數(shù)學建模的一般步驟和案例

建模是一種十分復雜的創(chuàng)造性勞動，現(xiàn)實世界中的事物形形色色，五花八門，不可能用一些條條框框規(guī)定出各種模型如何具體建立，這里只是大致歸納一下建模的一般步驟和原則：模型準備：首先要了解問題的實際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息．模型假設：為了利用數(shù)學方法，通常要對問題做必要的、合理的假設，使問題的主要特征凸現(xiàn)出來，忽略問題的次要方面。模型構成：根據(jù)所做的假設以及事物之間的聯(lián)系，構造各種量之間的關系。（查資料得出數(shù)學式子或算法）第一頁第二頁，共28頁。模型求解：利用已知的數(shù)學方法來求解上一步所得到的數(shù)學問題，此時往往還要作出進一步的簡化或假設。注意要盡量采用簡單的數(shù)學工具。模型分析：對所得到的解答進行分析，特別要注意當數(shù)據(jù)變化時所得結果是否穩(wěn)定。模型檢驗：分析所得結果的實際意義，與實際情況進行比較，看是否符合實際，如果不夠理想，應該修改、補充假設，或重新建模，不斷完善。模型應用：所建立的模型必須在實際應用中才能產(chǎn)生效益，在應用中不斷改進和完善第二頁第三頁，共28頁。數(shù)學建模的主要過程：實際問題抽象、簡化、明確變量和參數(shù)根據(jù)某種“定律”或“規(guī)律”建立變量和參數(shù)間的一個明確的數(shù)學關系（數(shù)學問題，或稱為在此簡化階段上的一個數(shù)學模型）解析地或近似地求解該數(shù)學問題解釋、驗證投入使用通過通不過第三頁第四頁，共28頁。A題儲油罐的變位識別與罐容表標定通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為

=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度

和橫向偏轉角度

）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。第四頁第五頁，共28頁。..\Desktop\2010A\cumcm2010A.doc第五頁第六頁，共28頁。好的假設：1、模型建立過程中不考慮儲油罐的腐蝕磨損情況。2、本模型中把計算出的儲油罐的容積近似為儲油量。3、數(shù)據(jù)是儲油罐的內(nèi)壁參數(shù)。4、忽略溫度、壓力對汽油的密度的影響。5、儲油罐在偏移的過程中，油位探針始終與油罐底面垂直。6、對臥式儲油罐來說，不考慮其長期埋在地下所發(fā)生的蠕變。7、累加進出油量數(shù)據(jù)是準確可靠的。不好的假設：由于理論儲油量與實際儲油量存在差異，可把這個差值與油位高擬合出一條曲線，近似看作一些外界因素所導致的誤差，整合到所求關系式中，得到比較精確的模型。

第六頁第七頁，共28頁。理想和現(xiàn)實的比較結果及處理方法1、利用MATLAB擬合此曲線方程，可得：

2、線性回歸方式得到修正系數(shù)

3、計算得到的數(shù)據(jù)與實際測量數(shù)據(jù)吻合較好，相對誤差始終很小，實際數(shù)據(jù)稍小可能是由于探針，進出油罐管道等占一定體積及罐壁厚度造成的，為簡化模型，本文忽略這部分影響。

截面橢圓示意圖xXYh截面橢圓示意圖xXYh截面橢圓示意圖aXYhb一、第一個問題的處理1、無傾斜第七頁第八頁，共28頁。(b)小橢圓油罐截面示意圖α油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小橢圓油罐正面示意圖小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖第八頁第九頁，共28頁。油位計測出的油位高度值罐體低端（下陷端）的油位高度值任意截面的油位高度為2、有傾斜

