2022年江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)第三次模擬試卷及答案解析

2022年江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)第三次模擬試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市(縣、區(qū))、學(xué)校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案?答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。)

1.(5分)設(shè)A={x|/gx>0},B={x|/-x-2<0},貝U(CRA)AB=()

A.{x|x>-1}B.{x|-l<xWl}C.{x\-1<X<1}D.{.r|l<x<2}

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，若2=代為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)4=()

A.1B.2C.-1D.-2

3.(5分)若x6=ao+a\(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+l)3+.......+“6(x+1)6,貝ij“3=()

A.20B.-20C.15D.-15

4.(5分)下列說法中正確的是()

1Q

A.已知隨機(jī)變量X服從二項分布3(4,則E(X)=|

B."A與B是互斥事件”是“A與8互為對立事件”的充分不必要條件

C.己知隨機(jī)變量X的方差為。(X),則O(2X-3)=2D(X)-3

D.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,。2)且p(XW6)=0.85,則P(2VXW4)

=0.35

5.(5分)已知函數(shù)/(x)=?+2?f(1)+2,且其圖象在點(diǎn)x=2處的切線的傾斜角為a,

則sin(―+a)cos(——a)的值為()

22

3344

A.-B.--TZC.-D.一彳方

16161717

6.(5分)蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)

實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006

年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)

第1頁共25頁

名錄.已知某鞠的表面上有五個點(diǎn)尸、A、B、C、。恰好構(gòu)成一正四棱錐P-A5CC,若

該棱錐的高為8,底面邊長為4vL則該鞠的表面積為（）

A.64TTB.IOOTTC.132TTD.144TC

7.（5分）已知暴函數(shù)f（X）=（7n-l）2xm2-4m+2在（0,+TO）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（》）=

2X-a,vxie[l,5],3X26[b5],使得f（xi）2g（我）成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.aelB.ae-23C.a231D.a27

x2y2

8.（5分）已知雙曲線C：—-77=1（a>0,h>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fl,Fi,M,N

a2

為雙曲線一條漸近線上的兩點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形MF1NF2為矩形,且N

MAN=^，則雙曲線C的離心率為（）

ll伍r~

A.V3B.V7C.——D.V13

3

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

（多選）9.（5分）下列說法正確的是（）

A.為了更好地開展創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)工作，需要對在校中小學(xué)生參加社會實(shí)踐活動的意向進(jìn)行調(diào)

查，擬采用分層抽樣的方法從該地區(qū)A、B、C、。四個學(xué)校中抽取一個容量為400的樣本

進(jìn)行調(diào)查，已知4、B、C、。四校人數(shù)之比為7：4：3：6,則應(yīng)從B校中抽取的樣本數(shù)量

為80

B.6件產(chǎn)品中有4件正品，2件次品，從中任取2件，則至少取到1件次品的概率為0.6

C.已知變量x、y線性相關(guān)，由樣本數(shù)據(jù)算得線性回歸方程是y=0.4x+a,且由樣本數(shù)

據(jù)算得元=4,y=3.7,則a=2.1

D.箱子中有4個紅球、2個白球共6個小球，依次不放回地抽取2個小球，記事件M=

｛第一次取到紅球｝,N=｛第二次取到白球｝,則M、N為相互獨(dú)立事件

（多選）10.（5分）已知函數(shù)/（x）=Asin（3x+<p）（A>0,a）>0,|（p|<l）的部分圖像如

第2頁共25頁

A.(p=-l

B.將/(x)的圖像向右平移1個單位，得到函數(shù)y=2s出處x的圖像

C.f(x)的圖像關(guān)于直線1=-1對稱

D.若田-X2|<4,則-f(X2)|<4

(多選)11.(5分)已知圓C過點(diǎn)A(1,3),B(2,2),直線m：3x-2y=0平分圓C的

面積，過點(diǎn)力(0,1)且斜率為A的直線/與圓C有兩個不同的交點(diǎn)M,N,則()

A.圓心的坐標(biāo)為C(2,3)

