2023屆山東省墾利區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2023年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.若分式」一有意義，則x的取值范圍是（）

x-3

A.x>3B.x<3C.x#3D.x=3

2.（-1）°+|-1|=（）

A.2B.1C.0D.-1

3.在1—7月份，某種水果的每斤進(jìn)價(jià)與出售價(jià)的信息如圖所示，則出售該種水果每斤利潤(rùn)最大的月份是（

小W元

11

19

￡■

S

7

6,

5

4

3

2

1

_I1111111>

012345678為月份

A.3月份B.4月份C.5月份D.6月份

4.如圖，直線a,b被直線c所截，下列條件不能判定直線a與b平行的是（）

A.Z1=Z3B.Z2+Z4=180°C.Z1=Z4D.N3=N4

5.在京口40口4的空格□中，任意填上“+”或在所有得到的代數(shù)式中，能構(gòu)成完全平方式的概率是（）

A.1B.-C.-D.-

S3

6.如圖，實(shí)數(shù)-3、小3、y在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N、P、Q,這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最小的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（）

VNPQ

―?------?~~?-----------?-------?->

-3x03y

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)PD.點(diǎn)0

7.若x,y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則下列分式的值保持不變的是()

2+x2y2

A.C.支D.

工一〉3x2(x-y)2

8.方程/-3x+2=()的解是()

A.Xi=l,X2=2B.xi=--1,X2=-2

C.X1=1,X2=-2D.xi=■-1,X2=2

9.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下面式子中正確的是()

①bVOVa；(2)|b|<|a|；③ab>0；④a-b>a+b.

—1--------1------1--------->

h0a

A.①②B.①④C.②③D.③④

10.如圖是由5個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的俯視圖是()

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11,尺規(guī)作圖：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線.

己知：如圖，直線/與直線/外一點(diǎn)P.

求作：過(guò)點(diǎn)尸與直線/平行的直線.

作法如下：

(1)在直線/上任取兩點(diǎn)A、B,連接AP、BPx

(2)以點(diǎn)8為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)尸為圓心，A3長(zhǎng)為半徑作弧，如圖所示，兩弧相交于點(diǎn)M；

(3)過(guò)點(diǎn)P、M作直線；

(4)直線PM即為所求.

請(qǐng)回答：PM平行于/的依據(jù)是

12.已知二次函數(shù)丫=一*2+2*+（:的部分圖象如圖所示，則。=；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小.

13.若向北走5km記作-5km,則+10km的含義是.

14.如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是。O的內(nèi)接多邊形，則NBOM=.

15.如圖，AAOB是直角三角形，NAO8=90。，OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y='的圖象上.若點(diǎn)8在反比例函

X

數(shù)7=七的圖象上，則A的值為.

X

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧交邊DC于點(diǎn)E,則跖的長(zhǎng)度為

D

三、解答題（共8題，共72分）

k

17.（8分）如圖，已知反比例函數(shù)％二—和一次函數(shù)必=公+1的圖象相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

x

為1.過(guò)點(diǎn)A作ABJLx軸于點(diǎn)B,AAOB的面積為1.

求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.若一次函數(shù)%=依+1的圖象與X軸相交于

點(diǎn)C,求NACO的度數(shù).結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)必＞%＞。時(shí)，x的取值范圍.

18.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,6）,點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、

A不重合），連接CP,過(guò)點(diǎn)P作PEJ_CP交AB于點(diǎn)D,且PE=PC,過(guò)點(diǎn)P作PF_LOP且PF=PO（點(diǎn)F在第一象

（1）直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）：；

（2）四邊形BFDE的面積記為S,當(dāng)t為何值時(shí)，S有最小值，并求出最小值；

（3）ABDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，說(shuō)明理由.

19.（8分）學(xué)了統(tǒng)計(jì)知識(shí)后，小紅就本班同學(xué)上學(xué)“喜歡的出行方式”進(jìn)行了一次調(diào)查，圖（1）和圖（2）是她根據(jù)采

集的數(shù)據(jù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息解答以下問(wèn)題：

（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算出“騎車”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù).

