈2V，消去y得72f—2X72X+73=0,

X-----=1

9

此時Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<O,

所以宜線/8與雙曲線沒有交點，故A錯誤;

995

對■于選項B：可得攵=-2,ZA8=-/,則AB=y=-∕X-?∣

95

—X——

)=22

聯(lián)立方程〈2，消去y得45i+2χ45尤+61=()，

X2上=1

9

此時A=(2x45『-4χ45χ61=-4χ45χl6<O,

所以直線/8與雙曲線沒有交點，故B錯誤;

對于選項C：可得Z=3,%AB=3,則AB:y=3x

由雙曲線方程可得α=Lb=3,則AB:y=3%為雙曲線的漸近線,

所以直線/8與雙曲線沒有交點，故C錯誤;

97

y=—X——

o9744

對于選項D：k=4,kAB=二,則=：X-聯(lián)立方程，2,消去y得63/+126x793=0，

444

X2.2-=?

9

此時A=1262+4χ63χl93>0,故直線與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.

9

13【答案，

【詳解】由題意可得：（右）「=2pxl,則2〃=5,拋物線的方程為丁2=5%,

、

。，點A到C的準線的距離為1一（一3599

準線方程為無=:"故答案為：a

4I47

14.【答案】—好

5

SIne1E八八.八

【詳解】因為6e0,-∣I,則sin?>。,cos8>0,又因為tan。=——-=-?則COSe=2sιn6,

cos"2

9/16

且COS2e+sin?8=4si∏2e+sin?e=5sin?6=1，解得Sine=走或Sine=-好（舍去）,

55

所以Sine-COSe=Sine—2sin6=-Sine=故答案為：-?^-

55

15.【答案】8

【詳解】作出可行域如下圖所示：z^2x-y,移項得y=2x-z,

x-3y=-]x=5

聯(lián)立有《，解得〈C

x+2y=9Iy=2

設(shè)A(5,2),顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過點A,此時截距-z最小，則Z最大，代入得z=8,

故答案為：8.

16.【答案】2

【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SMN-ABC,設(shè)乙45。的外接圓圓心為O∣,半徑為，1

2.=Ag=J=2￡

則sinZACB?/?,可得r=G，

T

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接OA,OO1,則OA=2,001=∣SA.

因為。A?=。。；+GA?,即4=3+4SA2,解得SA=2.故答案為：2.

4

17.【答案】（1）Z=Il,52=61;

(2)認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【小問1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548

X=--------------------------------------------------------------------=552.3,

10

10/16

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536C

y==541.39

10

z=x-y=552.3-541.3=11,Zi=Xi-X的值分別為:9,6,8,—8,15,11,19,18,20,12,

痂_(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-H)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

∏AS2==OI

10

【小問2詳解】

??=2√6J^=√244-故有522,第l2，

由(1)知:5=11,2.

所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

14n-∕72,n≤7

18.【答案】(1)%=15—2〃(2)Tn=<

n2一14"+98,"≥8

【解析】

【小問1詳解】

%=4+d=11

al+d=11a1=13

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意可得《即＜[2q+9d=8'解得I

S10=IO^i+?-^—d—40d=—2

所以?！?13-2(〃-1)=15-2〃,

【小問2詳解】

〃（小於一2〃L4〃一,

因為5“=

2

令。〃=15—2〃>。，解得〃<￡■,且〃∈N*,

當(dāng)〃≤7時,則力.>0,可得+同卜---FIaJ=q+4<-----卜=5〃=14〃—π2；

當(dāng)〃≥8時，則<。，可得騫=同+,2卜---F?an?=(α1+α24-----Ftz7)-(?H----卜凡)

222

=S7-(S,,-S7)=2S7-S,,=2(14×7-7)-(14n-n)=n-14n+98i

↑4n-n2,n≤7

綜上所述：TM=

H2-14∕I+98,H≥8

證明見解析（2）2也

19.【答案】（1）

3

【解析】

【小問1詳解】

連接?！?0尸，設(shè)AT7=MC,則/=M+衣=(1—r)加+r6C,AO=-Bλ+^BC,BFLAO,

11/16

121

則BF-AO=[(1一f)BA+1BC]-(-BA+1BQ=(Z-I)BA+~tBC92=4。-1)+4f=O,

22

解得，=L則F為AC的中點，由。,E,0,尸分別為尸B,PABC,AC的中點，

2

于是DEHAB,DE^-AB,OF/∕AB,OF^-AB,即DEHOF,DE=OF,

22

則四邊形OOEF為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又Ma平面ADO,。。U平面AD。，所以EF//平面A。。.