B.圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1

17

C.%的取值范圍為(-,-)

33

12A/5

D.當(dāng)攵=5時，弦MN的長為一^

乙5

(多選)12.(5分)已知函數(shù)八x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，/(x)=b(x+1),

則下列命題正確的是()

A.當(dāng)x>0時，f(x)=-ex(x-1)

B.函數(shù)f(x)有3個零點(diǎn)

C.f(x)<0的解集為(-8,-1)U(0,1)

D.Vxi,X2CR,都有「Cxi)-/(X2)|<2

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。)

13.(5分)若直線/的方向向量益=(x,-1,2),平面a的法向量蔡=(-2,-2,4),

且直線平面a,則實(shí)數(shù)x的值是.

14.(5分)已知拋物線C：/=2)，上有兩動點(diǎn)P,Q,且|PQ=5,則線段PQ的中點(diǎn)到x軸

距離的最小值是.

(，。。2(一手，％S-1

15.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)={1.、2，若f(x)在區(qū)間[%4]上的值域為

(-/2+/+可，X>-1

[-1,2],則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

16.(5分)用g(〃)表示自然數(shù)”的所有正因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的正因數(shù)有1、

3、9,g(9)=9,10的正因數(shù)有1、2、5、10,g(10)=5.記S(〃)=g(1)+g(2)

+g(3)+…+g(2〃)，則：

(1)S(4)=；

第3頁共25頁

(2)S(〃)=.

四、解答題：(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(10分)XABC的內(nèi)角A,C的對邊分別為a,b,c,已知asinAsinB+ccosA=(acosA+2b)

cosB.

(I)求B；

(II)若b=2次，AB*CB=6,求△ABC的周長.

第4頁共25頁

18.(12分)已知數(shù)列｛即｝的前〃項的和為S,且滿足S“=2a”-1(〃6N*).

(1)求數(shù)列｛的｝的通項公式?！奔癝〃；

(2)若數(shù)列｛仇｝滿足氏=|S“-31|,求數(shù)列｛為｝的前"項的和7k

第5頁共25頁

19.(12分)箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形?如圖，四邊形A8CQ是一

個箏形，AB=AD=V3,CD=CB=1,AC=2,沿對角線4c將△AOC折起到E點(diǎn)，形

成四棱錐E-ABCD

(I)點(diǎn)〃為線段AE中點(diǎn)，求證：BM〃平面ECD；

(II)當(dāng)EB=|時，求直線BC與平面EAD所成角的正弦值.

第6頁共25頁

20.（12分）某市為了解2020年十一雙節(jié)期間市民旅游出行的方式及滿意程度，對去該市

市區(qū)內(nèi)甲、乙、丙三個景點(diǎn)旅游的市民進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人作為樣本，

得到如表（單位：人）：

滿意度得分甲乙丙

報團(tuán)游自駕游報團(tuán)游自駕游報團(tuán)游自駕游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

（1）從樣本中任取1人，求這人沒去丙景點(diǎn)的概率；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.針對甲、乙、丙三個

景點(diǎn)，從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機(jī)選取2人，記X為去乙

景點(diǎn)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）如果王某要去甲、乙、丙三個景點(diǎn)旅游，那么以滿意度得分的均值為依據(jù)，你建議

王某是報團(tuán)游還是自駕游？說明理由.

第7頁共25頁

_xy

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F為橢圓C：/+低=1（。>6>0）的左焦點(diǎn),

TT

直線X=與X軸交于點(diǎn)尸,M為橢圓C的左頂點(diǎn)，已知橢圓長軸長為8,且PM=2MF.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)尸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)A,B,設(shè)直線AF,的斜率分別為公，ki.

①求證：h+依為定值；

②求△ABF面積的最大值.

第8頁共25頁

22.（12分）已知函數(shù)/（尤）=ex-Inx,g（x）=xex+^.

(1)求函數(shù)f(x)在[3r+1](r>0)上的最小值;

(2)證明：當(dāng)x>0時，xf(x)<g(x).