（2）若由3名“喜歡乘車”的學(xué)生，1名“喜歡騎車”的學(xué)生組隊(duì)參加一項(xiàng)活動(dòng)，現(xiàn)欲從中選出2人擔(dān)任組長(zhǎng)（不分正副）,

求出2人都是“喜歡乘車”的學(xué)生的概率，（要求列表或畫樹(shù)狀圖）

20.（8分）如圖，四邊形ABCD,AD〃BC,DC_LBC于C點(diǎn)，AE_LBD于E,且DB=DA.求證：AE=CD.

D

21.（8分）如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過(guò)點(diǎn)

B,C,ZF=30°.

（1）求證：BE=CE

（2）將4EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF,EG分別與AB,BC相交

于點(diǎn)M,N.（如圖2）

①求證：△BEM^ACEN；

②若AB=2,求ABMN面積的最大值；

③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3）,求sinNEBG的值.

22.（10分）如圖所示，某工程隊(duì)準(zhǔn)備在山坡（山坡視為直線1）上修一條路，需要測(cè)量山坡的坡度，即tana的值.測(cè)

量員在山坡P處（不計(jì)此人身高）觀察對(duì)面山頂上的一座鐵塔，測(cè)得塔尖C的仰角為37。，塔底B的仰角為26.6。.B

知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=2（M）米，圖中的點(diǎn)O、B、C、A、P在同一平面內(nèi)，求山坡的坡度.（參

考數(shù)據(jù)sin26.6°=0.45,tan26.6°~0.50；sin37°~0.60,tan37°~0.75）

23.（12分）為做好防汛工作，防汛指揮部決定對(duì)某水庫(kù)的水壩進(jìn)行加高加固，專家提供的方案是：水壩加高2米（即

CD=2米），背水坡DE的坡度i=l：1（即DB：EB=1：1）,如圖所示，已知AE=4米，ZEAC=130°,求水壩原來(lái)的

高度BC.（參考數(shù)據(jù)：sin50°=0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.2）

24.如圖，一次函數(shù)y=Ax+b與反比例函數(shù)y=9（x>0）的圖象交于A（.in,6）,

X

B（3,n）兩點(diǎn).求一次函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)圖象直接寫出kx+b-9>0的x的取值范圍；求AAOB的面積.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、C

【解析】

試題分析：?.?分式一--有意義，，x,3；故選C.

x—3

考點(diǎn)：分式有意義的條件.

2、A

【解析】

根據(jù)絕對(duì)值和數(shù)的0次第的概念作答即可.

【詳解】

原式=1+1=2

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值和數(shù)的0次嘉，解題關(guān)鍵是熟記數(shù)的0次第為1.

3^B

【解析】

解：各月每斤利潤(rùn)：3月：7.5-4.5=3元，

4月：6-2.5=3.5元，

5月：4.5-2=2.5%,

6月：3-1.5=1.5元，

所以，4月利潤(rùn)最大，

故選B.

4、D

【解析】

試題分析：A.；.a〃b,故A正確；

B.VZ2+Z4=180°,Z2+Zl=180°,；.N1=N4,VZ4=Z3,.\Z1=Z3,；.a〃b,故B正確；

C.VZ1=Z4,N4=N3,；.N1=N3,；.a〃b,故C正確；

D.N3和N4是對(duì)頂角，不能判斷a與b是否平行，故D錯(cuò)誤.

故選D.

考點(diǎn)：平行線的判定.

5、B

【解析】

試題解析：能夠湊成完全平方公式，則4a前可是也可以是“+”，但4前面的符號(hào)一定是：“+”，

此題總共有（-,-）、（+,+）、（+,-）、（-,+）四種情況，能構(gòu)成完全平方公式的有2種，所以概率是，.

.

故選B.

考點(diǎn)：1.概率公式；2.完全平方式.

6、D

【解析】

?.?實(shí)數(shù)-3,x,3,y在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N、P、Q,

...原點(diǎn)在點(diǎn)M與N之間，

這四個(gè)數(shù)中絕對(duì)值最大的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是點(diǎn)Q.

故選D.

7、D

【解析】

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，x,y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，求出每個(gè)式子的結(jié)果，看結(jié)果等于原式的即是答案.

