2023年河南省開封重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）及答案解析

2023年河南省開封重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足zi+2=z—h則z=（）

D「八

A.-+-iB.1+,3-i.C?-1-3-.iD.--1--3i.

2.已知全集^/=/?,集合4={x|——x-6>0},B={xeZ|x-2|<3},JjliJ（Cua）nB=（）

A.（-1,3]B.[-1,3]C.{-1,0,1,2,3}D.[0,1,2,3}

3.己知平面向量落石滿足|五|=1,五與方的夾角為120。，若|1-石|=夕，則|石|=（）

A.1B.2C.3D.4

4.在倡導(dǎo)“節(jié)能環(huán)保”“低碳生活”的今天，新能源逐漸被人們所接受，進(jìn)而青睞.新能源

汽車作為新能源產(chǎn)業(yè)中的重要支柱產(chǎn)業(yè)之一取得了長(zhǎng)足的發(fā)展.為預(yù)測(cè)某省未來新能源汽車

M

的保有量,采用阻滯型模型y=五獰許進(jìn)行估計(jì)，其中y為第t年底新能源汽車的保有量，

r為年增長(zhǎng)率，M為飽和量，%為初始值（單位：萬輛）.若該省2021年底的新能源汽車擁有量為

20萬輛，以此作為初始值，若以后每年的增長(zhǎng)率為0.12,飽和量為1300萬輛，那么2031年底

該省新能源汽車的保有量為（精確到1萬輛）（參考數(shù)據(jù)：ZnO.8872-0.12,伍0.30?-1.2）（）

A.62萬B.63萬C.64萬D.65萬

5.有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到A,B,C三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)

工廠至少去1人，且4工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.36D.72

6.在如圖所示的程序框圖中，若輸入的a,b,c分別為40巴

log0.40.5,執(zhí)行該程序框圖，輸出的結(jié)果用原來數(shù)據(jù)

表示為（）

A.b,a,c

B.a,b,c

C.c,b9a

D.c,a,b

7.已知雙曲線C：鳥一馬=1缶>0/>0）的實(shí)軸為4142,對(duì)4&上任意一點(diǎn)P，在4出上

Qb

都存在點(diǎn)Q,使得|PQ|=^b，貝IC的離心率的取值范圍為（）

A.（1,V5）B.怎,+8）C.（1,洽D.哼，洽

8.在△4BC和△&B1G中,若cosA=sin4i，cosB=sinB1,cosC=sinC1,則（）

A.△ABC與△AB?均是銳角三角形

B.ZkABC與A4B1C1均是鈍角三角形

C.AABC是鈍角三角形，△&B1G是銳角三角形

D.AABC是銳角三角形，AAiBiCi是鈍角三角形

9.已知4eR,p：Va>beR,a?+Z>224ab恒成立；q：A<2,則p是勺的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.在如圖所示的圓臺(tái)中，四邊形4BCD為其軸截面，AB=（、

2CD=4,母線長(zhǎng)為6,P為底面圓周上一點(diǎn)，異面直線4。與

OP（。為底面圓心）所成的角為9則CP2的大小為（）5二）B

A.7-2V3B.7-28或7+2百

C.19-4^3D.19-4%或19+4百

11.已知將函數(shù)/'（x）=2sin等（cos竽-bsin竽）（3>0）的圖象向右平移合個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在（0,兀）上有3個(gè)極值點(diǎn)，則3的取值范圍為（）

A.（|,+8）B.[1,4]C.備陽D.6學(xué)]

12.若存在xe[1,+8）,使得關(guān)于％的不等式（1+：尸+。20成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）

A.2B.白C./n2-lD.*-1

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知函數(shù)/（%）=ax2+（x2-2%4-3）ex,無論a取何值,曲線y=/（%）均存在一條固定

的切線，則該切線方程為_.

