等離子體中的輸運(yùn)過程課件

第6章等離子體中的輸運(yùn)過程

在前幾章，介紹并應(yīng)用單粒子軌道理論、磁流體力學(xué)方程研究和處理了等離子體中的一系列問題，其特點(diǎn)都忽略了帶電粒子間的碰撞。磁流體力學(xué)模型是建立在粒子間頻繁碰撞基礎(chǔ)上的，但把它應(yīng)用于等離子體波問題時(shí)，往往又忽略其碰撞的影響，這是因?yàn)椴ǖ念l率遠(yuǎn)大于等離子體中粒子間的碰撞頻率。因而可以把碰撞的影響忽略。現(xiàn)在還有一類問題，如等離子體處于不平衡狀態(tài)如何趨向平衡，這就需要等離子體中帶電粒子短程的庫(kù)侖碰撞。等離子體內(nèi)部存在密度、速度、溫度的空間不均勻或存在電場(chǎng)時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)粒子流、動(dòng)量流、能量流或電流，這些屬于一定物理量在空間的傳輸過程稱輸運(yùn)過程，也涉及等離子體中粒子間的碰撞。由于等離子體中粒子間的庫(kù)侖長(zhǎng)程相互作用、離子與電子質(zhì)量相差很大，而且往往存在強(qiáng)磁場(chǎng)，因此等離子體中的輸運(yùn)現(xiàn)象變得十分復(fù)雜。等離子體輸運(yùn)現(xiàn)象在受控核聚變研究的很多方面都有重要作用，因此輸運(yùn)過程在等離子體物理中占有重要地位。

嚴(yán)格處理等離子體的輸運(yùn)問題，應(yīng)該用微觀的動(dòng)理論，采用分布函數(shù)描述，用動(dòng)理論方程研究分布函數(shù)的時(shí)間演化，然后一切宏觀量（如密度、平均速度、溫度、電流密度等）都是由速度分布函數(shù)對(duì)相應(yīng)微觀量求平均值得到，從而得到等離子體宏觀行為。如果只需要了解一些宏觀量的變化，也可以從磁流體力學(xué)方程出發(fā)進(jìn)行研究。磁流體力學(xué)方程，包括每一種粒子的連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程、能量方程和廣義歐姆定律等，這些方程組中的電磁場(chǎng)如忽略波場(chǎng)，即只保留外場(chǎng)，于是不需要麥克斯韋方程組，這樣磁流體力學(xué)方程組就是輸運(yùn)方程組。因此需要聯(lián)立求解等離子體中所有帶電粒子組成的流體的輸運(yùn)方程組，就可得到完整的輸運(yùn)過程的描述，輸運(yùn)方程中的系數(shù)通過動(dòng)理學(xué)方程求得。本章主要介紹的就是這方面內(nèi)容。6.1等離子體的輸運(yùn)方程組等離子體輸運(yùn)方程組可以用唯象的方法來建立，也可以用等離子體動(dòng)理學(xué)方程求速度矩來嚴(yán)格推導(dǎo)。在第4章中已采用后一種方法得到了各種粒子成份的磁流體力學(xué)方程組，因此很容易由此得到輸運(yùn)方程組:1.連續(xù)性方程

上式表示粒子數(shù)守恒，如令為質(zhì)量密度，則由上式，可以得到質(zhì)量守恒方程。2.運(yùn)動(dòng)方程

為彈性碰撞造成的對(duì)α粒子的摩擦阻力，

表示不同類粒子彈性碰撞的動(dòng)量交換。為粒子彈性碰撞引起的對(duì)粒子的粘滯力，對(duì)于理想流體。3.能量平衡方程

為熱流矢量，為交換的熱能。

對(duì)輸運(yùn)方程組說明兩點(diǎn)：（1）輸運(yùn)方程組不封閉?，F(xiàn)在方程組中未知的場(chǎng)變量為nα、uα、Tα，理應(yīng)由輸運(yùn)方程組自洽求解?，F(xiàn)在輸運(yùn)方程組中還有兩個(gè)高階矩和，在現(xiàn)有的輸運(yùn)方程組內(nèi)無法知道的，因此需要設(shè)法解決。通常做法是依靠實(shí)驗(yàn)定律，把高階矩用低階矩表示。如傅里葉熱傳導(dǎo)定律：