第9頁共25頁

2022年江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)第三次模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。)

1.(5分)設(shè)A={x|/gx>0},B={x|?-x-2<0},貝U(CRA)AB=()

A.{x\x>-1}B.{x\-l<x<l}C.{x|-1<x<1}D.{x|l<x<2}

解：因為A={x|/gx>0}={x|x>l},

B={xpc2-x-2<0}={x|(x-2)(x+1)<0}={x|-l<x<2},

所以CRA={*W1},所以(CRA)AB={X|-Kx^l).

故選：B.

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，若2=等為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=()

A.1B.2C.-1D.-2

解：；z=^=黠聯(lián)三|=嚶+與，為純虛數(shù),

【十I(JL十I八JL-I)LL

"=0

2

:.\,n，解得"=-1.

故選：C.

3.(5分)若x6=ao+m(%+1)+ai(x+1)2+?3(x+1)3+...+。6(x+1)3則<23=()

A.20B.-20C.15D.-15

解：x6=[-1+(l+x)J6=?0+ai(x+1)+42(x+1)2+4Z3(X+1)3+.......+46(x+1)6,

則43=Cg-1)3=-20,

故選：B.

4.(5分)下列說法中正確的是()

A.已知隨機(jī)變量X服從二項分布8(4,1),則E(X)=|

B."4與B是互斥事件”是“4與B互為對立事件”的充分不必要條件

C.已知隨機(jī)變量X的方差為。(X),則￡>(2X-3)=2D(X)-3

D.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,。2)且尸(XW6)=0.85,則P(2VXW4)

=0.35

解：對于4隨機(jī)變量X服從二項分布8(4,9則E(X)=故A錯誤;

第10頁共25頁

對于B：“A與B是互斥事件”不能推出“A與B互為對立事件“，但是“A與B是互斥

事件”u“A與8互為對立事件“，故A與B是互斥事件”是“A與B互為對立事件”

的必要不充分條件，故8錯誤：

對于C隨機(jī)變量X的方差為。（X）,貝l」D（2X-3）=4。（X）,故C錯誤；

對于￡>：因為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,。2）且p（xW6）=0.85,所以P（XW2）

=0.15,所以P（2<XW4）=0.35,故。正確.

故選：D.

5.（5分）已知函數(shù)/（x）=xi+2x2f（1）+2,且其圖象在點(diǎn)x=2處的切線的傾斜角為a,

7i37r

則sin（―+a）cos（——a）的值為（）

22

解：,.",(X)=/+2%21(1)+2,

：.f(x)=3*2+44(1),

：.f(1)=3+般(1),

即(1)=-1,f(x)=3/-4x,

...圖象在點(diǎn)x=2處的切線的斜率上=/(2)=4=tana,

n37r

則sin(一+a)cos(——a)

22

=-cosasina

s譏acosa

sin^a+cos^a

—tana

1+tcm2a

4

~179

故選：D.

6.（5分）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)

實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006

年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)

名錄.已知某鞠的表面上有五個點(diǎn)尸、4、B、C、。恰好構(gòu)成一正四棱錐尸-A8CD,若

該棱錐的高為8,底面邊長為4近，則該鞠的表面積為（）

A.64nB.IOOnC.132nD.144n

解：正四棱錐尸-ABC。的底面是正方形，底面邊長為4VL高為8,如圖所示：

第11頁共25頁

所以正四棱錐P-ABCD的底面對角線的長為4V2xV2=8,

設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R,則W=(8-R)2+42,解得R=5,

所以球的表面積為S=4n?R2=4nX25=100m

即該鞠的表面積為IOOTT.

故選:B.

7.(5分)已知事函數(shù)/(x)=(m-l)2x/-4m+2在(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)=

2X-a,Vxi￡[l,5J,3x2e[l,5J,使得/(xi)(%2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.B.-23C.D.