14.2023年春節(jié)到來之前，某市物價(jià)部門對(duì)本市5家商場(chǎng)的某種商品一天的銷售量及其價(jià)格

進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)這種商品的售價(jià)%（單位：元）與銷售量y（單位：件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表

所示：

價(jià)格X89.5m10.512

銷售量y16n865

經(jīng)分析知，銷售量y件與價(jià)格x元之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系，其線性回歸直線方程為;=_3,5X+

44,且m+n=20,則?n=

15.已知拋物線C：y2=8x,A,B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且=10,則弦4B的中點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)的最小值為

16.如圖，在三棱錐4-BCD中，AD1AB,AB=AD=2,△ACD

為等邊三角形，三棱錐4-BCD的體積為|,則三棱錐4-BCD外

接球的表面積為一.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛。九｝中，@1=2,an+l=an（an+l+2an）-

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑶若瓦=嬴可蒜扁初嬴Z,也｝的前n項(xiàng)和為又，證明：^<Sn<l.

18.（本小題12.0分）

在節(jié)日里為了促銷各大商場(chǎng)八仙過海各顯神通，推出了花樣繁多的促銷活動(dòng)，某大超市為了

拉升節(jié)日的喜慶氣氛和提升銷售業(yè)績(jī)，舉行了購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，購(gòu)物滿500元可獲得一次

抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)方法如下：在盒子里放著除顏色外其他均相同的5個(gè)小球（紅球和黑球各1個(gè),

白球3個(gè)），不放回地摸球，每次摸1球，摸到黑球就停止摸獎(jiǎng)，摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)40元，摸到白

球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).

（1）求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；

（2）記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題12.0分）

如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AD1CD,四邊形CDEF為平行四邊形，平面CDEFJ■平

面ABC。，BC=2AD,乙FCD=全

(1)證明：DF〃平面ABE；

(2)若ZD=1,CD=DE=2,求二面角E—BD—F的正弦值.

20.(本小題12.0分)

已知出,尸2分別為橢圓小三+耳=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，正用=2,Bi，B2分別為廣

ab

的上、下頂點(diǎn)，P為「上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PS1，P%的斜率之積為—今

(1)求「的方程；

(2)設(shè)r的右頂點(diǎn)為4過a的直線k與r交于另外一點(diǎn)B,與k垂直的直線(2與k交于點(diǎn)M，與y軸

交于點(diǎn)N,若BF2INF2，且NMOAW4M40(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線。的斜率的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)—x——alnx+(。eR),

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)fQ)在區(qū)間［1,2］上的值域；

(2)若函數(shù)/(X)有三個(gè)零點(diǎn)，分別為X1，小，%3(%1<X2<%3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求

的值.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，的極坐標(biāo)方程為pcos(0+6=V3.

(1)求曲線C的普通方程和直線1的直角坐標(biāo)方程；

(2)P為1上一點(diǎn)，過P作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,若Z4PB2*求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的

取值范圍.

23.(本小題12.0分)

已知f(%)=|x-a|+|x-3|(aGR).

(1)若a=l,解不等式/'(x)29；

(2)當(dāng)a=t(t>0)時(shí)，f(x)的最小值為3,若正數(shù)m,n滿足m+n=t,證明：2標(biāo)+V2n<6.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：zi+2=z-i,

m.i”.、rt2+i(2+i)(l+i)1.3.

則z(l-i)=n2+i,即MZ=H=(口市+i)=2+”.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：丫4={x\x2—x—6>0]={x\x>3或x<—2},

?1?CuA={x\-2<x<3],

又???B={x€Z|x-2|<3}={0,1,2,3,4},

??(QA)nB={0,1,2,3},

故選：D.

化簡(jiǎn)集合4B,再求Cw4及(GM)ns即可.

本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：???|初=1,<區(qū)方>=120。，I為一小=夕，

■-a.2—2a-b+b=l+\b\+\b\2=7>

|K|2+|b|-6=0,解得131=2或=-3(舍去).

故選：B.

根據(jù)條件對(duì)|五-9|=夕兩邊平方即可得出關(guān)于|包的方程，解方程即可求出|包的值.

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由題意得t=2031-2021=10,且r=0.12,M=1300,%=20,

M

V

y~T,/M-,

1+（訪T）en，

.________1300_______1300

"y-]?（號(hào),]）e-°」2xio-]+64eT2，

v/n0.30?—1.2,???e-1-2?e（ra0'30=0.3,

.________1300_______1300?