為熱傳導(dǎo)系數(shù)，可采用實(shí)驗(yàn)測(cè)定的數(shù)據(jù)；

粘滯張量由牛頓粘滯定律用uα的分量表示，或采用理想流體近似

經(jīng)過這樣處理，方程組就可以封閉。輸運(yùn)方程組中含的碰撞項(xiàng)可以從動(dòng)理學(xué)方程得到

式中為α,β粒子間動(dòng)量平衡的平均碰撞頻率，為溫度平衡的平均碰撞頻率。（2）輸運(yùn)方程組中的E、B是外場(chǎng)，不包含等離子體自身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的波場(chǎng)，因而不需要麥克斯韋方程組。輸運(yùn)方程與磁流體力學(xué)方程的重要區(qū)別是輸運(yùn)方程組考慮彈性碰撞項(xiàng)，但不考慮波場(chǎng)，因而不存在和麥克斯韋方程組耦合的問題。6.2庫(kù)侖碰撞

研究等離子體中輸運(yùn)過程，首先要研究帶電粒子間的庫(kù)侖碰撞。1.二體碰撞轉(zhuǎn)化為單體問題設(shè)兩個(gè)粒子其質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)速度分別為mα、vα，mβ、vβ，粒子間的相互作用力為有心力，則運(yùn)動(dòng)方程為

引入質(zhì)心坐標(biāo)與相對(duì)坐標(biāo)因無外力

為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度，為折合（約化）質(zhì)量。

結(jié)果：質(zhì)心保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于質(zhì)量為μ的一個(gè)粒子受力心固定的有心力作用的單粒子運(yùn)動(dòng)。于是在質(zhì)心坐標(biāo)系中，就可以把二體碰撞化為單體問題，使問題簡(jiǎn)化。

2.碰撞微分截面

在質(zhì)心坐標(biāo)系中，一個(gè)處在遠(yuǎn)處、質(zhì)量為μ、電荷為qα的粒子，以速度u射向固定在O點(diǎn)的電荷qβ為的另一個(gè)粒子，其瞄準(zhǔn)距離為b（也稱碰撞參量），受有心力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)，其偏轉(zhuǎn)角為θ，偏轉(zhuǎn)后速度為u’，經(jīng)歷這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的稱為二粒子碰撞（或稱散射）。當(dāng)為庫(kù)侖作用力，偏轉(zhuǎn)角θ與碰撞參量b之間關(guān)系，可以證明為或當(dāng)b=b0時(shí)，θ=π/2，b0是偏轉(zhuǎn)角為π/2時(shí)的碰撞參量，稱近碰撞參量。因?yàn)閎＜b0,θ＞π/2，稱為近碰撞。當(dāng)為小角度偏轉(zhuǎn)，稱遠(yuǎn)碰撞。

設(shè)每秒單位面積入射粒子數(shù)為I，打在的粒子數(shù)為，這些粒子被散射為到立體角內(nèi)，則每秒單位面積強(qiáng)度為I的粒子束被散射到立體角內(nèi)的幾率稱碰撞（散射）微分截面。其物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位面積入射1個(gè)粒子，散射到的單位立體角內(nèi)的幾率。因?yàn)閹茁士偸钦模栽谑街腥×私^對(duì)值。由得

碰撞微分截面

這就是著名的盧瑟福散射公式。如果考慮兩個(gè)帶電粒子間的作用受到其它帶電粒子的屏蔽效應(yīng)，則可用屏蔽庫(kù)侖勢(shì)

采用經(jīng)典和量子（Born近似）的方法，都可求得散射微分截面6.3動(dòng)量變化率與平均碰撞頻率

1.二體碰撞近似中性稀薄氣體，粒子間的相互作用為短程力，當(dāng)粒子間平均距離遠(yuǎn)大于作用力程時(shí)，一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)粒子，在平均自由程內(nèi)一般不受其它粒子的作用，所以運(yùn)動(dòng)是“自由”的，僅當(dāng)它與另一個(gè)粒子相距很近，在作用力程范圍時(shí)，才受到這個(gè)粒子短程力作用，運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變，稱為碰撞，而與其它第3個(gè)粒子無關(guān)，這種碰撞作用稱二體碰撞。中性氣體的宏觀行為（擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)、粘滯性、溫度平衡等）都是這些二體碰撞引起的。