解：二幕函數(shù)〃%)=0-1)2”2-而+2在(0,+8)上單調(diào)遞增,

C(m-I)2=1

解得m=0,

[m2-4m+2>0

?V(x)=x2,

當(dāng)劉以1,5]時，/(xi)6[1,25],則/(川)加〃=1,

又當(dāng)X241,5]時，g(X2)E[2-a,32-a],g(%2)min=2-a,

由題意得：122-a,解得：

故選：A.

x2y2

8.(5分)已知雙曲線C--7-=1(^>0,h>0)的左、右焦點(diǎn)分別為a,F,M,N

a1bz2

為雙曲線一條漸近線上的兩點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形MF1NF2為矩形，且N

M4N=李，則雙曲線C的離心率為()

A.V3B.>/7C.-----D.V13

3

解：如圖，

因為四邊形MF1NF2為矩形，所以1MM=尸的|=2。(矩形的對角線相等),

所以以MN為直徑的圓的方程為7+y2=c2,

第12頁共25頁

直線MN為雙曲線的一條漸近線，不妨設(shè)其方程為丫=\x,

所以N(a,6),M(-a,-b)或N(-a,-b),M(a,b),

不妨設(shè)N(a,b),M(-a,-b),又4(a,0)

所以|AM=J(a+a)2+京=V4a24-b2,|AN]=^/(a—a)24-b2=b,

在△4胸中，NMAN=^,

27r

由余弦定理得|MM2=HM2+|4V|2-21AMiAAVcosg,

即4c2=442+"2+.+，4a2+爐xb,

則2b=V4a2+爐,

所以4b1=4a2+b2,

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

（多選）9.（5分）下列說法正確的是（）

A.為了更好地開展創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)工作，需要對在校中小學(xué)生參加社會實(shí)踐活動的意向進(jìn)行調(diào)

查，擬采用分層抽樣的方法從該地區(qū)A、B、C、。四個學(xué)校中抽取一個容量為400的樣本

進(jìn)行調(diào)查，已知4、B、C、。四校人數(shù)之比為7：4：3：6,則應(yīng)從B校中抽取的樣本數(shù)量

為80

B.6件產(chǎn)品中有4件正品，2件次品，從中任取2件，則至少取到1件次品的概率為0.6

第13頁共25頁

C.已知變量x、y線性相關(guān)，由樣本數(shù)據(jù)算得線性回歸方程是y=0.4x+a,且由樣本數(shù)

據(jù)算得元=4,y=3.7,則Q=2.1

D.箱子中有4個紅球、2個白球共6個小球，依次不放回地抽取2個小球，記事件M=

｛第一次取到紅球｝,N=｛第二次取到白球｝,則M、N為相互獨(dú)立事件

解：對于選項4

采用分層抽樣的方法從該地區(qū)A、B、C、。四個學(xué)校中抽取一個容量為400的樣本進(jìn)行

調(diào)查，

A、B、C、。四校人數(shù)之比為7：4：3：6,

故應(yīng)從B校中抽取的樣本數(shù)量為400x元=80,故正確;

/十4十3十。

3

對于選項8,至少取到1件次品的概率為="=0.6,故正確;

cl

對于選項C,：線性回歸方程是y=0.4x+a,且元=4,歹=3.7,

=3.7-04X4=2.1,故正確;

對于選項。，M、N不是相互獨(dú)立事件，故錯誤;

故選：ABC.

（多選）10.（5分）已知函數(shù)。（x）=Asin（3x+<p）（A>0,3>0,|（p|<l）的部分圖像如

圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

B.將/G）的圖像向右平移1個單位，得到函數(shù)y=2sm*久的圖像

C./（x）的圖像關(guān)于直線》=-1對稱

D.若|XI-JQ|V4,則1/（X1）-f（X2）|<4

解：由圖可知A=2,函數(shù)/（x）的最小正周期為7=4X（5-3）=8,

第14頁共25頁

貝|J3=爺=小

,57r、57r

由/(5)=2sin(一+(p)=-2,得sin(—+(p)=-1,

44

所以，—+(p=+2Znr,(keZ),得5=4+2/51,(k€Z),

因為即|<1,得忻?