"y~][（1要I）c-（112X1O—l+64e-1-2~，

故選：C.

M

由題意得￡=2031—2021=10,且r=0.12,M=1300,y0=20,代入、=衣匚^與，即可

得出答案.

本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，將2男2女分為三組，有（男男、女、女）、（男、男、女女）、（男女、男、

女）三種情況，

由此分3種情況討論：

①分為（男男、女、女）的三組，男男這一組只能安排在B或C工廠，有廢彩=4種安排方法；

②分為（男、男、女女）的三組，女女這一組只能安排在4工廠，有底=2種安排方法；

③分為（男女、男、女）的三組，有6屐掰=8種安排方法；

則有4+2+8=14種安排方法，

故選：B.

根據(jù)題意，先分析將2男2女分為三組的可能情況，由此分3種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答

案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由程序框圖可知，該程序的功能為從大到小輸出原來輸入的數(shù)據(jù)，

由-0.4_4。">40-3>4°=1,

15

logo.4<logo,4O-<logo_40.4,即0<logo,40.5<1,

故輸出的結(jié)果用原來數(shù)據(jù)表示為b,a,c.

故選：A.

該程序的功能為從大到小輸出原來輸入的數(shù)據(jù)，再通過比較輸入數(shù)據(jù)的大小，即可求解.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬

于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：???對(duì)力上任意一點(diǎn)P，在4遇2上都存在點(diǎn)Q，使得附|=?，

-171^21>yfc*--a>—by即詬,

?.?l<e=?=3?wRl=￥，

故選：C.

對(duì)4遇2上任意一點(diǎn)P，在4遇2上都存在點(diǎn)Q，使得IPQI=%，可得加1412苧b，進(jìn)而得出結(jié)

論.

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解:在△ABC和△4出。1中,若cos4=si/Mi，cosB=sinB1,cosC=sinC1,

對(duì)于4：當(dāng)AABC為銳角三角形時(shí)，sinA1=cosA>0,sinB1=cosB>0,sinC1=cosC>0,所

以4、B、C都為銳角，即△ABC為銳角三角形，另一方面，sirMi=cos4=sinC-4)>0,可得

4+4=看或尹4+&=兀，即&-4=看所以a為銳角或鈍角，同理為，Q為銳角或鈍角，

但是41，Bi，G中必然有一個(gè)鈍角，否則不成立，所以△4B1G是鈍角三角形，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，假設(shè)4為鈍角，則cos4<0,故<0,由于41€(0,TT),

不滿足條件，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，假設(shè)4為鈍角，則cos4<0,故sin&<0,由于46(0,兀)，

不滿足條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：當(dāng)^4BC為銳角三角形時(shí)，則=cosA>0,sinB1=cosB>0,sinC1=cosC>0,

所以/、B、C都為銳角，即△48C為銳角三角形，另一方面，sinA1=cosA=sin(^-/I)>0,可

得A+2=5，或5-4+4=兀，即4-4=5,所以4u為銳角或鈍角，同理當(dāng)，G為銳角或鈍

角，但是4,B］,G中必然有一個(gè)鈍角，否則不成立，所以△4B1C1是鈍角三角形，故。正確;

故選：D.

直接利用三角函數(shù)的值判斷4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)

題.

9.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閷?duì)任意a,bER,有。2+爐22?，

而對(duì)任意a,be/?,a2+b2>Aab,

所以—2<A<2,

因?yàn)椋邸?,2］是（—8,2］的真子集，

所以“對(duì)任意a,beR,a2+b2>Xab,r是“；I42”的充分不必要條件,

即p是q成立的充分不必要條件，

故選：A.

利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合a?+爐？2ab分析判斷即可.

