選修4-4-簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

復(fù)習(xí)1、極坐標(biāo)系的四要素2、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)的條件極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位及它的正方向。第一頁第二頁，共43頁。3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式復(fù)習(xí)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：第二頁第三頁，共43頁。1.圓的極坐標(biāo)方程第三頁第四頁，共43頁。曲線的極坐標(biāo)方程

定義：如果曲線C上的點(diǎn)與方程f(

,

)=0有如下關(guān)系

(1)曲線C上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中至少有一個(gè))符合方程f(

,

)=0；

(2)方程f(

,

)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上。則曲線C的方程是f(

,

)=0。第四頁第五頁，共43頁。二求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣①建系（適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系）②設(shè)點(diǎn)

（設(shè)M（，)為要求方程的曲線上任意一點(diǎn)）③列等式（構(gòu)造⊿，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)

于M的等式）④將等式坐標(biāo)化⑤化簡(jiǎn)（此方程f(,)=0即為曲線的方程）第五頁第六頁，共43頁。[探究1]如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？xC(a,0)O第六頁第七頁，共43頁。[探究1]如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？M(,)xC(a,0)O

第七頁第八頁，共43頁。[探究2]如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,θ0)(a>0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？xC(a,θ0)O第八頁第九頁，共43頁。[探究2]如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,θ0)(a>0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？M(,)xC(a,θ0)Oθ0

第九頁第十頁，共43頁。

[例1]已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡(jiǎn)單？xOrM(,)第十頁第十一頁，共43頁。(1)圓心在極點(diǎn)，半徑為2；

(2)圓心在C(1,0)，半徑為1；

(3)圓心在(1,/2)，半徑為1；

(4)圓心在C(1,/3)，半徑為1。練習(xí)1、求下列圓的極坐標(biāo)方程

=2

=2cos

=2sin第十一頁第十二頁，共43頁。3、以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是C第十二頁第十三頁，共43頁。2、

極坐標(biāo)方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個(gè)圓的圓心距是多少?第十三頁第十四頁，共43頁。（）C第十四頁第十五頁，共43頁。第十五頁第十六頁，共43頁。第十六頁第十七頁，共43頁。

***小結(jié)***1.曲線的極坐標(biāo)方程概念2.怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程3.圓的極坐標(biāo)方程第十七頁第十八頁，共43頁。2.直線的極坐標(biāo)方程第十八頁第十九頁，共43頁。1.負(fù)極徑的定義

說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)值。(?)

第十九頁第二十頁，共43頁。1.負(fù)極徑的定義

對(duì)于點(diǎn)M(

，)負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定：

[1]作射線OP，使

XOP=

[2]在OP的反向

延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)

M，使|OM|=||第二十頁第二十一頁，共43頁。2.負(fù)極徑的實(shí)例

在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)M(－3，

/4)

的位置

[1]作射線OP，

使

XOP=/4

[2]在OP的反向

延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，

使|OM|=3第二十一頁第二十二頁，共43頁。1、過點(diǎn)(3,0)且與x軸垂直的直線方程為2、過點(diǎn)(2,3)且與y軸垂直的直線方程為x=3y=3***思考***第二十二頁第二十三頁，共43頁。例1：

⑴求過極點(diǎn)，傾斜角為的射線的極坐標(biāo)方程。（2）求過極點(diǎn)，傾斜角為的射線的極坐標(biāo)方程。第二十三頁第二十四頁，共43頁。（3）求過極點(diǎn)，傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程。第二十四頁第二十五頁，共43頁。

和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為或第二十五頁第二十六頁，共43頁。練習(xí)1：求過極點(diǎn)，傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程。第二十六頁第二十七頁，共43頁。例2、求過點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程。解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)ox﹚AM在中有即可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。為直線l上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OM,第二十七頁第二十八頁，共43頁。求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)；3、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于的方程，并化簡(jiǎn)；5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。第二十八頁第二十九頁，共43頁。

練習(xí)2求過點(diǎn)A(a,/2)(a>0)，且平行于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程。解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為直線l上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OM在中有即可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。Mox﹚Asin

＝aIOMIsin∠AMO=IOAI第二十九頁第三十頁，共43頁。例3

設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)A且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。﹚oMxA﹚第三十頁第三十一頁，共43頁。解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為直線上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接OM，在中，由正弦定理得即顯然A點(diǎn)也滿足上方程化簡(jiǎn)得﹚oMxA﹚第三十一頁第三十二頁，共43頁。練習(xí)3求過點(diǎn)P(4,/3)且與極軸夾角為

/6的直線的方程。第三十二頁第三十三頁，共43頁。例3：設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。oxMP﹚﹚A第三十三頁第三十四頁，共43頁。oxMP﹚﹚A解：如圖，設(shè)點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接OM，則為直線上除點(diǎn)P外由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知設(shè)直線L與極軸交于點(diǎn)A。則在中由正弦定理得顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)也是上式的解。即第三十四頁第三十五頁，共43頁。直線的幾種極坐標(biāo)方程1、過極點(diǎn):﹚o2、過某個(gè)定點(diǎn)垂直于極軸:ox﹚AM第三十五頁第三十六頁，共43頁。3、過某個(gè)定點(diǎn)平行于極軸Mox﹚Asin

＝a