7T7T

所以f(x)=2sin(―x+彳)，A項錯誤;

44

將/(%)的圖象向右平移1個單位,

得到函數(shù)八x-1)=2si成(X-1)+勺=2s吟的圖象，B項正確;

可得/(-1)=2sin(-,+,)=。,故C項錯誤;

由于/*(x)的最小正周期為7=至=8,

4

所以若陽-A21V4=夕則|/(X1)-f(X2)|<4,故。項正確.

故選：BD.

(多選)11.(5分)已知圓C過點(diǎn)A(1,3),B(2,2),直線膽：3x-2y=0平分圓C的

面積，過點(diǎn)D(0,1)且斜率為左的直線/與圓C有兩個不同的交點(diǎn)M,N,則()

A.圓心的坐標(biāo)為C(2,3)

B.圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1

17

C.攵的取值范圍為(力-)

33

D.當(dāng)k=2時，弦MN的長為

解：設(shè)圓方程為(x-?)2+(y-Z?)2—i2,

因為圓C被直線m：3x-2y=0平分，

所以圓心(〃，h)在直線機(jī)上，則由3a-26=0,

由條件圓C過A,8兩點(diǎn),則￡

(.(2—a)z+(2—by=rz

解得n=2,h=3,r=\,

所以圓心C(2,3),故A正確：

圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1,故B正確；

由題可知過點(diǎn)。(0,1)且斜率為上的直線/方程為y=H+l,即履-)，+l=0,

由直線/與圓C由兩個不同交點(diǎn)M,N,所以點(diǎn)C到直線/的距離小于半徑廠，

第15頁共25頁

即12號量VI,解得三CqvgC,故c錯誤；

Vk2+13J

當(dāng)我0時，可求得點(diǎn)C(2,3)到直線/的距離公吩-3+1|=攣,

2問5

則弦長|MM=2Vr2-d2=2^1一(等)2=等，故。正確；

故選：ABD.

(多選)12.(5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=e'(x+l),

則下列命題正確的是()

A.當(dāng)x>0時，f(x)=-J(x-1)

B.函數(shù)/(x)有3個零點(diǎn)

C.f(x)<0的解集為(-8,-])u(0,1)

D.Vxi,X2GR?都有.(xi)-f(x2)|<2

解：函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=爐(x+1),

設(shè)x>0時，-x<0,/(-x)=ex(-jr+1),.*./(x)=-/(-x)—ex(x-1),

x=0時，f(0)=0.因此函數(shù)有三個零點(diǎn)：0,±1.

當(dāng)x<0時，f(x)(x+1),f(x)="(x+2),可得x=-2時，函數(shù)/(x)取得

極小值，

/(-2)=可得其圖象：

f(x)V0時的解集為：(-8,-1)u(0,1).

Vxi,X2GR,都有|/(xi)-f(%2)|W|/(0+)-f(0-)|<2.

因此BCO都正確.

故選：BCD.

第16頁共25頁

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.（5分）若直線/的方向向量m=（尤，-1.2）,平面a的法向量n=（-2,-2,4）,

且直線小平面a,則實(shí)數(shù)x的值是-1.

解：,??直線/的方向向量薪=（x,-1,2）,

平面a的法向量％=（-2,-2,4）,且直線L平面a,

—?—>

Am||n,

,x-12

—2—24

解得實(shí)數(shù)*=-1.

故答案為：-1.

14.（5分）已知拋物線C：f=2y上有兩動點(diǎn)P,Q,且|PQ|=5,則線段PQ的中點(diǎn)到x軸

距離的最小值是2.

解：設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線>=上的投影為尸1,點(diǎn)Q在直線

y=—④上的投影為

線段PQ的中點(diǎn)為E，點(diǎn)E到x軸的距離為d,則|PPi|+|QQi|=|PE+|Qf]2|PQ|=5,

所以（IPP1I+I。。”）-0.522,當(dāng)且僅當(dāng)儼用+|。用=仍。|,即P、F、。三點(diǎn)共線時

等號成立，

所以線段PQ的中點(diǎn)到x軸距離的最小值為2,

故答案為：2.