在等離子體中帶電粒子間是屏蔽的庫(kù)侖作用，當(dāng)力程（德拜屏蔽距離）遠(yuǎn)大于粒子間平均距離（n為粒子數(shù)密度）時(shí)，觀察一個(gè)特定粒子運(yùn)動(dòng)，在任何時(shí)刻它都同時(shí)受到德拜球內(nèi)所有粒子（粒子數(shù)）的作用，而且德拜球內(nèi)的粒子也受到這個(gè)粒子的作用，即不但所觀察的特定粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變了，而且德拜球內(nèi)個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)也發(fā)生變化。因此，等離子體中粒子間的作用是多體碰撞問題。要嚴(yán)格處理多體作用是極其困難的，通常都采用近似的方法。在等離子中還是采用“二體碰撞近似”。二體碰撞近似是把多體作用看成相互獨(dú)立的瞬時(shí)的二體作用之和，同時(shí)還要考慮電荷的屏蔽效應(yīng)。具體做法是，當(dāng)時(shí)，一個(gè)入射粒子與個(gè)背景粒子的多體相互作用，背景粒子總體是穩(wěn)定的，基本沒有變化。只考慮其中每一個(gè)粒子與入射粒子的相互作用，在非相對(duì)論極限下每個(gè)背景粒子與入射粒子的作用都是二體的屏蔽庫(kù)侖作用，然后入射粒子與個(gè)粒子的多體相互作用就看成這許多同時(shí)發(fā)生的二體碰撞的簡(jiǎn)單疊加。在等離子體中影響其宏觀行為的“碰撞”，主要是大量二體的小角度偏轉(zhuǎn)積累而成的大角度“偏轉(zhuǎn)”，這樣就算經(jīng)歷了一次“碰撞”，作為特征量的平均碰撞頻率就是每秒鐘經(jīng)受這種“碰撞”的次數(shù)2.二體碰撞的動(dòng)量變化率現(xiàn)在計(jì)算在質(zhì)心坐標(biāo)系中二體碰撞引起的動(dòng)量變化率。

設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量、速度分別為mα、mβ，vα、vβ，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度u=vα－

vβ，則由動(dòng)量守恒動(dòng)量

每一次碰撞粒子的動(dòng)量變化

對(duì)于彈性碰撞，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度不變，由能量守恒方程得或由圖可見式中n為垂直u的單位矢量，因此兩個(gè)粒子經(jīng)過一次碰撞后動(dòng)量的變化設(shè)α試驗(yàn)粒子，β為場(chǎng)粒子，考察一個(gè)試驗(yàn)粒子α被大量場(chǎng)粒子β的碰撞作用后總的動(dòng)量變化。

在單位時(shí)間內(nèi)，α試驗(yàn)粒子與密度為nβ的β場(chǎng)粒子發(fā)生碰撞，被散射到（）方向立體角內(nèi)的碰撞數(shù)為單位時(shí)間內(nèi)試驗(yàn)粒子動(dòng)量總變化應(yīng)為所有二體碰撞產(chǎn)生變化的疊加

試驗(yàn)粒子總動(dòng)量變化率為

應(yīng)用盧瑟福散射公式試驗(yàn)粒子總動(dòng)量變化率會(huì)出現(xiàn)積分因子當(dāng)取θ=0時(shí)，出現(xiàn)積分發(fā)散問題。原因：散射微分截面是用庫(kù)侖作用計(jì)算的結(jié)果，對(duì)于庫(kù)侖長(zhǎng)程作用，碰撞參量b可以到無限大，此時(shí)偏轉(zhuǎn)角θ→0，因此積分下限發(fā)散。實(shí)際上二體作用必須考慮電荷屏蔽效應(yīng)。如果取二體作用力程為，在處把相互作用截?cái)?，即把德拜距離以外的電場(chǎng)當(dāng)作零。于是時(shí)的偏轉(zhuǎn)角，作為積分下限，則發(fā)散問題就可以解決。由庫(kù)倫碰撞：

