中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)題型精講精練人教版：專題10 解直角三角形及其應(yīng)用（課后小練）-解析版

專題10解直角三角形及其應(yīng)用（課后小練）滿分100分時間：45分鐘姓名：注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題(共24分)1．(本題4分)（2022·福建泉州·九年級期末）如圖，OA是半⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)E，連接OC，若⊙O的半徑為m，∠AOC＝∠α，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．OE＝m?tanα B．BC＝2m?sinαC．AE＝m?cosα D．S△COB＝m2?sinα【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理得到BE=CE，再利用正弦和余弦的定義得到sinα=，cosα=，則可對A、B進(jìn)行判斷；利用余弦的定義得到OE=m?cosα，則AE=m-m?cosα，于是可對C進(jìn)行判斷；然后利用三角形面積公式可對D進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵BC⊥OA，∴BE=CE，∠OEC=90°，∵sinα=，cosα=，∴CE=m?sinα，OE=m?cosα，所以A選項(xiàng)不符合題意；∴BC=2CE=2m?sinα，所以B選項(xiàng)符合題意；∴AE=OA-OE=m-m?cosα，所以C選項(xiàng)不符合題意；∵S△COB=2×CE?OE∴S△COB=m?sinα?m?cosα=m2?sinα?cosα，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和解直角三角形．2．(本題4分)（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為菱形，O為對角線AC的中點(diǎn)，，，則菱形的周長為（

）A．8 B．4 C． D．【答案】A【分析】如圖所示，連接BD，利用菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，然后解直角△OAB求出AB的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，O是AC的中點(diǎn)，∴AB=BC=CD=AD，O為BD中點(diǎn)，且AC⊥BD，∵∠BAC=30°，∴，∴菱形的周長為AB+BC+CD+AD=8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟知菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(本題4分)（2019·重慶·一模）縉云山是國家級自然風(fēng)景名勝區(qū)，上周周末，小明和媽媽到縉云山游玩，登上了香爐峰觀景塔，從觀景塔底中心處水平向前走米到點(diǎn)處，再沿著坡度為的斜坡走一段距離到達(dá)點(diǎn)，此時回望觀景塔，更顯氣勢宏偉，在點(diǎn)觀察到觀景塔頂端的仰角為再往前沿水平方向走米到處，觀察到觀景塔頂端的仰角是，則觀景塔的高度為（

）（tan22°≈0.4）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】作交DA的延長線于N，延長CB交DE于M，則四邊形DMBN是矩形,根據(jù)AB的坡度，設(shè)表示出在中，在中，根據(jù)列出式子，求出的值，即可求解.【詳解】如圖，作交DA的延長線于N，延長CB交DE于M，則四邊形DMBN是矩形,可以假設(shè)則，在中，在中，解得：答：觀景塔的高度DE為21米.故選A.【點(diǎn)睛】考查解直角三角形，坡度問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.4．(本題4分)（2022·甘肅天水·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC,CB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P所走過的路程為x，點(diǎn)P所經(jīng)過的線段與AD,

AP所圍成的圖形的面積為y,

y隨x的變化而變化．在下列圖象中，能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查動點(diǎn)函數(shù)圖象的問題，先求出函數(shù)關(guān)系式在判斷選項(xiàng)．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=3，AB=CD=5當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動時，y為三角形，面積為：×DP×ADsin60°=×3×sin60°=×3×x＝x，為正比例函數(shù)；當(dāng)點(diǎn)P在CB上運(yùn)動時，y為梯形，面積為：×(AD+CP)×ABsin60°=×（3+x?5）×5×＝，為一次函數(shù)．由于后面的面積的x的系數(shù)＞前面的x的系數(shù)，所以后面函數(shù)的圖象應(yīng)比前面函數(shù)圖象要陡．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查動點(diǎn)的函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角函數(shù)的運(yùn)用．5．(本題4分)（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩高，斜坡的坡比為，則斜坡（

