第十五章-虛位移原理課件

在這本章，將介紹普遍適用于研究任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的一個(gè)原理，它應(yīng)用功的概念分析系統(tǒng)的平衡問題。從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，是解決靜力學(xué)平衡問題的另一途徑；不僅如此，將它與達(dá)朗伯原理相結(jié)合，組成了動(dòng)力學(xué)普遍方程，為求解復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題提供了另一種普遍方法，構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)。

§15-1約束?虛位移?虛功平面單擺例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)1．約束及其分類為研究方便，對(duì)靜力學(xué)中約束概念重新定義，即限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的各種條件稱為約束。表示這些限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程。下面從不同角度對(duì)約束分類。（1）幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束當(dāng)約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行限制時(shí)，這種約束條件稱為運(yùn)動(dòng)約束。如圖4，車輪作純滾動(dòng)。又如圖3，質(zhì)點(diǎn)M在固定曲面上運(yùn)動(dòng)，其曲面方程就是該質(zhì)點(diǎn)的約束方程，即限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機(jī)構(gòu)中的限制條件都是幾何約束。幾何約束運(yùn)動(dòng)約束當(dāng)約束條件與時(shí)間有關(guān)，并隨時(shí)間變化時(shí)，這類約束稱為非定常約束。如圖，初始時(shí)擺長

l0,勻速v拉動(dòng)繩子。則（2）定常約束和非定常約束約束條件不隨時(shí)間改變的約束為定常約束。定常約束方程中不顯含時(shí)間，前面的例子中約束條件都是定常約束。該方程中顯含時(shí)間t（3）其他約束若約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，且方程不可能積分為有限形式，即約束方程中含有的坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不是某一函數(shù)全微分，這類約束稱為非完整約束。反之，若約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的微分項(xiàng)可以積分為有限形式，這類約束稱為完整約束。例如上述做純滾動(dòng)的車輪的約束就是完整約束。完整約束的一般形式為幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運(yùn)動(dòng)約束，但運(yùn)動(dòng)約束未必是非完整約束。如右圖，剛性桿限制了質(zhì)點(diǎn)M拉伸和壓縮方向的位移，這類約束稱為雙側(cè)約束（或固執(zhí)約束）。若剛性桿改為繩，則只限制單一方向運(yùn)動(dòng)，該類約束稱為單側(cè)約束（或非固執(zhí)約束）。顯然雙側(cè)約束方程為等式，單側(cè)約束方程為不等式。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2

l2本章只討論定常的雙側(cè)幾何約束：式中n為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，s為完整約束的方程數(shù)。某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質(zhì)點(diǎn)系（在該瞬時(shí)）的虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號(hào)

表示虛位移。M2．虛位移系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)在平衡時(shí)本來是不動(dòng)的，但我們?cè)O(shè)想在約束允許條件下，給某質(zhì)點(diǎn)一個(gè)任意的、極其微小的位移。實(shí)位移是在一定條件下真正實(shí)現(xiàn)的位移，它除了與約束條件有關(guān)外，還與時(shí)間、主動(dòng)力以及運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)；而虛位移僅與約束條件有關(guān)，在定常約束下，實(shí)位移只是所有靴位移中的一個(gè)，而虛位移可以有多個(gè)，甚至無窮多個(gè)。而對(duì)于非定常約束，如圖所示，由于實(shí)位移與時(shí)間有關(guān)，而虛位移是將時(shí)間固定后，約束允許的位移，此時(shí)實(shí)位移不再是虛位移之一。*質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間存在著一定的關(guān)系,確定這些關(guān)系通常有兩種方法：(一)幾何法。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的位移與速度成正比，可以用分析速度的方法分析各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。

(二)解析法。質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)（q1,q2,……,qk），廣義坐標(biāo)分別有變分，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移在直角坐標(biāo)上的投影可以表示為力在質(zhì)點(diǎn)發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為。3．虛功虛功有正功和負(fù)功，它盡管和實(shí)位移中的元功采用了同一符號(hào)dW，但它們之間有本質(zhì)區(qū)別，虛功是假象的，不是真實(shí)發(fā)生的。在靜止質(zhì)點(diǎn)系或機(jī)構(gòu)中，力沒有做任何功，但力可以有虛功。[例1]

分析圖示機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，點(diǎn)C、A與B的虛位移。

(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個(gè)自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角

為廣義坐標(biāo)。1、幾何法將C、A、B點(diǎn)的坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo)

的函數(shù)，得2、解析法對(duì)廣義坐標(biāo)

求變分，得各點(diǎn)虛位移在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影：如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，所有約束力所做虛功的和等于零，稱這種約束為為理想約束。質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束的條件：

