新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)章末綜合測評2一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用新人教A版選擇性必修第二冊

章末綜合測評(二)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．如果物體的運動方程為s＝1t＋2t(t＞1)，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在2秒末的瞬時速度是(A．74米/秒 B．94米C．32米/秒 D．52米2．若f′(x)＝1x2，則函數(shù)f(x)可以是(A．x-1xC．13x-3 D．ln3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又存在極值的是()A．y＝x2 B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝x＋14．若函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在區(qū)間[－2，－1]上的最大值為2，則它在該區(qū)間上的最小值為()A．－5 B．7C．10 D．－195．已知函數(shù)f(x)＝12x3＋ax＋4，則“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的(A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．已知曲線y＝lnx的切線過原點，則此切線的斜率為()A．e B．－eC．1e D．－7．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20，要使其體積最大，則其高為()A．2033 BC．20 D．208．已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x∈(－∞，0)時，g′(x)<0，g(2)＝0，且g(x)＝f(x＋1)，則(x＋1)f(x)>0的解集為()A．(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．下列結(jié)論中正確的有()A．若y＝sinπ3，則y′＝B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，則f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，則y′＝－12xD．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinx10．設(shè)點P是曲線y＝ex－3x＋23上的任意一點，點P處的切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍包含區(qū)間(A．2π3，C．0，π2 D．11．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則()A．在x＝－2時，函數(shù)y＝f(x)取得極值B．在x＝1時，函數(shù)y＝f(x)取得極值C．y＝f(x)的圖象在x＝0處切線的斜率小于零D．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，2)上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝xlnx，則下列說法正確的是()A．f(x)在區(qū)間-1B．f(x)在區(qū)間1eC．當(dāng)－1e<a<1e時，函數(shù)y＝f(x)－D．f(x)有兩個極值點三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中橫線上)13．若曲線f(x)＝xlnx＋x在點(1，1)處的切線與直線2x＋ay－4＝0平行，則a＝________．14．函數(shù)f(x)＝-xex15．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝________．①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數(shù)．16．若函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex在區(qū)間(－1，1)上存在減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是________．四、解答題(本題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ex＋m在x＝1處有極值，求m的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間．18．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．19．(本小題滿分12分)(2021·全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若y＝f(x)的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝12－x2．(1)求曲線y＝f(x)的斜率等于－2的切線方程；(2)設(shè)曲線y＝f(x)在點(t，f(t))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t)，求S(t)的最小值．21．(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．22．(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)＝ex－(k＋1)lnx＋2sinα．(1)已知函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)k＝0時，討論函數(shù)f(x)零點的個數(shù)．章末綜合測評(二)1．A[∵s＝s(t)＝1t＋2t，∴s′(t)＝－1t2故物體在2秒末的瞬時速度s′(2)＝－14＋2＝742．A[x-1x′＝x-1'x-x-1x'x2＝1x2，故滿足f′(x)＝1x2的f(x)可以是f(x)＝x-13．D[A，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，是偶函數(shù)，該選項不符合題意．B，y＝x3單調(diào)遞增，沒有極值，該選項不符合題意．C，y＝lnx單調(diào)遞增，沒有極值，該選項不符合題意．D，函數(shù)y＝x＋1x滿足f(－x)＝－f(x)f′(x)＝1－1x2＝∴f(x)在x＝－1時取得極大值，在x＝1時取得極小值．故選D．]4．A[∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，∴函數(shù)f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，∴最大值為f(－2)＝2＋a＝2，∴a＝0，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最小值為f(－1)＝a－5＝－5．]5．A[f′(x)＝32x2＋a，當(dāng)a≥0時，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．6．C[設(shè)切點坐標(biāo)為(a，lna)，∵y＝lnx(x>0)，∴y′＝1x，切線的斜率是1a，切線的方程為y－lna＝1a(x－a)，將(0，0)代入可得lna＝1，∴a∴切線的斜率是1a＝1e．故選C7．A[設(shè)圓錐的高為x(0＜x＜20)，則圓錐底面半徑r＝400-∴圓錐體積V＝13πr2·x＝13π(400－x2)x＝－π3x3＋∴V′＝－πx2＋400π3，令V′＝0，解得x＝當(dāng)x∈0，2033時，V′＞0；當(dāng)x∈2033∴當(dāng)x＝2033時，V取最大值，即體積最大時，圓錐的高為208．