基本初等函數(shù)專項訓(xùn)練(含答案)經(jīng)典題

一、簡答題1、設(shè)．〔1〕判斷函數(shù)的奇偶性；〔2〕求函數(shù)的定義域和值域．2、設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕討論的單調(diào)性；〔Ⅱ〕求在區(qū)間的最大值和最小值．3、函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)假設(shè)x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的方程f(x)＝|f′(x)|；(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]時的最小值．4、經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計)，旅游人數(shù)f(t)(萬人)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)＝4＋，人均消費g(t)(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(t)＝115－|t－15|.(1)求該城市的旅游日收益w(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30，t∈N*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該城市旅游日收益的最小值(萬元)．5、某商場對A品牌的商品進行了市場調(diào)查，預(yù)計2023年從1月起前x個月顧客對A品牌的商品的需求總量P(x)件與月份x的近似關(guān)系是：P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)(1)寫出第x月的需求量f(x)的表達(dá)式；(2)假設(shè)第x月的銷售量g(x)＝(單位：件)，每件利潤q(x)元與月份x的近似關(guān)系為：q(x)＝，問：該商場銷售A品牌商品，預(yù)計第幾月的月利潤到達(dá)最大值？月利潤最大值是多少？(e6≈403)6、函數(shù)f(x)＝x2－(1＋2a)x＋alnx(a為常數(shù))．(1)當(dāng)a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；(2)當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．7、某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：資金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.(1)假設(shè)建立函數(shù)y＝f(x)模型制定獎勵方案，試用數(shù)學(xué)語言表述該公司對獎勵函數(shù)f(x)模型的根本要求，并分析函數(shù)y＝＋2是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因；(2)假設(shè)該公司采用模型函數(shù)y＝作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．8、函數(shù)圖象上一點P(2,f(2))處的切線方程為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)假設(shè)方程在內(nèi)有兩個不等實根,求的取值范圍(其中為自然對數(shù)的底,);(Ⅲ)令,如果圖象與軸交于,AB中點為,求證:.9、命題p：函數(shù)y＝loga(1－2x)在定義域上單調(diào)遞增；命題q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對任意實數(shù)x恒成立．假設(shè)p∨q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．二、選擇題10、函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)．令，，，那么〔〕A．B．C．D．11、函數(shù)是〔〕A．周期為的奇函數(shù)B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù)D．周期為的偶函數(shù)12、曲線在點處的切線方程為()A.B.C.D.13、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A、RB、C、D、14、，假設(shè)恒成立，那么的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕15、函數(shù)其中表示不超過的最大整數(shù)，〔如,,〕.假設(shè)直線與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點，那么實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．16、，，，那么A.B.C.D.17、函數(shù)f〔x〕=，假設(shè)a，b，c互不相等，且f〔a〕=f〔b〕=f〔c〕，那么a+b+c的取值范圍為〔〕A．〔〕B．〔〕C．〔，12〕D．〔6，l2〕18、以下函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是A.B.C.D.19、，，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕函數(shù)的局部圖象為〔〕ABCD21、函數(shù)的兩個極值點分別為，且，，點表示的平面區(qū)域為，假設(shè)函數(shù)的圖像上存在區(qū)域內(nèi)的點，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A.B.C.D.22、．我們把使乘積為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)〞，那么在區(qū)間(1,2004)內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為()A．1024B．2003C．2026D．204823、假設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點滿足①點A、B都在函數(shù)的圖象上；②點A、B關(guān)于原點對稱，那么點〔A,B〕是函數(shù)的一個“姊妹點對〞。點對〔A,B〕與〔B,A〕可看作是同一個“姊妹點對〞，函數(shù)，那么的“姊妹點對〞有〔〕A.0個B.1個C.2個D.3個24、函數(shù)的圖象大致是〔〕25、函數(shù)，假設(shè)a，b，c互不相等，且，那么的取值范圍為〔〕A．B．C．D．26、集合，那么()B.27、函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)28、設(shè)，那么〔〕A．B．2C．3D．429、函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖像大致是〔〕30、設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}三、填空題31、設(shè)曲線在點〔1，1〕處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為,令，那么的值為.32、直線y=kx是y=1nx－3的切線，那么k的值為____．