【詳解】

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可知若x,y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，

2+3工2+x

A、--「——，錯(cuò)誤;

3x-3yx-y

整玲，錯(cuò)誤；

9x2x2

54y32y3

—勺工―v,錯(cuò)誤；

27/3/

18/2/

正確

9(x-?(］一?，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式的基本性質(zhì)，即分子分母同乘以一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變.此題比較簡(jiǎn)單，但計(jì)算時(shí)一定要

細(xì)心.

8、A

【解析】

將方程左邊的多項(xiàng)式利用十字相乘法分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為()轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元

一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.

【詳解】

解：原方程可化為：(x-1)(x-1)=0,

??X1=1>Xl=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時(shí)首先將方程右邊化為0,左邊的多項(xiàng)式分解因式化為積

的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為()，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解.

9、B

【解析】

分析：本題是考察數(shù)軸上的點(diǎn)的大小的關(guān)系.

解析：由圖知，b<O<a,故①正確，因?yàn)閎點(diǎn)到原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)，所以⑸>|叫故②錯(cuò)誤，因?yàn)槌?”,所以故③錯(cuò)

誤，由①知a-6>“+〃，所以④正確.

故選B.

10、A

【解析】

分析：根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

詳解：從上面看第一列是兩個(gè)小正方形，第二列是一個(gè)小正方形，第三列是一個(gè)小正方形，

故選：A.

點(diǎn)睛：本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對(duì)邊平行；兩點(diǎn)確定一條直線.

【解析】

利用畫法得到BM=PA,則利用平行四邊形的判定方法判斷四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)2平行

四邊形的性質(zhì)得到PM//AB.

【詳解】

解：由作法得BM=PA,

二四邊形ABMP為平行四邊形，

：.PM//AB.

故答案為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形對(duì)邊平行；兩點(diǎn)確定一條直線.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；

作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）.也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).

12、3,>1

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，可求出c的值，根據(jù)圖象可判斷函數(shù)的增減性.

【詳解】

解：因?yàn)槎魏瘮?shù)y=-x2+2x+c的圖象過(guò)點(diǎn)（3,0）.

所以—9+6+c=0,

解得c=3.

由圖象可知：X>1時(shí)，y隨X的增大而減小.

故答案為⑴.3,(2).>1

【點(diǎn)睛】

此題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合法是解決函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常采用的一種方法，關(guān)鍵是要找出圖象與函數(shù)解析式之

間的聯(lián)系.

13、向南走10km

【解析】

分析：與北相反的方向是南，由題意，負(fù)數(shù)表示向北走，則正數(shù)就表示向南走，據(jù)此得出結(jié)論.

詳解：：向北走5km記作-5km,

+10km表示向南走10km.

故答案是：向南走10km.

點(diǎn)睛：本題考查對(duì)相反意義量的認(rèn)識(shí)：在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定一個(gè)為正數(shù)，則另一個(gè)就要用負(fù)數(shù)表示.

14、48°

【解析】

連接OA,分別求出正五邊形ABCDE和正三角形AMN的中心角，結(jié)合圖形計(jì)算即可.

【詳解】

連接OA,

??,五邊形ABCDE是正五邊形,

VAAMN是正三角形，

,,360°

AZAOM=-------=120°,

3

:.ZBOM=ZAOM-ZAOB=48°,

故答案為480.

點(diǎn)睛：本題考查的是正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

15、-2

【解析】

要求函數(shù)的解析式只要求出B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以，過(guò)點(diǎn)A,B作AC，x軸，BD_Lx軸，分別于C,D.根據(jù)條件得到

△ACO^AODB,得至!|：—=1,然后用待定系數(shù)法即可.

OCACOA

【詳解】

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m,n）,貝!JAC=n,OC=m.

VZAOB=90°,

AZAOC+ZBOD=90°.

VZDBO+ZBOD=90°,

AZDBO=ZAOC.

VZBDO=ZACO=90°,

/.△BDO^AOCA.

?BD_OD_OB

t9OC^AC~OA9

VOB=1OA,

ABD=lm,OD=ln.

