高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題10.9 概率全章綜合測(cè)試卷（提高篇）（教師版）

第十章概率全章綜合測(cè)試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022秋·上海浦東新·高二期末）已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個(gè)命題：①若任取x∈A，則x∈B是必然事件；②若任取x?A，則x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件；④若任取x?B，則x?A是必然事件．其中正確的命題有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】由題意作出韋恩圖，結(jié)合必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【解答過程】因?yàn)榧螦是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：對(duì)于①：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取x∈A，則x∈B是必然事件，故①正確；對(duì)于②：任取x?A，則x∈B是隨機(jī)事件，故②不正確；對(duì)于③：因?yàn)榧螦是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)榧螦中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取x?B，則x?A是必然事件，故④正確；所以①③④正確，正確的命題有3個(gè)．故選：C．2．（5分）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列命題正確的是A．用事件A發(fā)生的頻率fnA估計(jì)概率PAB．若事件A與事件B相互獨(dú)立，則事件A與事件B相互獨(dú)立.C．事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小.D．拋擲一枚均勻的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性就比反面大.【解題思路】根據(jù)概率的定義，事件的獨(dú)立性概念判斷各選項(xiàng)．【解答過程】在相同的條件下做大量重復(fù)試驗(yàn),一個(gè)事件A出現(xiàn)的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)n之比,稱為事件A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí),頻率將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近.n越大,頻率偏離這個(gè)常數(shù)較大的可能性越小.這個(gè)常數(shù)稱為這個(gè)事件的概率，并不是說n越大，估計(jì)的精度越精確，A錯(cuò)；事件A與事件B相互獨(dú)立，即A是否發(fā)生與B是否發(fā)生無(wú)關(guān)，∴事件A是否發(fā)生與事件B是否發(fā)生也無(wú)關(guān)，它們相互獨(dú)立，B正確；拋一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5記為事件A，出現(xiàn)的點(diǎn)為不小于2記為事件B，則事件A與事件B同時(shí)發(fā)生是指點(diǎn)數(shù)為2，3，4，5，概率為46=23，而事件A與拋擲一枚均勻的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性與出現(xiàn)反面的可能性還是一樣．D錯(cuò)．故選：B．3．（5分）（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）（福建省福州2018屆高三質(zhì)檢）規(guī)定：投擲飛鏢3次為一輪，若3次中至少兩次投中8環(huán)以上為優(yōu)秀.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某選手投擲一次命中8環(huán)以上的概率為45907

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989據(jù)此估計(jì)，該選手投擲1輪，可以拿到優(yōu)秀的概率為A．45 B．C．112125 D．【解題思路】根據(jù)隨機(jī)模擬產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行求解即可.【解答過程】由所給數(shù)據(jù)可知，20組數(shù)據(jù)中有3組191，031，113不是優(yōu)秀，其余17組是優(yōu)秀，所以可以拿到優(yōu)秀的概率為1720故選D．4．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋中任取4個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（