稱庫(kù)侖對(duì)數(shù)總動(dòng)量變化率結(jié)果表明，與相對(duì)速度u反平行。試驗(yàn)粒子在質(zhì)心系中垂直u和平行u動(dòng)量變化率注意，以上結(jié)果都是在質(zhì)心系中計(jì)算的，平行、垂直分量都是以相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度u定向的。實(shí)際感興趣的是在實(shí)驗(yàn)室系中，試驗(yàn)粒子的初始速度經(jīng)受場(chǎng)粒子的多次碰撞后，發(fā)生顯著變化所需的時(shí)間，稱平均碰撞時(shí)間，其倒數(shù)就是平均碰撞頻率。因此在質(zhì)心系中以u(píng)定向計(jì)算結(jié)果在實(shí)際應(yīng)用上是不方便的。尤其當(dāng)場(chǎng)粒子有速度分布時(shí)，不同粒子對(duì)的u是不相同的，在對(duì)場(chǎng)粒子速度分布求平均時(shí)也是不方便的。因此需要將質(zhì)心系中所得公式轉(zhuǎn)換到實(shí)驗(yàn)室系，才便于求得以初始速度定向的坐標(biāo)系中的結(jié)果。3.電子-離子碰撞時(shí)間與碰撞頻率研究一個(gè)特例：試驗(yàn)粒子為電子、場(chǎng)粒子為離子。因?yàn)殡娮淤|(zhì)量me比離子質(zhì)量mi小很多，所以離子可以近似地看成不動(dòng)，質(zhì)心系與實(shí)驗(yàn)系就沒有區(qū)別，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度u與電子在實(shí)驗(yàn)室系速度近似相等。

電子、離子的質(zhì)量分別為me、mi，電荷分別為，實(shí)驗(yàn)室系中的速度為ve，vi，因?yàn)?，，所以，定義碰撞時(shí)間和碰撞頻率則得電子與離子的有效碰撞頻率和碰撞時(shí)間

意義：電子受離子作用，其初始速度發(fā)生顯著變化時(shí)對(duì)應(yīng)的有效碰撞頻率。注意，這是電子受離子的大量的二體作用疊加，其初始速度減為0，獲得這種效果算為一次“碰撞”，每秒鐘的“碰撞”次數(shù)稱有效碰撞頻率，這里加“有效”二字以示與中性氣體短程力的真正的一次碰撞相區(qū)別。碰撞頻率、碰撞時(shí)間都是特征參量。碰撞頻率改寫為為一次散射偏轉(zhuǎn)角的大角散射截面，為大角散射對(duì)應(yīng)的碰撞頻率，也稱近碰撞頻率，因此可以稱為小角散射對(duì)應(yīng)的碰撞頻率。

小角度散射在二體碰撞中占主要地位，即試驗(yàn)粒子初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變，主要由大量小角散射積累的結(jié)果，而一次性大角散射只起次要作用。庫(kù)侖對(duì)數(shù)就是庫(kù)侖碰撞中出現(xiàn)的一個(gè)參量，其大小反映庫(kù)侖碰撞過程中小角度散射與大角度散射過程的相對(duì)重要性。庫(kù)侖對(duì)數(shù)值越大，表明小角散射過程越顯重要。在熱核等離子體中，值在10～20之間，因此在庫(kù)侖碰撞中小角散射（遠(yuǎn)碰撞）起主要作用，這是等離子體中庫(kù)侖長(zhǎng)程作用的特點(diǎn)。在庫(kù)侖對(duì)數(shù)中，與兩粒子相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度u有關(guān)，如果對(duì)粒子的分布函數(shù)求平均，則會(huì)帶來麻煩。但由于值很大，又出現(xiàn)在對(duì)數(shù)項(xiàng)中，它對(duì)u值的變化不靈敏，通常是直接用其平均值代替。必須指出，前面在處理庫(kù)侖對(duì)數(shù)發(fā)散問題時(shí)，考慮電荷屏蔽效應(yīng)，采用的是（在德拜屏蔽距離上）庫(kù)侖截?cái)喾椒āＨ绻⑸湮⒎纸孛嬷苯佑玫掳萜帘蝿?shì)求得的公式，就不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散問題，所得結(jié)果與庫(kù)侖截?cái)喾椒ǖ南嗤?，只是在?kù)侖對(duì)數(shù)項(xiàng)中稍有差別，對(duì)總的結(jié)果影響不大。以上處理方法只適用于電子-離子作用。6.4等離子體的弛豫時(shí)間與碰撞頻率

當(dāng)?shù)入x子體偏離平衡態(tài)分布時(shí)，靠其自身粒子間的相互作用（碰撞），使其恢復(fù)平衡分布所需要的特征時(shí)間稱弛豫時(shí)間，弛豫時(shí)間的倒數(shù)，一般為相應(yīng)的碰撞頻率。1.動(dòng)量能量變化率