A[因為函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以g(x)為偶函數(shù)，則g(－2)＝g(2)＝0．因為當(dāng)x∈(－∞，0)時，g′(x)<0，故g(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，故g(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x<－2或x>2時，g(x)>0，當(dāng)－2<x<2時，g(x)<0．因為g(x)＝f(x＋1)，所以f(x)＝g(x－1)，故不等式(x＋1)f(x)>0等價于(x＋1)g(x－1)>0，所以x+1>0，x-1<解得x>3，所以(x＋1)f(x)>0的解集為(3，＋∞)．故選A．]9．ABC[選項A中，若y＝sinπ3＝32，則y′＝0，故選項B中，若f(x)＝3x2－f′(1)·x，則f′(x)＝6x－f′(1)，令x＝1，則f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正確；選項C中，若y＝－x＋x，則y′＝－12x＋1，故選項D中，若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx－sinx，故D錯誤．故選ABC．]10．CD[y＝ex－3x＋23的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex－3，由ex>0，可得切線的斜率k>－3，由tanα>－3，可得0≤α<π2或2π3<α<π11．AD[由題圖可知，x＝－2是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的一個變號零點，故當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極值，選項A正確；x＝1不是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的一個變號零點，故當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)不能取得極值，選項B錯誤；y＝f(x)的圖象在x＝0處的切線斜率為f′(x)＞0，選項C錯誤；當(dāng)x∈(－2，2)時，f′(x)≥0，此時函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增，選項D正確．故選AD．]12．AD[因為當(dāng)x>0時，f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，當(dāng)x∈0，1e時，f′(x)<0，則f(x)在0，1e上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1e，1時，f′(x)>0，則f(x)在1e，1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1e時，f(x)取得極小值，又當(dāng)x→0＋時，f(x)→0，函數(shù)f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，當(dāng)x＝－1e時，f(x)取得極大值，所以f(x)在區(qū)間-1e，1e上單調(diào)遞減，故A正確，D正確，13．－1[∵f(x)＝xlnx＋x(x＞0)，∴f′(x)＝lnx＋2，∴f(x)在x＝1處的切線斜率k＝f′(1)＝2．由條件知－2a＝2，解得a＝－1．故答案為－1．14．x＝1[由f(x)＝-xex，可得f′(x)x＝1時，f′(x)＝0，當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝-xex的極小值點為x故答案為x＝1．]15．x4(答案不唯一)[取f(x)＝x4，則f(x1x2)＝(x1x2)4＝x14x24＝f(x1)f(xf′(x)＝4x3，當(dāng)x>0時有f′(x)>0，滿足②；f′(x)＝4x3的定義域為R，又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函數(shù)，滿足③．]16．-∞，32[f(x)＝(－x2＋ax)ex，則f′(x)＝ex(－x2＋ax－2x＋a)，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex在區(qū)間(－1，1)上存在減區(qū)間，只需－x2＋ax＋a－2x<0在區(qū)間(－1，1)上有解，記g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a，對稱軸x＝a-22，開口向下，g(－1)＝－1－(a－2)＋a＝1>0，只需g(1)<0，所以－1＋a－2＋a<017．解：f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ex＋m，由題意f′(1)＝0，解得m＝－1，所以f′(x)＝1x－ex-1，利用基本函數(shù)單調(diào)性可知，在(0，＋∞)上f′(x)是減函數(shù)，且f′(1)＝0，所以當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，＋∞)．18．解：(1)f′(x)＝ax－12x由題意知，曲線在x＝1處的切線斜率為0，即f′(1)＝0，所以a－12＋32＝0，解得a＝－(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(xf′(x)＝－1x－12x2＋32令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(舍去)當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．故f(x)在x＝1處取得極小值，極小值為f(1)＝3，無極大值．19．解：(1)由題意，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2a2x＋a－3x＝2a2則當(dāng)x＞1a時，f′(x)>0，f(x)當(dāng)0<x<1a時，f′(x)<0，f(x)故函數(shù)f(x)在0，1a(2)由(1)知函數(shù)f(x)的最小值為f1a要使y＝f(x)的圖象與x軸沒有公共點，只需f(x)的最小值恒大于0，即f1a>0故a2·1a2＋a·1a－3ln1a＋1＞0，得所以a的取值范圍為1e20．解：(1)f′(x)＝－2x．設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，∵f′(x0)＝－2x0＝－2，∴x0＝1，y0＝11，∴切點坐標(biāo)為(1，11)，∴切線方程為y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0．(2)由題意知t≠0．∵f′(x)＝－2x，∴曲線y＝f(x)在點(t，f(t))處的切線的斜率為f′(t)＝－2t．又f(t)＝12－t2，∴曲線y＝f(x)在點(t，f(t))處的切線方程為y－(12－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋12．令x＝0，則y＝t2＋12；令y＝0，則x＝t2∴切線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為(0，t2＋12)，t2∴S(t)＝12(t2＋12)·t2+122t＝t2∵S(t)為偶函數(shù)，∴僅需考慮t＞0即可，則S(t)＝14t3+24t+144S′(t)＝143t2+24-144t2＝34t2令S′(t)＞0，得t＞2，令S′(t)＜0，得0＜t＜2，∴S(t)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，S(t)min＝S(2)＝32．由S(t)為偶函數(shù)，知當(dāng)t＝±2時，S(t)取最小值，最小值為32．21．解：(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)從而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)因為r>0