第九頁第十頁，共28頁。理想和現(xiàn)實的比較結果及處理方法1、利用MATLAB擬合此曲線方程，可得：

2、線性回歸方式得到修正系數(shù)3、計算得到的數(shù)據(jù)與實際測量數(shù)據(jù)吻合較好，忽略這部分影響。第十頁第十一頁，共28頁。二、第二個問題的處理橫向變位后油液面橫向變位前油液面h0hβ圖11儲油罐橫向變位示意圖油位探針1、中間柱體體積的計算變換第十一頁第十二頁，共28頁。容易計算球冠的半徑為1.625m2、球冠體積的計算XY1.625m1mO計算體積可以近似看做高為的球缺的體積，然后分情況討論。第十二頁第十三頁，共28頁。3、計算根據(jù)最小二乘法或曲線的擬合計算出三、說一點該論文的寫作第十三頁第十四頁，共28頁。加油站地下儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因會發(fā)生縱向傾斜及橫向偏轉，導致與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”受到影響，必須重新標定罐容表。本文即針對儲油罐的變位時罐容表標定的問題建立了相應的數(shù)學模型。首先從簡單的小橢圓型儲油罐入手，研究變位對罐容表的影響。在無變位、縱向變位的情況下分別建立空間直角坐標系，在忽略罐壁厚度等細微影響下，運用積分的方法求出儲油量和測量油位高度的關系。將計算結果與實際測量數(shù)據(jù)在同一個坐標系中作圖，經(jīng)計算得誤差均保持在3.5%以內(nèi)。縱向變位中，要分三種情況來進行求解，然后將三段的結果綜合在一起與變位前作比較，可以得到變位對罐容表的影響。通過計算，具體列表給出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。進一步考慮實際儲油罐，兩端為球冠體頂。把儲油罐分成中間的圓柱體和兩邊的球冠體分別求解。中間的圓柱體求解類似于第一問，要分為三種情況。在計算球冠內(nèi)儲油量時為簡化計算，將其內(nèi)油面看做垂直于圓柱底面。根據(jù)幾何關系，可以得到如下幾個變量之間的關系，

測量的油位高度實際的油位高度計算體積所需的高度于是得到罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度

和橫向偏轉角度

）之間的一般關系。再利用附表2中的數(shù)據(jù)列方程組尋找

與

最準確的取值。第十四頁第十五頁，共28頁。本文是一個儲油罐的變位識別與罐容表標定問題，通過對罐體容量的計算，得出罐體的儲油量與油位高度的一個數(shù)學模型。問題一：分別對不變位和變位兩種情況建立模型，然后把理論儲油量與實際儲油量的差別建立一個跟油位高的函數(shù)關系式，整合到理論模型中，減少誤差，從而得出：不變位罐體的儲油量與油位高度的一個數(shù)學模型為：縱向變位4.1°的儲油量與油位高度的一個數(shù)學模型為文章正文中的公式（6）。通過這個我們知道由于油罐發(fā)生變位，使得通過油位高得到的儲油量要比實際儲油量要高。并根據(jù)儲油量與油位高的數(shù)學模型建立不變位和變位4.1°的間隔位1cm的罐容表標定值（見附件）。然后針對一般縱向傾斜，我們分五種情況進行分析，分別得出五種情況下，儲油量與油位高的數(shù)學模型，罐體變位后使得罐容表的結果要比實際儲油量要高。問題二：本文建立了罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度

和橫向偏轉角度

）之間的數(shù)學模型，并由模型確定了附件2中數(shù)據(jù)所對應的傾斜角：并給了此種變位的油位高間隔位10cm的罐容表標定值，并且通過數(shù)據(jù)驗證了我們所建的模型的正確性與穩(wěn)定性。第十五頁第十六頁，共28頁。一、摘要主要寫三個方面：1.解決什么問題（一句話）2.采取什么方法（引起閱卷老師的注意，不能太粗，也不能太細）3.得到什么結果（簡明扼要、生動、公式要簡單、必要時可采用小圖表）第十六頁第十七頁，共28頁。二、假設最關鍵的一步從假設開始。需要下很大功夫，簡明扼要、準確清楚1）假設太多，閱卷老師記不住。要歸結出一些重要的假設，一般3~5條，有些不是很重要的假設在論文適當?shù)牡胤教嵋幌?）假設要數(shù)學化，重視邏輯性要求3）設計好符號，使人看起來清楚第十七頁第十八頁，共28頁。三、建模和求解說明建模的思路（剛剛開始的原始想法，很重要有些簡單的事情往往是最重要的東西，一定要說清楚）一般要求設計2~3個模型（一個簡單的、再對模型進行改進，得到第二個模型，就會生動）推導時，公式若很長，可放在附錄中利用現(xiàn)成的軟件計算模型數(shù)據(jù)討論誤差第十八頁第十九頁，共28頁。B題2010年上海世博會影響力的定量評估