）A．13m B．8m C．18m D．12m【答案】A【分析】根據(jù)斜坡BC的坡比為i=5：12和壩高，如圖可求出BF的長度，在Rt△BCF中根據(jù)勾股定理可求出BC的長度．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．那么，∵壩高，CF⊥AB，∴DE=CF=5cm又斜坡的坡比為∴BF=12cm，在RtBCF中BC===13cm【點(diǎn)睛】本題考查的直角三角形坡度的問題.解題的關(guān)鍵是理解坡度的定義．6．(本題4分)（2022·河南南陽·九年級開學(xué)考試）下表是小紅填寫的實(shí)踐活動報告的部分內(nèi)容：題目測量鐵塔頂端到地面的高度測量目標(biāo)示意圖相關(guān)數(shù)據(jù)，，設(shè)鐵塔頂端到地面的高度為，根據(jù)以上條件，可以列出的方程為()A． B．C． D．【答案】A【分析】由得DH=FH=CE，故在Rt△EFC中使用=即可列出方程.【詳解】∵，∴DH=FH，則FH=CE，設(shè)為，CE=x-10,在Rt△EFC,==即，選A.【點(diǎn)睛】此題主要考察三角函數(shù)的應(yīng)用.二、填空題(共20分)7．(本題5分)（2022·陜西西安·八年級期中）如圖，中，，將繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，則_______．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=DE=4，BC=EC，∠BCE=90°，因?yàn)椋Y(jié)合三角函數(shù)可求得BC的長，最后利用勾股定理即可求出BE的長．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AB=DE=4，BC=EC，∠BCE=90°，在Rt△ABC中，AB=4，，∴BC=ABcos30°=4×=，∴EC=BC=，由勾股定理得，BE=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理等知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．(本題5分)（2022·山東濱州·九年級期末）如圖，是邊長為的正三角形的中心，若將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則圖中陰影部分的面積為_________．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，觀察圖形易得，圖中空白部分的小三角形也是等邊三角形，且邊長為4，且面積是面積的，重疊部分的面積是與三個小等邊三角形的面積之差，代入數(shù)據(jù)計算可得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，圖中空白部分的小三角形也是等邊三角形，且邊長為，且面積是面積的，觀察圖形可得，重疊部分的面積是與三個小等邊三角形的面積之差，∵在中，，，∴，∴的高是，一個小等邊三角形的高是，∴的面積是，一個小等邊三角形的面積是，所以重疊部分的面積是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形函數(shù)等知識．確定重疊部分的面積是與三個小等邊三角形的面積之差是解題的關(guān)鍵．9．(本題5分)（2021·廣東深圳·九年級階段練習(xí)）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面積為5，那么∠A的度數(shù)是_________．【答案】60°或120°##120°或60°【分析】首先根據(jù)已知條件可以畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)AC=5，可以求出AC邊上的高，再根據(jù)∠A的三角函數(shù)值可得∠A的度數(shù)，注意需要分情況討論．【詳解】解：當(dāng)∠A是銳角時，如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，∵AC＝5，△ABC的面積為5，∴BD＝5×2÷5＝2，在中，sinA＝＝＝，∴∠A＝60°．當(dāng)∠A是鈍角時，如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC，交CA的延長線于D，∵AC＝5，△ABC的面積為5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝，∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案為60°或120°．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是畫出合適的圖形，作出相應(yīng)的輔助線．10．(本題5分)（2020·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，一塊含有45°角的直角三角板，外框的一條直角邊長為8cm，三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為cm，則圖中陰影部分的面積為__cm2（結(jié)果保留根號）．【答案】（10+12）【分析】圖中陰影部分的面積＝外框大直角三角板的面積?內(nèi)框小直角三角板的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出內(nèi)框直角邊長，再根據(jù)三角形面積公式計算即可求解．【詳解】解：如圖，EF＝DG＝CH=，∵含有45°角的直角三角板，∴BC=，GH＝2，∴FG＝8--2-=6﹣2，∴圖中陰影部分的面積為：8×8÷2﹣（6﹣2）×（6﹣2）÷2＝32﹣22+12＝10+12（cm2）答：圖中陰影部分的面積為（10+12）cm2．故答案為：（10+12）．【點(diǎn)睛】考查了等腰直角三角形，平行線之間的距離，關(guān)鍵是求出內(nèi)框直角邊長．三、解答題(共56分)11．