4．理想約束*在動(dòng)能定理一章中已分析過光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿、不可伸長的柔索、固定端等約束均為理想約束，現(xiàn)從虛功的角度，這些約束也為理想約束。1）光滑支承面2）光滑鉸鏈4）無重剛桿。5）不可伸長的柔索。3）剛體的純滾動(dòng)*5．自由度、廣義坐標(biāo)一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置：（x,y,z)

一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)系在空間的位置：(xi,yi,

zi)

(i=1,2……n)3n對(duì)一個(gè)非自由質(zhì)點(diǎn)系，受s個(gè)完整約束，（3n-s)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。確定一個(gè)受完整約束的質(zhì)點(diǎn)系的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度的數(shù)目，簡稱為自由度。通常，n

與s

很大而k

很小。為了確定質(zhì)點(diǎn)系的位置，用適當(dāng)選擇的k個(gè)參數(shù)（相互獨(dú)立），要比用3n個(gè)直角坐標(biāo)和s個(gè)約束方程方便得多。用來確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)的選擇不是唯一的。廣義坐標(biāo)可取線位移（x,y,z,s

等）也可取角位移（如

,,等）。在完整約束情況下，廣義坐標(biāo)的數(shù)目就等于自由度數(shù)目。

一般地，受到s個(gè)約束的、由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其自由度為一般地，設(shè)有由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，具有k個(gè)自由度，取q1、q2、……、qk

為其廣義坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)及矢徑可表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。例如：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，可取曲柄OA的轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)，則：廣義坐標(biāo)選定后，質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)都可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

例如：雙錘擺。設(shè)只在鉛直平面內(nèi)擺動(dòng)。兩個(gè)自由度取廣義坐標(biāo)

，

§15-2虛位移原理如圖，設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系靜止平衡，任取一質(zhì)點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)也處于靜止平衡狀態(tài)，有若給質(zhì)點(diǎn)系某虛位移，則作用與該質(zhì)點(diǎn)上力的虛功之和為對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所有質(zhì)點(diǎn)，都可以得到上面同樣的等式，把這些等式相加，得如果質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束，則約束力在虛位移中所作的虛功和為零，即（15-1）所以可得結(jié)論：對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充分必要條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和為零。這個(gè)結(jié)論稱為虛位移原理，也稱虛功原理，式（15-1）又稱虛功方程。該方程也可寫成解析式：（15-2）*上面的推導(dǎo)證明了虛位移原理的必要性，下面給出其充分性：充分性：即質(zhì)點(diǎn)系滿足，質(zhì)點(diǎn)系一定平衡。若，而質(zhì)點(diǎn)系不平衡，則至少有第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)不平衡。在方向上產(chǎn)生實(shí)位移，取，則對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：而理想約束下與前題條件矛盾故時(shí)質(zhì)點(diǎn)系必處于平衡。

*虛位移原理的應(yīng)用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下平衡時(shí)的約束反力；4、求平衡構(gòu)架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。雖然虛位移原理的條件是質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)具有理想約束，但也可以用于有摩擦的情況，只要把摩擦力當(dāng)作主動(dòng)力，在虛功方程中計(jì)入摩擦力所作的功即可。例1

圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力大小P和Q之間的關(guān)系。解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。1、幾何法：使A發(fā)生虛位移，B的虛位移，則由虛位移原理，得虛功方程：由的任意性，得

2、解析法由于系統(tǒng)為單自由度，可取

為廣義坐標(biāo)。由于任意，故解：這是一個(gè)具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，取角及為廣義坐標(biāo)，現(xiàn)用兩種方法求解。

例2

均質(zhì)桿OA及AB在A點(diǎn)用鉸連接，并在O點(diǎn)用鉸支承，如圖所示。兩桿各長2a和2b，各重P1及P2，設(shè)在B點(diǎn)加水平力F

以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角

及

。y應(yīng)用虛位移原理，代入(a)式，得：解法一：由于是彼此獨(dú)立的，所以：由此解得：而代入上式，得解法二：先使

保持不變，而使

獲得變分，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。再使

保持不變，而使

獲得變分，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。而代入上式后，得：圖示中：例3

多跨靜定梁，求支座B處反力。解：將支座B除去，代入相應(yīng)的約束反力。例4

滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動(dòng)桿CD在鉛直滑道上滑動(dòng)。已知

=0o時(shí)，彈簧等于原長，彈簧剛度系數(shù)為5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡時(shí)，加在AB桿上的力偶矩M？解：這是一個(gè)已知系統(tǒng)平衡，求作用于系統(tǒng)上主動(dòng)力之間關(guān)系的問題。將彈簧力計(jì)入主動(dòng)力，系統(tǒng)簡化為理想約束系統(tǒng)，故可以用虛位移原理求解。選擇AB桿、CD桿和滑套D的系統(tǒng)為研究對(duì)象。由虛位移原理，得：以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)至少有一個(gè)自由度。若系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計(jì)入主動(dòng)力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對(duì)象。若要求解約束反力，需解除相應(yīng)的約束，代之以約