0。比（-5），x<-1

15.（5分）設(shè)函數(shù)/（X）=<1%2，若/（X）在區(qū)間W，4]上的值域為

（一/2+/+可，x>-l

第17頁共25頁

[-1,2],則實(shí)數(shù)加的取值范圍為f-8,-1]

解：函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象易得

當(dāng)，"曰-8,-1]時，

f(x)61-1,2].

故答案為：|■8,-1].

16.(5分)用g(〃)表示自然數(shù)〃的所有正因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的正因數(shù)有1、

3、9,g(9)=9,10的正因數(shù)有1、2、5、10,g(10)=5.記S(〃)=g(1)+g(2)

+g(3)+…+g(2"),則:

(1)S(4)=86；

4n+2

(2)S(〃)------.

—3—

(n,n=2fc-l,k&N*

解：由題意得g(n)=,,，

竭n)，n=2k,k&N*

由g(n)的定義易知g(n)=g(2n),且若"為奇數(shù)則g(n)=n,

S(4)=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(16)=g(1)+g(3)+g(5)+…+g(15)

+g(2)+g(4)+…+g(16)

=1+3+5+…+15+g⑴+g(2)+g(3)+-+g(8)=64+g⑴+g(3)+g(5)+g(7)

+g(2)+g(4)+g(6)+g(8)

=64+l+3+5+7+g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=64+1+3+5+7+1+3+^(1)+g(2)

=64+1+3+5+7+1+3+1+g(1)=64+1+3+5+7+1+3+1+1=86,

5(”)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n)=g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2n-1)

+g(2)+g(4)+g(6)+…+g(2n)

=l+3+5+7+…+2"-1+g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2'Ll)=4"“+S(n-1)=4""+4”

-2+5(n-2)

nnnn

...Q4—44—44—44+2

=4"2+4”3+...+4+5(j)=+5(1)+g(2)=+2g(1)=+2=

第18頁共25頁

4n+2

故答案為：86；

3

四、解答題：(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(10分)AABC的內(nèi)角A,BfC的對邊分別為已知asinAsinB+ccosA=(acosA+lb)

cosB.

(I)求&

(II)若b=2次，AB^CB=6,求△ABC的周長.

解：(I)因為asinAsinB+ccosA=(〃cosA+2b)cosB,可得a(sinAsinB-cosAcosB)+ccosA

=2Z?cosB,

所以-acos(A+3)+ccosA=2/?cosB,可得4cosc+ccosA=2bcos8,

由正弦定理可得sin/4cosC+sinCcosA=2sinBcosB,整理可得sin(4+C)=2sin8cos8=sin8,

因為sinBWO,可得cosB=

由BE：(0,n),可得B=可.

2

(II)由余弦定理可得廿二。2+。2_2QCCOS3,即(〃+c)-3ac=12t

因為=BA?BC=accosB=^ac=6f解得〃c=12,

所以("+c)2-36=12,解得〃+C=4V5,

所以△ABC的周長為6g.

18.(12分)已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項的和為S〃，且滿足S〃=2a〃-1(nGN*).

(1)求數(shù)列｛板｝的通項公式?！癝;

(2)若數(shù)列｛加｝滿足加=|S〃-31],求數(shù)列｛b｝的前〃項的和

解：⑴在S〃=2a〃-1中,令77=1,則a\=2a\-L即m=L

由S〃=2cin-1知，Sn+1=2?！?1-1,

兩式相減得，Cln+\=2cin+\~2dn,即〃“+l=2a〃，

所以數(shù)列｛劭｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛加｝的通項公式?！?k2"一1=2"一1,前”項和公式S〃=二()=2"-1.