(本題10分)（2022·重慶忠縣·八年級期末）如圖，小李同學(xué)想測自己居住樓AB的高度，他起先站在C點(diǎn)從D處張望向自己家的陽臺G時，測得仰角恰為30°，接著他向樓的方向前進(jìn)了3m，從E處仰望樓頂B時，測得仰角恰為45°，已知小李同學(xué)身高（CD）為1.6m，GB＝3m，設(shè)AB⊥DF．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7）(1)求他起先站立位置C與樓的距離（結(jié)果保留根號）；(2)求樓高AB（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】(1)他起先站立位置C與樓的距離為(9+3)m(2)樓高AB約為12.7m【分析】(1)設(shè)FG=xm，則BF=(3+x)m，然后在Rt△BFE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長，再在Rt?GFD中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答；(2)根據(jù)題意得：AF=CD=1.6m，再利用(1)的結(jié)論可得BF=(6+3)m，然后進(jìn)行計算即可解答．（1）設(shè)FG=xm，∵BG=3m，∴BF=FG+BG=(3+x)m，∵AB⊥DF，∴∠BFD=90°在Rt△BFE中，∠BEF=45°∴EF==(3+x)m，∵DE=3m，∴DF=DE+EF=(6+x)m，在Rt△GFD中，∠GDF=30°，∴tan30°==∴x=3+3，經(jīng)檢驗(yàn)：x=3+3是原方程的根，DF=x+6=(9+3)m，∴他起先站立位置C與樓的距離為(9+3)m（2）由題意得：AF=CD=1.6m，由(1)得：BF=3+x=(6+3)m，∴AB=AF+BF=1.6+6+3，=7.6+≈12.7m∴樓高AB約為12.7m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．(本題10分)（2022·海南·九年級專題練習(xí)）如圖，某天然氣公司的主輸氣管道途經(jīng)A小區(qū)，繼續(xù)沿A小區(qū)的北偏東60°方向往前鋪設(shè)．測繪員在A處測得另一個需要安裝天然氣的P小區(qū)位于北偏東30°方向，測繪員從A處出發(fā)，沿主輸氣管道方向前行2000米到達(dá)B處，此時測得P小區(qū)位于北偏西75°方向．(1)∠PAB＝度，∠PBA＝度；(2)現(xiàn)要在主輸氣管道AB上選擇一個支管道連接點(diǎn)Q，使從Q處到P小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，求A小區(qū)與支管道連接點(diǎn)Q的距離．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)30；45(2)米【分析】（1）根據(jù)方位角的定義計算即可．（2）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q．設(shè)PQ=x米，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出AQ和BQ的長度，進(jìn)而列出方程求出x的值，再代入計算即可求解．（1）解：∵B小區(qū)位于A小區(qū)的北偏東60°方向，P小區(qū)位于A小區(qū)的北偏東30°方向，∴∠PAB=60°-30°=30°，A小區(qū)位于B小區(qū)的南偏西60°方向．∵P小區(qū)位于B小區(qū)的北偏西75°方向，∴∠PBA=180°-60°-75°=45°．故答案為：30；45．（2）解：如下圖所示，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，則此時從Q處到P小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，設(shè)PQ=x米．∵PQ⊥AB，∴米，米．∴米．∵AB=2000米，∴．∴．∴米．答：A小區(qū)與支管道連接點(diǎn)Q的距離是米．【點(diǎn)睛】本題考查方位角，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．13．(本題12分)（2022·山東泰安·一模）如圖，一幢樓房后有一假山，其坡度為，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離米，與亭子距離米，小麗從樓房頂測得E點(diǎn)的俯角為，求樓房的高．【答案】樓房AB的高為米【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)CE=24米，坡度為，可分別求出EF、CF的長度．再在等腰Rt△AEH中求出AH，繼而可得樓房AB的高．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點(diǎn)H，∵在Rt△CEF中，，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=12米，∴CF=EF=米，∴BH=EF=12米，HE=BF=BC+CF=()米，∵在Rt△AHE中，∠HAE=45°，∴AH=HE=()米，∴AB=AH+HB=米．答：樓房AB的高為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；坡度坡角問題，掌握概念，正確計算是本題的解題關(guān)鍵．14．(本題12分)（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）小軍同學(xué)想利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識測量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設(shè)立A，B兩個觀測點(diǎn)，然后選定對岸河邊的一棵樹記為點(diǎn)M．測得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MB