）A．至多有2個(gè)白球與恰有3個(gè)白球 B．至少有1個(gè)白球與都是紅球C．恰有1個(gè)紅球與恰有3個(gè)白球 D．至多有1個(gè)紅球與至多有1個(gè)白球【解題思路】根據(jù)給定條件，分析各個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)事件包含的基本事件，再結(jié)合對(duì)立事件、互斥事件的定義判斷作答.【解答過程】從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋中任取4個(gè)球的基本事件有：4個(gè)紅球，1個(gè)白球3個(gè)紅球，2個(gè)白球2個(gè)紅球，3個(gè)白球1個(gè)紅球，對(duì)于A，至多有2個(gè)白球的事件有：2個(gè)白球2個(gè)紅球，1個(gè)白球3個(gè)紅球，4個(gè)紅球，恰有3個(gè)白球的事件是3個(gè)白球1紅球的事件，顯然兩個(gè)事件互斥且對(duì)立，A不是；對(duì)于B，至少有1個(gè)白球的事件有：1個(gè)白球3個(gè)紅球，2個(gè)白球2個(gè)紅球，3個(gè)白球1紅球，都是紅球的事件是4個(gè)紅球，顯然兩個(gè)事件互斥且對(duì)立，B不是；對(duì)于C，恰有1個(gè)紅球的事件是3個(gè)白球1紅球的事件，因此恰有1個(gè)紅球與恰有3個(gè)白球?yàn)橥皇录?，C不是；對(duì)于D，至多有1個(gè)紅球的事件是1個(gè)紅球3個(gè)白球的事件，至多有1個(gè)白球的事件有：1個(gè)白球3個(gè)紅球，4個(gè)紅球，顯然這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，可以同時(shí)不發(fā)生，即至多有1個(gè)紅球與至多有1個(gè)白球是互斥而不對(duì)立的事件，D是.故選：D.5．（5分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人對(duì)同一個(gè)靶各射擊一次，設(shè)事件A=“甲擊中靶”，事件B=“乙擊中靶”，事件E=“靶未被擊中”，事件F=“靶被擊中”，事件G=“恰一人擊中靶”，對(duì)下列關(guān)系式（A表示A的對(duì)立事件，B表示B的對(duì)立事件）：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥PFA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)事件關(guān)系，靶為被擊中即甲乙均未擊中；靶被擊中即至少一人擊中，分為恰有一人擊中或兩人都擊中，依次判定即可.【解答過程】由題可得：①E=AB，正確；②事件F=“靶被擊中”，AB表示甲乙同時(shí)擊中，F(xiàn)=AB+A③F=A+B，正確，④A+B表示靶被擊中，所以④錯(cuò)誤；⑤G=AB+AB，正確；⑥E,F互為對(duì)立事件，P(F)=1?P(E)，正確；⑦P(F)=P(A)+P(B)?P(AB)正確的是①③⑤⑥．故選：B.6．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題．已知他答對(duì)這三道題的概率分別為a，a，12，且各題答對(duì)與否互不影響，若他恰好能答對(duì)兩道題的概率為14，則他三道題都答錯(cuò)的概率為（A．12 B．13 C．14【解題思路】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，并利用D，E，F(xiàn)構(gòu)造相應(yīng)的事件，根據(jù)概率加法公式與乘法公式求解相應(yīng)事件的概率.【解答過程】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨(dú)立，且PD恰好能答對(duì)兩道題為事件DEF+DE所以P=P=a×a×1?整理得1?a2=1故PD故選：C.7．（5分）（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）某校高二年級(jí)學(xué)生舉行中國(guó)象棋比賽，經(jīng)過初賽，最后確定甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，最后的勝者獲得冠軍，比賽結(jié)束.若經(jīng)抽簽，已知第一場(chǎng)甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12，則（

A．甲獲得冠軍的概率最大 B．甲比乙獲得冠軍的概率大C．丙獲得冠軍的概率最大 D．甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等【解題思路】根據(jù)比賽進(jìn)行的場(chǎng)次進(jìn)行分類討論，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，求得甲、乙、丙三人獲得冠軍的概率，從而確定正確答案．【解答過程】根據(jù)決賽規(guī)則，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽，（1）甲獲得冠軍有兩種情況：①共比賽四場(chǎng)結(jié)束，甲四連勝奪冠，概率為(1②共比賽五場(chǎng)結(jié)束，并且甲獲得冠軍．則甲的勝、負(fù)、輪空結(jié)果共有四種情況∶勝勝勝負(fù)勝，勝勝負(fù)空勝，勝負(fù)空勝勝，負(fù)空勝勝勝，概率分別為(12)因此，甲最終獲得冠軍的概率為116（2）乙獲得冠軍，與（1）同理，概率也為932（3）丙獲得冠軍，概率為1?9由此可知丙獲得冠軍的概率最大，即A，B，D錯(cuò)誤，C正確，故選∶C．8．（5分）（2022春·河北邢臺(tái)·高一階段練習(xí)）小趙同學(xué)準(zhǔn)備了四個(gè)游戲，四個(gè)游戲中的不透明的盒子中均裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球（小球除顏色外都相同），游戲規(guī)則如下表所示：游戲1游戲2游戲3游戲4取球規(guī)則一次性取一個(gè)，取一次一次性取兩個(gè)，取一次一次性取一個(gè)，不放回地取兩次一次性取一個(gè)，有放回地取兩次獲勝規(guī)則取到紅球→小趙勝取到白球→小趙敗兩個(gè)球不同色→小趙勝兩個(gè)球同色→小趙敗兩個(gè)球不同色→小趙勝兩個(gè)球同色→小趙敗兩個(gè)球不同色→小趙勝兩個(gè)球同色→小趙敗若你和小趙同學(xué)玩這四個(gè)游戲中的一個(gè)，你想獲勝，則應(yīng)該選（