前面已得試驗(yàn)粒子的動(dòng)量變化率

這些結(jié)果都是在質(zhì)心系中計(jì)算的。上式中相對(duì)速度

是固定的，而且vα、vβ在質(zhì)心系與實(shí)驗(yàn)室系中只相差一恒定的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度V，因而它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度u及改變量、在兩個(gè)坐標(biāo)系中是相同的。動(dòng)量變化率公式只與相對(duì)速度u有關(guān)，因此它在實(shí)驗(yàn)室系中也適用，上面公式及相關(guān)的量都可理解為實(shí)驗(yàn)室系中的量，其結(jié)果仍然正確。原來假定u是固定的。現(xiàn)在如果場(chǎng)粒子具有速度分布，則相對(duì)速度u就是變化的。設(shè)實(shí)驗(yàn)室系中，場(chǎng)粒子速度在間單位體積的粒子數(shù)為，對(duì)場(chǎng)粒子速度分布求平均得

現(xiàn)在中，都是實(shí)驗(yàn)室系中的速度。庫(kù)侖對(duì)數(shù)對(duì)u的變化不靈敏，可用平均值代替，移到積分外，則為便于計(jì)算和書寫簡(jiǎn)便，令

v代替vα，v’代替vβ，上式可改寫為上式計(jì)算可借用已知電荷分布求電場(chǎng)、電勢(shì)方法。令則只要給出場(chǎng)粒子的速度分布，就可計(jì)算積分或。電荷分布產(chǎn)生的電場(chǎng)、電勢(shì)公式假設(shè)分布是球?qū)ΨQ的很容易用高斯定理計(jì)算得到假設(shè)試驗(yàn)粒子對(duì)場(chǎng)粒子的作用引起場(chǎng)粒子分布的變化可以忽略，場(chǎng)粒子分布服從穩(wěn)定的麥克斯韋分布式中為場(chǎng)粒子的最可幾速率。代入計(jì)算。則得式中誤差函數(shù)最后得

結(jié)果表明，的方向與試驗(yàn)粒子速度v反平行，說明試驗(yàn)粒子受場(chǎng)粒子的碰撞作用不斷減速?，F(xiàn)在以實(shí)驗(yàn)粒子的實(shí)驗(yàn)室系速度v劃分平行與垂直類似地，也可求能量的變化率：試驗(yàn)粒子經(jīng)歷一次碰撞的動(dòng)能變化

利用動(dòng)量守恒，能量守恒則有于是

則得平均能量變化率利用則得平均能量變化率可以研究高能離子束能量慢化速率和加熱等離子體問題。注意：已得但

它代表試驗(yàn)粒子受場(chǎng)粒子作用后在垂直初始速度方向上的偏轉(zhuǎn)或速度空間的橫向擴(kuò)散，是重要的一個(gè)物理量。應(yīng)用如下關(guān)系式：由此得已知結(jié)果代入得

現(xiàn)在已得到試驗(yàn)粒子經(jīng)受麥克斯韋分布的場(chǎng)粒子作用，平均動(dòng)量、能量的變化率：如果試驗(yàn)粒子就是等離子體中的粒子，則還需要對(duì)試驗(yàn)粒子的速度分布求平均！

2.動(dòng)量弛豫時(shí)間與碰撞頻率弛豫時(shí)間定義:

為試驗(yàn)粒子的初始動(dòng)量，稱為縱向減速時(shí)間，稱為橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)間，相應(yīng)地和為相應(yīng)過程的碰撞頻率。由已知的結(jié)果得式中標(biāo)出了實(shí)驗(yàn)粒子α和場(chǎng)粒子β的角標(biāo)。庫(kù)侖對(duì)數(shù)應(yīng)對(duì)不同粒子的相對(duì)速度u求平均，因它對(duì)u不靈敏，在這里就不考慮其差別，現(xiàn)在也簡(jiǎn)化地寫為。分不同情況進(jìn)行計(jì)算與討論：（i）試驗(yàn)粒子為電子電子與電子碰撞和電子與離子碰撞兩種情況：