2

因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)y二一的圖象上，

x

:.mn=l.

?.?點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=&的圖象上，

x

，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-In,1m).

k=-1n?1m=-4mn=-2.

故答案為-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)(用

含n的式子表示)是解題的關(guān)鍵.

16、京

【解析】

試題解析：連接AE,

在Rt三角形ADE中，AE=4,AD=2,

ZDEA=30°,

VAB/7CD,

/.ZEAB=ZDEA=30°,

MI/4上30)x42

??BE的長(zhǎng)度為：.~

1oUJ

考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算.

三、解答題(共8題，共72分)

2

17、(1)y?=—；y2=x+l；(2)ZACO=45°；(3)0<x<l.

X

【解析】

(l)根據(jù)△AOB的面積可求AB,得A點(diǎn)坐標(biāo).從而易求兩個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，在△ABC中運(yùn)用三角函數(shù)可求NACO的度數(shù)；

(3)觀察第一象限內(nèi)的圖形，反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上面部分對(duì)應(yīng)的x的值即為取值范圍.

【詳解】

⑴「△AOB的面積為1,并且點(diǎn)A在第一象限，

2

k=2,/.y?=—；

x

??,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

AA(1,2).

把A(l,2)代入y2=ax+l得，a=l.

Ay2=x+l.

⑵令y2=0,0=x+l,

:.x=-l,

AC(-l,0).

.,.OC=1,BC=OB+OC=2.

.,.AB=CB,

:.ZACO=45°.

(3)由圖象可知，在第一象限，當(dāng)y>>y2>()時(shí)

在第三象限，當(dāng)y?>y2>0時(shí),T〈xvO(舍去).

【點(diǎn)睛】

此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解答.

18、(1)、(t+6,t)；(2)、當(dāng)t=2時(shí)，S有最小值是16；(3)、理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EG_Lx軸于點(diǎn)G,則NCOP=NPGE=90。，

由題意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t,VPE1CP,PF1OP,

ZCPE=ZFPG=90°,即NCPF+NFPE=NFPE+NEPG,AZCPF=ZEPG,

又；CO_LOG、FP±OG,ACOZ/FP,/.ZCPF=ZPCO,/.ZPCO=ZEPG,

在APCO和AEPG中，VZPCO=ZEPG,ZPOC=ZEGP,PC=EP,AAPCO^AEPG(AAS),

.,.CO=PG=6>OP=EG=t,貝|OG=OP+PG=6+t,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t+6,t),

,、ADPAAD4T

(2)VDA/7EG,/.△APAD^APGE,:.——=——，：.——=------，

GEPGt6

.,.AD=-t(4-t),

6

11,2

/.BD=AB-AD=6--t(z4-t)=-t2--t+6,

663

：EG_Lx軸、FP_Lx軸，且EG=FP,

二四邊形EGPF為矩形，/.EF±BD,EF=PG,

S四邊形BEDF=SABDF+SABDE=—xBDxEF=—x(-12--1+6)x6=—(t-2)2+16>

22632

...當(dāng)t=2時(shí)，S有最小值是16；

(3)①假設(shè)NFBD為直角，則點(diǎn)F在直線BC上，

VPF=OP<AB,

.,?點(diǎn)F不可能在BC上，即NFBD不可能為直角；

②假設(shè)NFDB為直角，則點(diǎn)D在EF上，

■:點(diǎn)D在矩形的對(duì)角線PE上，

二點(diǎn)D不可能在EF上，即NFDB不可能為直角；

③假設(shè)NBFD為直角且FB=FD,則NFBD=NFDB=45。，

如圖2,作FHLBD于點(diǎn)H,

則FH=PA,即4-t=6-t,方程無(wú)解，

二假設(shè)不成立，即ABDF不可能是等腰直角三角形.

19、(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析；“騎車”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為108。；(2)2人都是“喜歡乘車”的學(xué)生的概率

為?