本題考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：以。為原點(diǎn)，而為y軸，過點(diǎn)。作x軸1OB,圓臺(tái)的軸為z軸,

作DE14B,DE交4B于點(diǎn)E,\AE\=^1\AB\-^1\CD\=1,

R7A40E中，|DE|=7AD2-AE2=丘,

則。(0,—1,遮)，力(0,—2,0),C(0,l,V2)，AD=(0,1,V2),

P為底面圓周上一點(diǎn)，其半徑為2,設(shè)P(2cos0,2sin0,0),0<0<2/r,

OP=(2cos9,2sin9,0)，

由于異面直線4。與OP(。為底面圓心)所成的角為全

則叫=際<現(xiàn)而>1=黯=鬻=曙弓

sind=±y,CP=(2cos0,2sin0-1,-V2)?

CP2=4sin29+4cos2?！?sin6+1+2=7-4sin0=7+2V3.

故選:B.

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(2cos9,2sine,0),由異面直線4D與0P(。為底面圓心)所成的角為會(huì)可

得sin。的值，則可求CP?的大小.

本題考查利用空間向量表示異面直線所成的角，表示長(zhǎng)度，屬于中檔題.

11.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?(x)=2sin等(cos竽一百sin等)=2sin與cos竽-=sin(ox-

A/3(1—costox)=sinwx+y/3cos(i)x—V3=2sin(a>x+號(hào))-V3,

又因?yàn)間(x)=f(x-5)=2sin[(i)(x-5)+自一百=-2cos(3x+1)-V3,

又因?yàn)?>0,當(dāng)Xe(0,7T)時(shí)，3X+&eG，37T+今，

又因?yàn)間(x)有3個(gè)極值點(diǎn)，

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得：3兀<37T+gw4兀，

解得：g<34號(hào).

故選：C.

利用三角恒等變化得/⑶=2sin(s+今一百，由圖象的變化得g(x)=/(x-￡)=

-2cos(3x+》-V3,結(jié)合題意和余弦函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.

本題考查了三角恒等變化、圖象的變化及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】D

【解析】解：由(l+》x+a2e兩邊取對(duì)數(shù)可得(x+a)ln(l+》21①，

令1+工=3則工=

xt-1

因?yàn)閄6[1,4-oo),所以t6(1,2],

則不等式①可轉(zhuǎn)化為(±+a)lnt>1,

又因?yàn)槲閠>0,

所以a2工一二，因?yàn)榇嬖趚e[1,+8),使得關(guān)于x的不等式(1+工廠+02e成立，

tntt-1x

所以存在(1,2],QN，—UY成立，故求白—的最小值即可,

Lntt_1intt-L

令9。)=吉，xe(l,2],

2

所以g，(x)=__L_+_2^=x@叱(.J=(，喧笆=(伍叱W，

x(lnx)(x-l)zx{lnx)(x-1)(x-l)(lnx)(x-1){Inx)

令九(x)=(Znx)2—x--+2,xE(1,2],

所以"(%)=:-(2lnx)-1+p-=2lnxx+

^xf

1

令？n(%)=2lnx—x+xG(1,2],

所以m'(x)=--1-4=-2+濘=<0-

所以m(x)在(1,2]上單調(diào)遞減，所以m(x)<m(l)=0,

所以"(x)<0,所以/i(x)在(1,2]上單調(diào)遞減，

所以九(乃</i(l)=0,

所以g<x)<0,

所以g(x)在Q2]上單調(diào)遞減，

所以g(x)Ng(2)=1,

所以aN白一1,

ln2

所以實(shí)數(shù)a的最小值為-1.

ln2

故選：D.

由(l+》x+aNe兩邊取對(duì)數(shù)可得(x+a)ln(l+§)21,令1+；=3則不等式可轉(zhuǎn)化為(去+

a)Znt>1,即一士，故根據(jù)題意可得求白一人的最小值即可，令g(x)=f——三，xG

'Intt-1Intt-1°、JInxx-1

(1,2],通過求導(dǎo)可得g(x)的最小值即可得答案.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

13.【答案】x-y+3=0

【解析】解:/(x)=ax2+(x2—2x+3)ex,=2ax+(x2+l')ex,

f(0)=1,f(0)=3,此時(shí)這兩個(gè)值均與a無關(guān)，

二無論a取何值，曲線y=/(無)均存在一條固定的切線，

此時(shí)切點(diǎn)為(0,3),

故切線方程為y—3=x,即％-y+3=0,

故答案為：x-y+3=0.