電子-離子

電子-電子（假定試驗(yàn)粒子能量較高或僅為了考慮數(shù)量級(jí)方便）如果試驗(yàn)粒子就是等離子體中的一種粒子，弛豫時(shí)間還需對(duì)試驗(yàn)粒子的麥克斯韋分布求平均，所得結(jié)果稱平均弛豫時(shí)間：對(duì)試驗(yàn)粒子速度分布求平均，最簡(jiǎn)單的辦法：稍嚴(yán)格些：用后一種平均方法的結(jié)果得是電子平均弛豫時(shí)間

（ii）試驗(yàn)粒子為離子，現(xiàn)只考慮離子與離子碰撞。類似方法計(jì)算，得

為離子與離子碰撞的平均弛豫時(shí)間。（iii）試驗(yàn)粒子為離子，與等離子體中的電子碰撞。

將、結(jié)果代入，然后再用離子的分布函數(shù)對(duì)求平均，得代表離子與電子碰撞的平均弛豫時(shí)間。

共有8種弛豫時(shí)間，在數(shù)量級(jí)意義上可分為三類；其大小之比為如果因?yàn)殡x子質(zhì)量比電子質(zhì)量大很多，弛豫時(shí)間和相應(yīng)的碰撞頻率

電子的弛豫時(shí)間最短，碰撞頻率最高；離子被離子碰撞的弛豫時(shí)間次之；離子被電子碰撞的弛豫時(shí)間最長(zhǎng)。一種試驗(yàn)粒子可以受多種場(chǎng)粒子作用，因而總的弛豫時(shí)間倒數(shù)等于各種場(chǎng)粒子作用弛豫時(shí)間倒數(shù)之和，這是因?yàn)楦鞣N作用過程的頻率是相加的?？偟某谠r(shí)間主要由最短的一種決定的。因此，在討論弛豫過程時(shí)，只需選取其中最短的一個(gè)弛豫時(shí)間為代表。如果等離子體不處于平衡狀態(tài)，則可通過碰撞逐步達(dá)到平衡，首先是電子達(dá)到平衡，然后離子也達(dá)到平衡，最后才是電子和離子間達(dá)到完全的平衡。根據(jù)平均碰撞時(shí)間,還可以定義電子、離子的平均自由程和分別為電子、離子的為均方根速率如果，則，這表明，電子與離子的平均自由程是相等的。原因：雖然離子的碰撞時(shí)間遠(yuǎn)比電子的大很多，但溫度相同時(shí)，離子熱運(yùn)動(dòng)速度比電子的小很多，因此在相鄰兩次碰撞期間，它們自由行走的路程相等。6.5等離子體的能量弛豫與溫度平衡時(shí)間

等離子體中粒子間的二體碰撞可以交換動(dòng)量，也可以交換能量，因此高能的帶電粒子束通過等離子體時(shí)，與其中的電子、離子碰撞交換能量，使其動(dòng)能損失——慢化，而等離子體獲得能量——加熱。在核聚變研究中高能粒子束注入加熱等離子體，核聚變反應(yīng)產(chǎn)生的高能氦離子的慢化使等離子體自加熱，都屬于這類問題。等離子體可能出現(xiàn)電子、離子不處于熱平衡狀態(tài)，或電子、離子分別處于熱平衡，但它們之間溫度不同，這些都可通過粒子間碰撞交換能量，逐漸達(dá)到熱平衡。以上這些問題都屬于等離子體中的能量弛豫問題。下面分別進(jìn)行討論。1.高能粒子束的慢化與等離子體加熱

設(shè)一束高能帶電粒子束射入等離子體，受場(chǎng)粒子（離子、電子）作用交換能量，高能粒子束的能量變化率：

式中。為了簡(jiǎn)化式子，令

引入函數(shù)則能量變化率：

現(xiàn)在只需研究隨x的變化，就可以了解入射離子或電子束與等離子體中各類粒子的能量交換和加熱情況。

當(dāng)時(shí)極大當(dāng)時(shí)，，粒子束從等離子體中獲得能量；當(dāng)時(shí)，等離子體從粒子束獲得能量，而且當(dāng)時(shí)，能量從粒子束轉(zhuǎn)移到等離子體的效果最好。現(xiàn)在結(jié)合具體例子進(jìn)行討論：（1）高能電子束的慢化與等離子體加熱