2010年上海世博會是首次在中國舉辦的世界博覽會。從1851年倫敦的“萬國工業(yè)博覽會”開始，世博會正日益成為各國人民交流歷史文化、展示科技成果、體現(xiàn)合作精神、展望未來發(fā)展等的重要舞臺。請你們選擇感興趣的某個側面，建立數(shù)學模型，利用互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)，定量評估2010年上海世博會的影響力。第十九頁第二十頁，共28頁。本題是一道比較開放的題目，同學對問題的理解和所關注的側面（角度）的不同，會導致答卷的多樣性。以下幾點在評閱中值得特別關注：1.影響力的定義，即因素的選定：考慮到3天時間不太可能進行一個全面的影響力分析，如何恰當?shù)剡x擇一個影響力的側面極其相關因素是解題的基本前提。容易考慮到的影響力包括經(jīng)濟、旅游、社會、文化等多個方面，也可以是一個較小的側面（比如表演、自愿者、攝影）。要求有明確具體的定義，要有合理的論證，要有數(shù)據(jù)支撐。2.因素的組織結構模型和有關信息的搜索：因素的相關性、信息的完備性等都是值得注意的問題。鼓勵直接從網(wǎng)絡采集因素數(shù)據(jù)，比如詞匯搜索量、點擊率等等。3.定量建模，數(shù)據(jù)的收集和分析：要注意模型的合理性，注意數(shù)據(jù)之間的可比性與歸一化。鼓勵縱向（時間）和橫向（其它重大事件）的比較。4.科學、直觀地表達結論：結論一般不應該是一個簡單常識。第二十頁第二十一頁，共28頁。一、一個側面案例數(shù)據(jù)來源統(tǒng)計數(shù)據(jù)主要取自《中國旅游年鑒》，統(tǒng)計項目包括入滬游客流總量、外國入滬客流量（包括華僑）、臺灣入滬客流量、港澳入滬客流量4個序列，建模的時間區(qū)段為2004年-2009年（前七個月）

第二十一頁第二十二頁，共28頁。模型-旅游本底趨勢線Tt=At+Ct+St.旅游業(yè)的發(fā)展動態(tài)（Tt）可分解為趨勢項（At）、周期項（Ct）、隨機項（St）三個部分.其中，趨勢項（At）可用直線方程Yt=a+bt或指數(shù)方程Yt=Y0exp(rt)來反應，周期項（Ct）可用三角函數(shù)或邏輯增長函數(shù)Yt=K/(1+exp(c-rt))來反應，隨機項（St）可用隨機時間序列分析中的AR(r)或ARMA(p,q)來模擬。第二十二頁第二十三頁，共28頁。1、入滬客流總量本底趨勢線2、

外國入滬客流量本底線

3、

臺灣入滬客流量本底線

第二十三頁第二十四頁，共28頁。4、

港澳入滬客流量本底線

2010年（前七個月）上海市入境旅游客流量預測外國入境客流量(萬人次)臺灣入境客流量（萬人次）港澳入境客流量（萬人次）入境客流總量（萬人次）2010年預測值291.712639.913435.3846358.66832010年實際值327.650639.968140.4596403.0033上海世博會對各入境旅游客流的影響指標影響值影響率貢獻率外國入境35.938210.97%12.32%臺灣入境0.054720.14%0.14%港澳5.075012.