由題意得/'(x)=2ax+(尤2+1)靖,求出尸(0)=1,/(0)=3,此時(shí)這兩個(gè)值均與a無關(guān),可得切

點(diǎn)為(0,3),即可得出答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

14.【答案】10

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算1=(8+9.5+m+10.5+12)=8+￡,

y=1x(16+n+8+6+4)=7+^,

因?yàn)榫€性回歸直線方程y=_3,5X+44過點(diǎn)GJ)，

即7+g=-3.5x(8+￡)+44,

即爭(zhēng)+合=9,所以3.5m+n=45,

又因?yàn)閙+n=20,所以m=10,n=10.

故答案為：10.

由表中數(shù)據(jù)計(jì)算Iy,根據(jù)線性回歸直線方程過點(diǎn)G，9)，代入化簡(jiǎn)求解即可.

本題考查了線性回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】3

【解析】解：設(shè)4（%1，%）3（%2，乃），弦4B的中點(diǎn)P（x,y）,

拋物線f=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,

\AF\=Xi+2,\BF\=X2+2,：.\AF\+\BF\=Xj+x2+4,

x=紅/=|(|4F|+\BF\-)-2>!\AB\-2=3,

當(dāng)且僅當(dāng)4B,尸三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

???弦4B的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最小值為3.

故答案為：3.

先設(shè)出4,B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合兩邊之和大于第三邊，當(dāng)4B,尸三點(diǎn)共線時(shí)可求弦

4B的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最小值.

本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、利用不等式求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

16.【答案】(20-8夜)兀

【解析】解：如圖所示，過C作CH_L底面ABD,垂足點(diǎn)為H,

分別取4。，BD的中點(diǎn)E,F,連接CE,EF,

則根據(jù)題意可得4。EC,AD1EF,又ECnEF=E,

AD_L平面CEF,u底面AB。，

平面CEF1底面4B0,

C在底面4B。內(nèi)的射影點(diǎn)”在EF直線上，

???三棱錐4-BCD的體積為"xS*BDxCH=gxgx2x2xCH=|,

???CH=1,又易知CE=V3，EH=VCE2-CH2=

又EF=3AB=\,：.FH=EH-EF=立-1,

過尸作底面4BC的垂線，在垂線上取點(diǎn)。，使得04=。。，

則根據(jù)對(duì)稱性易得：。即為三棱錐4-BCO外接球的球心，

設(shè)外接球的半徑為R,則04=0C=R,

延長(zhǎng)CH至G點(diǎn)，使尸O=HG,連接OG,則易得四邊形FHGO為矩形,

：.OG=FH=V2-1，設(shè)FO=HG=x,則CG=l+x,又易知4F==企,

.?.在RtAAFO與RMCG。中，由勾股定理可得:

（AF2+F02=OA2

kOG2+CG2=0C2'

(2+x2=R2

"l(V2-l)2+(1+x)2=J?2'

:.2+%2=(V2—l)2+(1+x)2,

解得x=V2-1.

/?2=2+%2=2+(V2-l)2=5-2V2,

二三棱錐4-BCD外接球的表面積為4兀/?2=(20-8V2)7T,

故答案為:(20-8V2)zr.

分別取AD,BC的中點(diǎn)E,F,連接CE,EF,則根據(jù)題意易證平面CEF1底面ABD,從而可得C在

底面4BD內(nèi)的射影點(diǎn)H在E尸直線上，又根據(jù)三棱錐的體積易得CH=1,從而可得EH=魚，進(jìn)而

可得尸”=四-1,過F作底面48。的垂線，在垂線上取點(diǎn)。，使得04=0C,則根據(jù)對(duì)稱性易得：

。即為三棱錐4一BCD外接球的球心，延長(zhǎng)至G點(diǎn)，使FO=HG,連接OG,則易得四邊形FHG。

為矩形，接著在RtAAFO與RtZ\CG。中，由勾股定理建立方程組，從而可求出外接球的半徑，最

后代入球的表面積公式，即可得解.