【小問2詳解】

過P作PM垂直尸。的延長線交于點M,因為PB=Pe,。是BC中點，所以PolBC,

在RtZ?P50中，PB=瓜Bo=MBC=O,所以PO=IPB2-OB?76-2=2,

因為A3,BC,0E∕/AB,所以。又POCoF=O,PO,。FU平面尸OF,

所以BCI平面POF,又PMU平面POF,

所以又8C∏FM=O,BC,EMu平面ABC,所以PML平面A8C,

即三棱錐P-ABC的高為PM,

因為NPoF=I20。，所以NPOM=60°,

所以PM=PoSin600=2χ且=G，

2

又S/=gAB?BC=gx2x2θ=26，所以LYBC=45人或?PM=Jx2√5x百=邛

/N???

【解析】

【小問1詳解】

當(dāng)α=-l時，/(x)=]-i]]n(x+l)(x>-l),則/(χ)=--y×ln(x+l)+f^-lj×-

IXjXIXJX+1

據(jù)此可得/(1)=。,f(l)=_ln2,

12/16

所以函數(shù)在(IJ(I))處的切線方程為y-0=Tn2(x-l),Bp(ln2)x+γ-ln2=0.

【小問2詳解】

由函數(shù)的解析式可得/"(x)=(--y∣ln(%+l)+∣?+0×-?-(%>-l),

滿足題意時r(%)≥0在區(qū)間(o,+“)上恒成立.

令(--ζ-^ln(x+l)+—+a—^-j-≥0,則一(X+1)In(X+1)+(^+/)20,

令g(x)=α?+尤-(X+1)In(X+1),原問題等價Tg(X)≥0在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

則g'(x)=2αx-In(X+1),

當(dāng)a≤0時，由于2αr≤0,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞減,

此時g(x)<g(0)=0,不合題意；

令〃(x)=g'(x)=2αr-ln(x+l),則〃(X)=2a———,

當(dāng)“≥L2/1時，由于」一<1,所以〃'(%)〉0,力(%)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

2x+1

即g'(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'⑼=0，g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,滿足題意.

當(dāng)O<α<L時?，由/(X)=2α——J-=O可得X=——1,

2x+12a

當(dāng)Xe(O—D時，"(x)<0,MX)在區(qū)間(0,或一1上單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞減，

注意到g'(0)=0,故當(dāng)Xe(O,卷一D時，g'(x)<g'(())=(),g(x)單調(diào)遞減，

由于g⑼=。，故當(dāng)χe1°,(τ］時，g(?r)<g(°)=°,不合題意.

綜上可知：實數(shù)°得取值范圍是{α∣αzg}.

22

21.【答案】(1)乙+±=1(2)證明見詳解

94

【解析】

【小問1詳解】

13/16

b=2a=322

由題意可得=b2+C2解得%=2所以橢圓方程為匕+三=1.

94

c=?/?

a3

【小問2詳解】

由題意可知:直線尸Q的斜率存在,設(shè)PQ:y=Mx+2）+3,P（%，M）,Q（X2，y2），

V=MX+2)+3

2

聯(lián)立方程Vy2x,消去V得：(4〃+9)/+8左(2&+3)x+16(左2+3Z)=0,

----1----=1

94

2

則△=64公(2Z+3)2-64(4公+9)(?+3?)-1728?>0,解得火<0,

可得一』W/學(xué)’

因為A(-2,0),則直線4Ry=T^(x+2),

令X=0,解得y=G?,即M[O,二?],同理可得N(O,-?],

X1+2IXl+2jx2+l)

2y∣2%

則x∣+2-+2_兇內(nèi)+2)+3]兇工2+2)+3]

2x1+2x2+2

[何+(2A+3)](w+2)+[^r2÷(2^+3)](x1+2)1kxλx1+(4Zs+3)(x∣+%)+4(22+3)

(ΛI+2)(X2+2)XIX2+2(XI+X2)+4

3"、弘)一帆4絲)(2E)108

=4公+94X+9`)」08一

16(?2+3?)16k(2"+3)+436

4?2+94公+9T

所以線段MN的中點是定點(0,3).

2

22.【答案】(1)√+(j-l)=l,χ∈[0,l],y