高能電子束通過等離子體，分別對(duì)其中的電子和離子加熱。設(shè)入射電子束的速度為能量為，則設(shè)電子束能量足夠高，電子-電子作用：電子-離子作用：則得電子束的能量變化率

在計(jì)算過程中，式中的第2項(xiàng)較小被忽略。上式右邊括弧中第1項(xiàng)為離子的貢獻(xiàn)，第2項(xiàng)為電子的貢獻(xiàn)。結(jié)果表明，電子的加熱效率比離子的高倍。因?yàn)殡娮?電子間碰撞，能量交換顯著，但高速電子與質(zhì)量比它大得多的離子碰撞，電子動(dòng)量可能變化很大，而能量交換卻很小。（2）高能離子束的慢化與等離子體加熱

設(shè)入射離子束的電荷、質(zhì)量、速度、能量分別為zie、mbi、vbi、εbi，如果入射離子能量很高，其速度大于等離子體中電子熱速度，當(dāng)然遠(yuǎn)大于離子的熱速度，則高能離子束的慢化與電子束的結(jié)果相似，它對(duì)等離子體中離子、電子的相對(duì)加熱比率與電子束情況相同。現(xiàn)在設(shè)入射離子束的速度小于電子熱速度，但又大于離子熱速度：在這種情況下，高能離子束慢化及對(duì)等離子體中離子、電子加熱，可由分別計(jì)算離子-離子和離子-電子的能量變化率，然后相加，得第1個(gè)方括號(hào)是離子加熱項(xiàng)，第2個(gè)是電子加熱項(xiàng)。當(dāng)y>2，x<0.3時(shí)，滿足條件則注意，式中zi為入射離子束的原子序數(shù)，z為等離子體中離子的原子序數(shù)，vbi、εbi為入射離子束的速度與能量。方括號(hào)中的兩項(xiàng)，第1項(xiàng)為加熱離子、第2項(xiàng)為加熱電子.如果加熱離子和加熱電子的比例相同，則方括號(hào)中這兩項(xiàng)應(yīng)相等，這時(shí)入射離子能量結(jié)果表明：當(dāng)時(shí)，則離子束慢化時(shí)，等離子體中的離子和電子獲得相同大小的能量；當(dāng)時(shí)，則電子獲得較多能量；當(dāng)時(shí)，離子獲得較多能量。

以高能氘離子束注入氘等離子體為例則還可以計(jì)算離子束慢化時(shí)間式中為離子束初始能量。

2.能量弛豫和溫度平衡時(shí)間如果等離子體中兩組分處于不同溫度的麥克斯韋分布，通過粒子間碰撞交換能量，可以趨向平衡，使溫度一致。這種能量弛豫過程的時(shí)間稱能量弛豫時(shí)間或溫度平衡時(shí)間。設(shè)等離子體兩組分處于不同溫度的麥克斯韋分布，設(shè)想一束以速度入射的粒子與速度為的場(chǎng)粒子碰撞，引起能量變化率為，由于β粒子具有溫度為Tβ的麥克斯韋分布，則應(yīng)對(duì)β粒分布求平均得α粒子也是具有溫度為Tα的麥克斯韋分布，則也應(yīng)對(duì)α粒分布求平均，得式中Q

就是兩組分間單位時(shí)間交換的熱能?，F(xiàn)在定義能量弛豫時(shí)間：

前面已經(jīng)得到，現(xiàn)在只要再對(duì)α粒子的麥克斯韋分布求平均。對(duì)α粒子速度分布求平均只需計(jì)算如下兩個(gè)積分：結(jié)果：式中，代入后得能量弛豫時(shí)間，也稱溫度平衡時(shí)間

上式可分別應(yīng)用于電子-電子、離子-離子和電子-離子間的溫度平衡過程，則可得這些弛豫過程的時(shí)間。電子-電子：離子-離子：電子-離子：以上三種能量弛豫時(shí)間的比較

設(shè)結(jié)果表明，如果等離子體各成份都未達(dá)到平衡，則電子達(dá)到熱平衡的時(shí)間最短，此過程最快，離子次之，電子-離子間達(dá)到平衡時(shí)間最長(zhǎng)，過程最慢。在受控核聚變研究中，由于加熱方法或壓縮方法不同，可能出現(xiàn)遠(yuǎn)離平衡情況，如大電流歐姆加熱，主要是電子獲得功率；動(dòng)力學(xué)壓縮，離子獲得的動(dòng)能大，而且是定向的，還有離子束加熱、中性粒子束注入加熱等都需要經(jīng)過碰撞達(dá)到熱化和溫度平衡。弛豫過程時(shí)間在核聚變中是很重要的。