本題考查三棱錐的外接球的問題，三棱錐的體積問題，線面垂直判定定理，面面垂直的判定定理，

勾股定理的應(yīng)用，球的表面積公式，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題.

17.［答案］解：(1)a"1=an(an+1+2an),

??-(?n+i-2an)(an+1+an)=0,

又M>0,nG,N,,

a

n+i=2an,

???數(shù)列｛時(shí)｝為等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)為2,

n

:.an=2.

,____________1___________________1________1._1

n

(2)證明：iog2an^log2an+1+log2an+r^log2annxVn+l+(n+l)Vn訴VHTT,

111111

'.｛%｝的前n項(xiàng)和%=1—頁+頁一3+“.+赤_荷=1—標(biāo)，

可得數(shù)列｛Sn｝單調(diào)遞增，

S1<Sn<1,

即竽<sn<1成立.

【解析】(1)由W+1=an(an+1+2an),因式分解為(即+i-2an)(an+1+an)=0,根據(jù)斯>0,

ne/V*,即可得出即+1=2即，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a“.

(2)：%=崇-焉，利用裂項(xiàng)求和方法可得｛砥｝的前n項(xiàng)和S“，利用數(shù)列｛S.｝的單調(diào)性，即可證

明結(jié)論.

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、方程思想方法，

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)設(shè)事件4為1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)，事件4可能出現(xiàn)紅白黑，白紅黑，白白

黑3種情況，

Pf^)=2x|x|x|+|x|xi=|;

(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,10,20,30,40,50,60,70,

P(X=0)

313

p(x=io)=/z=m

3211

P(X=20)=-x5x-=-.

P(X=30)=|x^xixi=±,

P(X=4。)氣xR看，

3111

P(X=50)=2x-xzx-=-,

P(X=60)=3x|x白白齊梟

n八zrc、.321111

P(X=70)=4X-X5X-X-XT=-.

則隨機(jī)變量X的分布列為：

X010203040506070

13111131

P————————

52010202010205

Eg=(0+70)x11+(10+360)x竟+(20+50)X.1+(30+140)X=57.

【解析】(1)列出事件4可能出現(xiàn)的情況，進(jìn)而計(jì)算概率；

(2)列出隨機(jī)變量X的可能取值，分別計(jì)算P(X),從而求得分布列，利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解

E(X).

本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：連接CE交。產(chǎn)于H,取BE中點(diǎn)G,連接AG,

???四邊形CDEF為平行四邊形，???，為CE的中點(diǎn)，

???GH//BC,GH=^BC,

■■■BC=2AD,AD//BC,

AD//GH,AD=GH,

二四邊形ADHG為平行四邊形，DH//AG,即。F//4G,

又4Gu平面ABE,DF仁平面48E,二￡>?//平面4BE；

(2)?.?平面CDEF_L平面ABC。，AD1CD,乙FCD=

以。為原點(diǎn)，DA,DC為x,y軸，過D作平面ABCC的垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),B(2,2,0),￡(-1,0,73).F(0,l,V3)，

.?.麗=(3,3,-?ED=(l,0,-V3)-FD=(-2,-2,0).BF=(-2,-l,-V3).

設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則,世=3x+^-岳=。,4z=V3,則x=3,y=-3,

In-fD=x-V3z=0

???平面EBO的一個(gè)法向量為元=(3,-3,V3).

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為沅=(a,b,c),

(m-BD=-2a-2b=0,令％=i,則y=fz=_[,

Gn?BF=-2a—b—V3c=03

.,?平面BDF的一個(gè)法向量為記=(1,-1,-y),

???二面角E-BD-F的正弦值為=洋

［解析］(1)連接CE交DF于H,取BE中點(diǎn)G,連接4G,證明四邊形ZDHG為平行四邊形,可得DF〃/1G,

進(jìn)而可證DF〃平面4BE；

（2）以。為原點(diǎn)，DA,DC為x,y軸，過。作平面4BCD的垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，求得兩平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求二面角E-BD-F的余弦值，可求正弦值.

本題考查線面平行的證明，考查面面角的求法，屬中檔題.