）A．游戲1 B．游戲2 C．游戲3 D．游戲4【解題思路】分別求出游戲1、游戲2、游戲3、游戲4試驗(yàn)的樣本空間，設(shè)事件A=“取到白球”，事件B=“取到的兩個(gè)球同色”，事件C=“取到的兩個(gè)球同色”，事件D=“取到的兩個(gè)球同色”，求出事件A、B、C、D包含的樣本個(gè)數(shù)，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.【解答過程】設(shè)3個(gè)白球分別為a，b，c，2個(gè)紅球分別為1，2.游戲1：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為Ω=a,b,c,1,2，共包含5個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件A=“取到白球”，則A=a,b,c游戲2：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為Ω=a,b,a,c,a,1,游戲3：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為Ωc,1,共包含20個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件C=“取到的兩個(gè)球同色”，則C=a,b,b,a游戲4：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為Ωc,1,共包含25個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件D=“取到的兩個(gè)球同色”，則D=c,a,包含13個(gè)樣本點(diǎn)，所以PD故選：A.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022春·黑龍江哈爾濱·高一階段練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．若A，B為兩個(gè)事件，則“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件B．若A，B為兩個(gè)事件，則PC．若事件A，B，C兩兩互斥，則PD．若事件A，B滿足PA+PB=1，則【解題思路】A.“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件，所以該選項(xiàng)正確；B.PA+BC.舉反例說明PAD.舉反例說明A與B不對(duì)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【解答過程】解：A.若A，B為兩個(gè)事件，“A與B互斥”則“A與B不一定相互對(duì)立”；“A與B相互對(duì)立”則“A與B互斥”，則“A與B互斥”是“A與B相互對(duì)立”的必要不充分條件，所以該選項(xiàng)正確；B.若A，B為兩個(gè)事件，則PA+BC.若事件A，B，C兩兩互斥，則PA+PB+PC=1不一定成立，如：擲骰子一次，記A=向上的點(diǎn)數(shù)為1，B=向上的點(diǎn)數(shù)為2，C=向上的點(diǎn)數(shù)為3，事件A，D.拋擲一枚均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是12，擲一枚硬幣，正面向上的概率是12，滿足PA+PB故選：BCD.10．（5分）（2022·高一單元測(cè)試）連擲一枚均勻的骰子兩次，向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記t=m+n，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．事件“t=12”的概率為121 B．事件“t是奇數(shù)”與“m=nC．事件“t=2”與“t≠3”為互斥事件 D．事件“t>8且mn<32”的概率為1【解題思路】對(duì)于A，事件“t=12”為兩次都擲出6點(diǎn)，可求得事件“t=12”的概率，判斷A；對(duì)于B，事件“t是奇數(shù)”與“m=n”互為互斥但不對(duì)立事件，判斷B；對(duì)于C，事件“t=2”與“t≠3”可以同時(shí)發(fā)生，判斷C；對(duì)于D，列出事件“t>8且mn<32”的可能情況，求得其概率，即可判斷.【解答過程】連擲一枚均勻的骰子兩次，向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有6×6=36個(gè)樣本點(diǎn)，又t=m+n，則事件“t=12”為兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t=12”的概率為136事件“t是奇數(shù)”即兩次向上的點(diǎn)數(shù)為一次為奇數(shù)一次為偶數(shù)，與“m=n”為互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；事件“t=2”與“t≠3”可以同時(shí)發(fā)生，故二者不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；事件“t>8且mn<32”的情況有m=3n=6，m=4n=5，m=4n=6，m=5n=4，m=5n=5，m=5n=6，故事件“t>8且mn<32”的概率為936故選：ABC.11．（5分）（2023秋·陜西西安·高二期末）疫情當(dāng)下，通過直播帶貨來(lái)助農(nóng)，不僅為更多年輕人帶來(lái)了就業(yè)崗位，同時(shí)也為當(dāng)?shù)剞r(nóng)民銷售出了農(nóng)產(chǎn)品，促進(jìn)了當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展.某直播平臺(tái)的主播現(xiàn)要對(duì)6種不同的臍橙進(jìn)行選品，其方法為首先對(duì)這6種不同的臍橙（數(shù)量均為1），進(jìn)行標(biāo)號(hào)為1~6，然后將其放入一個(gè)箱子中，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)臍橙，記第一次取出的臍橙的標(biāo)號(hào)為a1，第二次為a2，設(shè)A=a1a2，其中[A．