【解析】

(1)從兩圖中可以看出乘車的有25人，占了50%,即可得共有學(xué)生50人；總?cè)藬?shù)減乘車的和騎車的人數(shù)就是步行

的人數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)全直方圖即可；要求扇形的度數(shù)就要先求出騎車的占的百分比，然后再求度數(shù)；(2)列出從這4

人中選兩人的所有等可能結(jié)果數(shù)，2人都是“喜歡乘車”的學(xué)生的情況有3種，然后根據(jù)概率公式即可求得.

【詳解】

(1)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為25?50%=50人；

則步行的人數(shù)為50-25-15=10人；

如圖所示條形圖，

“騎車”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)=否x3600=108。；

(2)設(shè)3名“喜歡乘車”的學(xué)生表示為4、8、C,1名“喜歡騎車”的學(xué)生表示為O,

貝！I有A3、AC、AD,BC、BD、CO這6種等可能的情況，

其中2人都是“喜歡乘車”的學(xué)生有3種結(jié)果，

所以2人都是“喜歡乘車”的學(xué)生的概率為1.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.

20、證明見(jiàn)解析.

【解析】

由AD〃BC得NADB=NDBC,根據(jù)已知證明△AED^^DCB(AAS)，即可解題.

【詳解】

解：VAD#BC

.,.ZADB=ZDBC

,.，DCJ_BC于點(diǎn)C,AE_LBD于點(diǎn)E

.,.ZC=ZAED=90°

又；DB=DA

/.△AED^ADCB(AAS)

.??AE=CD

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，證明三角形全等是解題關(guān)鍵.

21、(1)詳見(jiàn)解析；(1)①詳見(jiàn)解析；②1；③■+

4

【解析】

(1)只要證明△BAEgZ\CDE即可；

(1)①利用(1)可知AEBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；

②構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

③如圖3中，作EH_LBG于H.設(shè)NG=m,則BG=lm,BN=EN=J^m,EB="m.利用面積法求出EH,根據(jù)三

角函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題.

【詳解】

(1)證明：如圖1中，

G

圖1

?.?四邊形ABCD是矩形，

.?,AB=DC,ZA=ZD=90°,

TE是AD中點(diǎn)，

；.AE=DE,

.,.△BAE^ACDE,

.*.BE=CE.

(1)①解：如圖1中，

由(1)可知，△EBC是等腰直角三角形,

.".ZEBC=ZECB=45°,

VZABC=ZBCD=90°,

.,.ZEBM=ZECN=45°,

VZMEN=ZBEC=90o,

...NBEM=NCEN,

VEB=EC,

.".△BEM^ACEN；

@VABEM^ACEN,

.,.BM=CN,設(shè)BM=CN=x,則BN=4-x,

SABMN=—,x(4-x)=-—(x-1)1+l,

22

I

V--<0,

2

...x=l時(shí)，ABMN的面積最大，最大值為1.

③解：如圖3中，作EH_LBG于H.設(shè)NG=m,貝！］BG=lm,BN=EN=&m,EB="m.

EG=m+^3m=(1+G)m,

11

VSABEG=-?EG?BN=-?BG?EH，

22

.??+\Tm3+6

..EH=-----------------------=---------m,

2m2

3+一

在RtAEBH中，sinZEBH=EH__工”,_瓜+聲.

EB>/6m4

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三

角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，

1

22、一

2

【解析】

過(guò)點(diǎn)P作PD±OC于D,PE±OA于E,則四邊形ODPE為矩形，先解RtAPBD,得出BD=PD?tan26.6°；解RtACBD,

得出CD=PD?tan37。；再根據(jù)CD-BD=BC,列出方程，求出PD=2,進(jìn)而求出PE=4,AE=5,然后在△APE中利用

三角函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PDLOC于D,PELOA于E,則四邊形ODPE為矩形.

在RtAPBD中，VZBDP=90°,ZBPD=26.6°,

.".BD=PD?tanZBPD=PD?tan26.6°.

在RtACBD中，VZCDP=90°,ZCPD=37°,

:.CD=PD*tanZCPD=PD?tan37°.

VCD-BD=BC,:.PD*tan370-PD*tan26.6°=l.

A0.75PD-0.50PD=l,解得PD=2.

:.BD=PD*tan26.6°^2x0.50=3.

VOB=220,APE=OD=OB-BD=4.

VOE=PD=