20.【答案】解：（1）I&BI=2,則2c=2,c=l,

又Bi（0,b）,B2（Q,b）,P為r上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，

設(shè)P（3,y（））（（Xo>°，、0>0），則4+摯=1，即如以+羽=。2接,

ab

kpB*=用2kpBz=汽熱則Ap%?kpBz=

,等X零T，...y…%+“

代入爐就+a2y,=a2b2,可得匕2端+口2（_/或+人2）=a2b2,即爐就一ga?詔+a2b2=￡12b2,

EP&2XQ=1a2XQ,Ijlljd2=|a2>Xc2=a2—h2=a2—1a2=1?解得a?=9,故/=8,

???橢圓r的方程為卷+*=i；

(2)由⑴知橢圓廠的方程為卷+《=1,可得4(一3,0),F2(l,0),

設(shè)直線k的方程為y=k(x-3),設(shè)B(如yj,

y2

聯(lián)立)互+萬=1,得(91+8)/一54k2%+811-72=0,

y=k(x-3)

A=(-54k2)2-4(9/c2+8)(81/-72)=2304>0,

0,54k254k2027k2-24

3+=--7--，：?X-i=-5----3=5，-

9/+89/+89公+8

由于尸2(1,0),設(shè)N(0JN)，則則取=(-l,yw)>又％=Kxi-3)=一辭￡，

-----?27k2-2448k

BF=(1-

29/C2+89/CZ+8

由和INF2,則甌-0=(1-臉第?(-1)+蒜?狙=0，

_(18/-32)(9/+8)_-18/+32_-9/c2+16

yN=-48k(9k2+8)=48k=

???直線MN：y=—/x+Z^，

y=k(x-3)

63/一16

設(shè)M(久M,VM)，聯(lián)立1-9必+16,得

\y=-kx+~^24(必+1)'

在△MAO中，^MOA<Z.MAO,■■\MA\<\MO\,

3

???QM-37+y―4四+y3即*-6%M+9W*，???xM>

2

Hn63k-16、3

即----2---NK，

24(/+1)2

i2、52,,2739-n.、2V39

???kz>—,AFC<-或k>

二直線4的斜率的取值范圍為(-8,-等］u［2^2,+oo).

2222

【解析】(l)Bi(O,b),B2(0,b),設(shè)P(xo，y()),由已知可得據(jù)=-1XQ+b,又孑瑤+ayg=ab,

可求橢圓廠的方程為《+<=1；

9o

(2)可得4(-3,0),F2(1,O),設(shè)直線。的方程為y=k(x—3),設(shè)聯(lián)立方組可求得與=

招親，進(jìn)而可得丫可=哮聲，求得M的坐標(biāo)，可得嗚-6%+9式瑞，可求直線。的斜率的

取值范圍.

本題考查求橢圓的方程，考查求直線的斜率的范圍，屬難題.

21.【答案】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(乃=%一；一2)》+祭［。)=1+也一；+』=^^^?

—^-2=^^-+—^-2>°-X>0,

(x+l)zxZ(Jt+l)Z

所以/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x=1時(shí)，/'(X)取得最小值，最小值為0,當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得最大值，最大值為苧-2仇2,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上的值域［。片一2附；

(2)由尸(幻=+%>0,

當(dāng)aW0時(shí)，f(x)>0,所以f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

14x

當(dāng)a>0時(shí)，令/l'(;<)=0,則0=%+展+,4口*

設(shè)g(x)=x+：+-^-7，%>0,則g'(x)=(x-1)-1),

x(x+1)x2(x+l)"+；+；筆+

當(dāng)x€(0,1)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g，(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=1時(shí)，g(x)取最小值，最小值為g(l)=3,

顯然，當(dāng)a>3時(shí)，f(%)=0,有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)0VQV3時(shí)，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，顯然不成立，

所以/(%)有三個(gè)零點(diǎn)，則Q的取值范圍為(3,+8),

所以a的取值范圍(3,+8),

函數(shù)/(%)有三個(gè)零點(diǎn)，%1，%2，%3且％

因?yàn)?(I)=0,

即冷=1，

所以<1<心，

2_2

由/(一)二—x—CLTI—FT—=—x+dlnx