P(a1+a2=5)=C．P(a1>a2)=【解題思路】根據(jù)有放回的隨機(jī)取兩次結(jié)果36種逐個(gè)分析判斷即可解決.【解答過程】由題知，從中有放回的隨機(jī)取兩次，結(jié)果有（記為a111,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,共36種，若a1+a2所以P(a若a1=6，則所以與A=0互斥，故B正確；P(a當(dāng)a1=3,a2=2時(shí)，A=所以事件a2=1與故選：BC.12．（5分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）4支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（任兩支球隊(duì)恰進(jìn)行一場(chǎng)比賽），任兩支球隊(duì)之間勝率都是12．單循環(huán)比賽結(jié)束，以獲勝的場(chǎng)次數(shù)作為該隊(duì)的成績(jī)，成績(jī)按從大到小排名次順序，成績(jī)相同則名次相同．下列結(jié)論中正確的是（

A．恰有四支球隊(duì)并列第一名為不可能事件 B．有可能出現(xiàn)恰有三支球隊(duì)并列第一名C．恰有兩支球隊(duì)并列第一名的概率為14 D．只有一支球隊(duì)名列第一名的概率為【解題思路】4支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽總的比賽共有C42=6選項(xiàng)A，這6場(chǎng)比賽中不滿足4支球隊(duì)得分相同的的情況；選項(xiàng)B，舉特例說明即可；選項(xiàng)C，在6場(chǎng)比賽中，從中選2支球隊(duì)并列第一名有C4選項(xiàng)D，只有一支球隊(duì)名列第一名，則該球隊(duì)?wèi)?yīng)贏了其他三支球隊(duì)，由古典概型問題計(jì)算即可.【解答過程】4支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽總的比賽共有C42=6選項(xiàng)A，這6場(chǎng)比賽中若4支球隊(duì)優(yōu)先各贏一場(chǎng)，則還有2場(chǎng)必然有2支或1支隊(duì)伍獲勝，那么所得分值不可能都一樣，故是不可能事件，正確；選項(xiàng)B，其中a,b,b,c,選項(xiàng)C，在a,b,b,c,c,d,d,a,a,c,d,b6場(chǎng)比賽中，從中選2支球隊(duì)并列第一名有C42=6種可能，若選中a，b，其中第一類a贏b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d選項(xiàng)D，從4支球隊(duì)中選一支為第一名有4種可能；這一支球隊(duì)比賽的3場(chǎng)應(yīng)都贏，則另外3場(chǎng)的可能有23=8種，故只有一支球隊(duì)名列第一名的概率為故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為12【解題思路】根據(jù)隨機(jī)數(shù)以及古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【解答過程】解：兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1，2，3，4中的之一.它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10個(gè)，因此所求的概率為1020故答案為：1214．（5分）（2022春·黑龍江哈爾濱·高一期末）哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如8=3+5，在不超過11的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是35【解題思路】先把不超過11的素?cái)?shù)列舉出來(lái)，再利用列舉法與古典概型的概率求法求解即可.【解答過程】因?yàn)椴怀^11的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11五個(gè)數(shù)，從中選取兩個(gè)不同的數(shù)的基本事件有2,3,其中和為偶數(shù)的基本事件有3,5,所以和為偶數(shù)的概率為610故答案為：3515．（5分）（2022秋·上海徐匯·高二期末）甲?乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲?乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為34，乙每輪猜對(duì)的概率為23.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為5【解題思路】?jī)奢喕顒?dòng)猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ),相當(dāng)于事件“甲猜對(duì)1個(gè),乙猜對(duì)2個(gè)”、事件“甲猜對(duì)2個(gè),乙猜對(duì)1個(gè)”的和事件發(fā)生,根據(jù)獨(dú)立事件概率求法,即可得解.【解答過程】解：設(shè)A1,APAPB設(shè)A=“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”,則A=A1B2∪A2B1,且A1B所以PA=PA1B因此,“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率是512故答案為：51216．