33、設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點〔1，0〕中心對稱，那么a的值為_______34、函數(shù)f(x)＝f(x)＝x的根從小到大構(gòu)成數(shù)列{an}，那么a2012＝________.35、函數(shù)f(x)＝－xlnx＋ax在(0，e)上是增函數(shù)，函數(shù)g(x)＝|ex－a|＋，當(dāng)x∈[0，ln3]時，函數(shù)g(x)的最大值M與最小值m的差為，那么a＝________.36、設(shè)a＝20110.1，b＝，那么a，b，c的大小關(guān)系是________．37、函數(shù)，那么_______________.38、y＝x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是________．39、，，，那么集合中元素有個。40、函數(shù)f(x)＝lnx＋的定義域為．參考答案一、簡答題1、〔1〕奇函數(shù)；〔2〕定義域，Z}，值域R．2、解析：的定義域為．〔Ⅰ〕．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．……6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知在區(qū)間的最小值為．又．所以在區(qū)間的最大值為．……12分3、解(1)因為f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，又因為－2≤x≤－1，所以a≥max在x∈[－2，－1]時恒成立，因為≤，所以a≥.(4分)(2)因為f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，那么|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)①當(dāng)a＜－1時，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；②當(dāng)－1≤a≤1時，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；③當(dāng)a＞1時，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)(3)因為f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝①假設(shè)a≥－，那么x∈[2,4]時，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，從而g(x)的最小值為g(2)＝2a＋4；(12分)②假設(shè)a＜－，那么x∈[2,4]時，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，當(dāng)－2≤a＜－時，g(x)的最小值為g(2)＝4a＋5，當(dāng)－4＜a＜－2時，g(x)的最小值為g(－a)＝1－a2，當(dāng)a≤－4時，g(x)的最小值為g(4)＝8a＋17.(14分)③假設(shè)－≤a＜－，那么x∈[2,4]時，g(x)＝當(dāng)x∈[2,1－2a)時，g(x)最小值為g(2)＝4a＋5；當(dāng)x∈[1－2a,4]時，g(x)最小值為g(1－2a)＝2－2a.因為－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，所以g(x)最小值為4a＋5，綜上所述，[g(x)]min＝4、可證w(t)在t∈[15,30]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝30時，w(t)取最小值為403.(13分)由于403＜441，所以該城市旅游日收益的最小值為403萬元．(14分)5、解(1)當(dāng)x＝1時，f(1)＝P(1)＝39.當(dāng)x≥2時，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)＝3x(14－x)．∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(5分)(2)設(shè)月利潤為h(x)，h(x)＝q(x)·g(x)∵當(dāng)1≤x≤6時，h′(x)≥0，當(dāng)6＜x＜7時，h′(x)＜0，∴當(dāng)1≤x＜7且x∈N*時，h(x)max＝30e6≈12090，(11分)∵當(dāng)7≤x≤8時，h′(x)≥0，當(dāng)8≤x≤12時，h′(x)≤0，∴當(dāng)7≤x≤12且x∈N*時，h(x)max＝h(8)≈2987.綜上，預(yù)計該商場第6個月的月利潤到達(dá)最大，最大月利潤約為12090元．(14分)6、解(1)當(dāng)a＝－1時，f(x)＝x2＋x－lnx，那么f′(x)＝2x＋1－，(2分)所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為：y－2＝2(x－1)，即：y＝2x.(6分)(2)由題意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝(x＞0)，由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a，(8分)①當(dāng)0＜a＜時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，a)和，單調(diào)減區(qū)間是，(10分)②當(dāng)a＝時，f′(x)＝≥0，且僅當(dāng)x＝時，f′(x)＝0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)增函數(shù)．(11分)③當(dāng)＜a＜1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是和(a,1)，單調(diào)減區(qū)間是，(13分)④當(dāng)a≥1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.(16分)7、解(1)設(shè)獎勵函數(shù)模型為y＝f(x)，按公司對函數(shù)模型的根本要求，函數(shù)y＝f(x)滿足：當(dāng)x∈[10,1000]時，①f(x)在定義域[10,1000]上是增函數(shù)；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤恒成立．(2分)對于函數(shù)模型f(x)＝＋2.當(dāng)x∈[10,1000]時，f(x)是增函數(shù)，(3分)f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2＜9.所以f(x)≤9恒成立．但x＝10時，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，故該函數(shù)模型不符合公司要求．(6分)(2)對于函數(shù)模型f(x)＝，即f(x)＝10－，當(dāng)3a＋20＞0，即a＞－時遞增；(8分)要使f(x)≤9對x∈[10,1000]恒成立，即f(1000)≤9,3a＋18≥1000，a≥；(10分)要使f(x)≤對x∈[10,1000]恒成立，即，x2－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥.(12分)綜上所述，a≥，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328.(14分)8、解(Ⅰ),,.∴,且.解得a=2,b=1.(Ⅱ),令,那么,令,得x=1(x=-1舍去).在內(nèi),當(dāng)x∈時,,∴h(x)是增函數(shù);當(dāng)x∈時,,∴h(x)是減函數(shù).那么方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是即.9、解：∵命題p：函數(shù)y＝loga(1－2x)在定義域上單調(diào)遞增，∴0<a