需要說明：計(jì)算的3個(gè)能量弛豫時(shí)間與相應(yīng)的動(dòng)量弛豫時(shí)間近似相等。在數(shù)量級(jí)意義上，今后不再區(qū)分這兩種類型的弛豫時(shí)間。各種弛豫時(shí)間公式，用不同的平均方法或計(jì)算方法，表示式會(huì)有所不同，但其中所含的物理量因子在量綱上是相同的，只是公式中所含的數(shù)值系數(shù)有所差異。因此各種參考書、文獻(xiàn)資料上所列的或引用的公式可能不相同，但是在數(shù)量級(jí)上是完全一致的。嚴(yán)格地講，各種弛豫過程的精確結(jié)果需要用動(dòng)理學(xué)方程的方法嚴(yán)格求解。還有：采用庫(kù)侖場(chǎng)截?cái)喾椒◣в腥我庑?、二體散射的量子效應(yīng)在密度很高時(shí)也得考慮，這些因素引起的修正都反映在庫(kù)侖對(duì)數(shù)項(xiàng)中，其誤差約為10%。

6.6等離子體電導(dǎo)率和電子逃逸

若等離子體加上電場(chǎng)E，則離子、電子在電場(chǎng)作用下方向相反的定向加速運(yùn)動(dòng)，形成電流，由于電子與離子間的碰撞產(chǎn)生的動(dòng)力摩擦，使電流不可能無限增長(zhǎng)，會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值。電流與電場(chǎng)間的平衡關(guān)系，反映了等離子體的導(dǎo)電特性。1.無磁場(chǎng)時(shí)電導(dǎo)率電子、離子作為兩種流體，其宏觀速度不同電流定義：由電子運(yùn)動(dòng)方程求電子宏觀速度ue

當(dāng)外磁場(chǎng)B=0、而且假定、，則電子運(yùn)動(dòng)方程

式中為電子受到離子的摩擦阻力，它可以用電子受離子碰撞引起的動(dòng)量變化率，然后對(duì)離子、電子平移麥克斯韋速度分布（以各自平均速度平移）求平均得到，是離子對(duì)電子流體的宏觀作用力。通常取如下簡(jiǎn)單形式：用6.4節(jié)結(jié)果

達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)代入電流定義得

這就是無磁場(chǎng)時(shí)的歐姆定律，式中

σ為等離子體無磁場(chǎng)時(shí)電導(dǎo)率。應(yīng)用碰撞頻率，則

結(jié)果表明：電導(dǎo)率與電子溫的成正比，這是等離子體的一個(gè)重要特性。一般導(dǎo)體的電導(dǎo)率是溫度愈高電導(dǎo)率越小，而等離子體則相反，因此高溫等離子體是非常好的導(dǎo)電流體，有時(shí)就當(dāng)作理想導(dǎo)電流體。2.有磁場(chǎng)時(shí)電導(dǎo)率如有外磁場(chǎng)B，電子運(yùn)動(dòng)方程中增加洛侖茲力項(xiàng)，定態(tài)情況

設(shè)，，則方程可分解為x、y兩個(gè)分量方程解方程組，得

式中這里就是垂直磁場(chǎng)、電場(chǎng)引起電流的電導(dǎo)率。就是無磁場(chǎng)時(shí)的電導(dǎo)率。方程組還可解得則電流就是霍爾電流，它垂直于磁場(chǎng)、又垂直于電場(chǎng)。為霍爾電流分量的電導(dǎo)率對(duì)于強(qiáng)磁場(chǎng)，這些結(jié)果與第4章4.7節(jié)的結(jié)果是一致的。

3.電子逃逸

在等離子體中，由于庫(kù)侖碰撞，電子要受到離子對(duì)它的動(dòng)摩擦力。根據(jù)6.4節(jié)，動(dòng)摩擦力這表明隨著電子速度增大，動(dòng)摩擦力迅速減小。6.4節(jié)結(jié)果：等離子體中如果有外加電場(chǎng)時(shí)，電子在電場(chǎng)作用下做加速運(yùn)動(dòng)，電子速度不斷增大，動(dòng)摩擦力