（5分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，C=“取出的2球至少有一個(gè)白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為①④.①A與D為對(duì)立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對(duì)立事件：④PC∪E=1；⑤【解題思路】在①中，由對(duì)立事件定義得A與D為對(duì)立事件；有②中，B與C有可能同時(shí)發(fā)生；在③中，C與E有可能同時(shí)發(fā)生；在④中，P(CUE)=P（C）+P（E）?P(CE)=1；在⑤中C≠B，從而P（B）≠P（C）．【解答過程】∵口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，C=“取出的2球至少有一個(gè)白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個(gè)白球”，①，由對(duì)立事件定義得A與D為對(duì)立事件，故①正確；②，B與C有可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件，故②錯(cuò)誤；③，C與E有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故③錯(cuò)誤；④，P（C）=1?615=35，P（E從而P(C∪E)=P（C）+P（E）?P(CE)=1，故④正確；⑤，C≠B，從而P（B）≠P（C），故⑤錯(cuò)誤．故答案為：①④．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤（1）得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤（2）得到的數(shù)為y，結(jié)果為x,y．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間．(2)求這個(gè)試驗(yàn)的基本事件個(gè)數(shù)．(3)“x+y=5”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件？“x<3且y>1”呢？(4)用集合A表示事件：xy=4；用集合B表示事件：x=y．【解題思路】（1）根據(jù)給定條件按兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中的數(shù)字依順序不重不漏地寫各對(duì)數(shù)即可得試驗(yàn)的樣本空間；（2）利用（1）即可求出樣本空間中的基本事件總數(shù)；（3）借助（1）的樣本空間即可寫出事件“x+y=5”、“x<3且y>1”的樣本點(diǎn)，從而確定基本事件；（4）借助（1）的樣本空間即可寫出事件xy=4”、“x=y”的樣本點(diǎn)得集合A，B．【解答過程】（1）解：這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為：Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}（2）解：由（1）可知，這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)為16．（3）解：“x+y=5”包含的樣本點(diǎn)為1,4，2,3，3,2，4,1．“x<3且y>1”包含的樣本點(diǎn)為1,2，1,3，1,4，2,2，2,3，2,4．（4）解：A=1,4,2,218．（12分）（2022·全國(guó)·高二期末）新冠疫情防控期間，為保證抗疫物資的質(zhì)量，我國(guó)加大了質(zhì)量檢測(cè)的力度.某市今年新增了兩家專門生產(chǎn)測(cè)溫槍的工廠.質(zhì)檢部門現(xiàn)從這兩家工廠各隨機(jī)抽取了100把測(cè)溫槍，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，得到甲、乙兩廠所生產(chǎn)的測(cè)溫槍的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表，如下表所示：質(zhì)量指標(biāo)值70,8080,9090,100100,110110,120甲廠測(cè)溫槍的頻數(shù)82436248乙廠測(cè)溫槍的頻數(shù)62638228已知每把測(cè)溫槍的等級(jí)與該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值間的關(guān)系如下表所示：質(zhì)量指標(biāo)值70,9090,100100,120等級(jí)二級(jí)一級(jí)特級(jí)（1）試?yán)脴颖竟浪憧傮w的思想分別估計(jì)甲、乙兩廠生產(chǎn)出來(lái)的一把測(cè)溫槍為特級(jí)測(cè)溫槍的概率；（2）若生產(chǎn)一把二級(jí)測(cè)溫槍、一級(jí)測(cè)溫槍、特級(jí)測(cè)溫槍分別可獲得純利潤(rùn)10元、20元、30元，且不考慮其他因素，試從平均數(shù)的角度分析哪家工廠生產(chǎn)測(cè)溫槍的利潤(rùn)更高.【解題思路】（1）分別計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率；（2）分別計(jì)算甲與乙的平均數(shù)，再進(jìn)行比較.【解答過程】（1）由表格可得，甲廠生產(chǎn)出來(lái)的一把測(cè)溫槍為特級(jí)測(cè)溫槍的頻數(shù)為32.故頻率為32100乙廠生產(chǎn)出來(lái)的一把測(cè)溫槍為特級(jí)測(cè)溫槍的頻數(shù)為30，故頻率為30100由此估計(jì)：甲廠生產(chǎn)出來(lái)的一把測(cè)溫槍為特級(jí)測(cè)溫槍的概率為0.32，乙廠生產(chǎn)出來(lái)的一把測(cè)溫槍為特級(jí)測(cè)溫槍的概率為0.30.（2）甲廠生產(chǎn)一把測(cè)溫槍的平均利潤(rùn)為y1乙廠生產(chǎn)一把測(cè)溫槍的平均利潤(rùn)為y2所以y1所以甲廠生產(chǎn)的測(cè)溫槍的利潤(rùn)更高.19．（12分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤A，B．轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份，分別標(biāo)上1，2，3三個(gè)數(shù)字；轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份，分別標(biāo)上3，4，5，6四個(gè)數(shù)字．有人為甲、乙兩人設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲規(guī)則：自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A與B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字，將指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)字相加，如果和是6，那么甲獲勝，否則乙獲勝．你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則公平嗎？如果公平，請(qǐng)說明理由；如果不公平，怎樣修改規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公平？【解題思路】運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式，列出表格，得到事件總數(shù)和和為6的事件個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)果.【解答過程】列表如下：由表可知，等可能的結(jié)果有12種，和為6的結(jié)果只有3種．因?yàn)镻(和為所以這樣的游戲規(guī)則不公平．如果將規(guī)則改為“和是6或7，則甲勝，否則乙勝”，那么此時(shí)游戲規(guī)則是公平的.20．（12分）（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高一開學(xué)考試）為增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，讓學(xué)生掌握更多的環(huán)保知識(shí)，某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”.為了解參加本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分取正整數(shù)，滿分100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（莖葉圖中僅列出了得分在50,60，90,100的數(shù)據(jù)），如下圖所示.(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值；(2)試估測(cè)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)；(3)在70,80，80,90內(nèi)按分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生的成績(jī)，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求2人成績(jī)都在70,80的概率.【解題思路】（1）利用50,60的頻數(shù)8及頻率0.16可得出樣本容量，進(jìn)而求出x，y的值；（2）中點(diǎn)值以及占比計(jì)算出平均值，面積法得到中位數(shù)；（3）使用列舉法得出2人成績(jī)都在70,80的概率.【解答過程】（1）由題意可知，樣本容量n=80.016×10=50x=0.1?0.004?0.010?0.016?0.04=0.030.（2）x=55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6設(shè)中位數(shù)為m，則(m?70)×0.04=0.5?0.16?0.3，所以m=71.（3）在[70,80)，[80,90)成績(jī)分組的學(xué)生分別為20人，5人，現(xiàn)要按分層抽樣抽取5人，則在[70,80)，[80,90)成績(jī)分組中各抽取4人，1人；記成績(jī)?cè)赱70,80)的學(xué)生為A，B，C，D，成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生為E.則從這5人中抽取2人有A,B，A,C，A,D，A,E，B,C，B,D，B,E，C,D，C,E，D,E共10種情況.2人成績(jī)都在[70,80)的有A,B，A,C，A,D，B,C，B,D，C,D共6種情況.所以從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，2人成績(jī)都在[70,80)的概率P=321．（12分）（2022秋·福建莆田·高二期中）甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為34（Ⅰ）求甲獲得冠軍的概率；（Ⅱ）求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇的概率.【解題思路】（Ⅰ）甲獲得冠軍，有三種途徑，第一種連勝三場(chǎng)，第二種先勝一場(chǎng)，然后輸一場(chǎng)勝兩場(chǎng)，第三種先輸一場(chǎng)，再連贏三場(chǎng)，求三種情況的概率之和即可.（Ⅱ）如果甲進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對(duì)手是第二次相遇，有三種可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三種情況的概率之和即可