(32-2n,1<n<5

(2)/>n=|5n-31|=|2?-1-31|=|2W-32|=一一，

12n-32,n>5

當(dāng)1W〃W5時，Tn=(32-21)+(32-22)+???+(32-2")=32〃-(2'+22+-+2n)=

第19頁共25頁

32〃-2H：)=32〃-2n+1+2；

當(dāng)〃>5時，4=(32-21)+(32-22)+…+(32-25)+(26-32)+…+(2"-32)

=275+(21+22+-+2n)-32/7=2X98+^—^-32n=2n+,-32〃+194,

1-Z

n+1

八Tf32n-2+2,l<n<5

綜上，T=]

n3+i-32n+194,n>5

19.(12分)箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形.如圖，四邊形ABC。是一

個箏形，AB=AD=V3,CD=CB=1,AC=2,沿對角線AC將△4DC折起到E點(diǎn)，形

成四棱錐E-ABCZ).

(I)點(diǎn)M為線段AE中點(diǎn)，求證：BM〃平面EC￡>；

(II)當(dāng)EB=|時，求直線BC與平面E4。所成角的正弦值.

解：(I)證明：延長AB,0c交于點(diǎn)F,

...點(diǎn)8是線段4尸的中點(diǎn)，

??,點(diǎn)M是線段AE中點(diǎn)，

「弘摩平面EC。，EFu平面EC。，

〃平面ECD.

(II)作E0±AC于O,連接BO,

"：/\AOE^/\EOB,：.BO±AC,

；.AC，平面EOB,如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

第20頁共25頁

'：AB=AD=V3,CD=CB=1,AC=2fEB二邑

?co^xlV3CDV3

??OE=-—=~2~fOB=-y,

0尸_pn21

：.cosZEOB=Znnno=-4，ZEOB=120°,

2OEOB2

V313J?J33

B（—,0,0）,C（0,-4，0）,A（0,0）,D（一笄，0,0）,E（一舁0,一）,

222244

BC=（一織0）,AD=（一孚,0）,茄=（―,0,-）,

222244

設(shè)平面AE。的法向量是蔡=（x,y,z）,

，-力&3c

=

In?AD=—于％—TTV0—

則!「22,取z=l,得九=（-V3,1,1）,

\n-DE=q-x+[Z=0

設(shè)直線BC與平面EAD所成角為a,

T—

t—n-BC氐

則直線BC與平面￡4。所成角的正弦值sina=|cosVn,BC>\=\~——1=

|n|-|BC|

二直線BC與平面E4D所成角的正弦值為日.

20.（12分）某市為了解2020年十一雙節(jié)期間市民旅游出行的方式及滿意程度，對去該市

市區(qū)內(nèi)甲、乙、丙三個景點(diǎn)旅游的市民進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人作為樣本，

得到如表（單位：人）：

滿意度得分甲乙丙

報團(tuán)游自駕游報團(tuán)游自駕游報團(tuán)游自駕游

10分1211210714

第21頁共25頁

5分414449

0分107217

合/p>

（1）從樣本中任取1人，求這人沒去丙景點(diǎn)的概率；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.針對甲、乙、丙三個

景點(diǎn)，從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機(jī)選取2人，記X為去乙

景點(diǎn)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）如果王某要去甲、乙、丙三個景點(diǎn)旅游，那么以滿意度得分的均值為依據(jù)，你建議

王某是報團(tuán)游還是自駕游？說明理由.

解：（1）設(shè)事件”從樣本中任取1人，這人沒去丙景點(diǎn)”為事件4

由表格中所給數(shù)據(jù)可得，去甲，乙，丙旅游的人數(shù)分別為19,39,42,

士。/八

故a尸㈠)=1^90+039-=2590-

（2）由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,

從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機(jī)取1人，此人取乙景點(diǎn)的概率

為竺，

P(X=0)=C2x(1一1)2=［，=(X=1)=C|x|x(1-1)=

P(X=2)=x(1)2=i

故X的分布列為：

X012

P441

999

4412

E(X)=0XQ4-1XQ+2XQ=Q,.

（3）由題干所給表格中數(shù)據(jù)可知，報團(tuán)游，自駕游的總?cè)藬?shù)分別為52,48,

得分為10分報團(tuán)游，自駕游的總?cè)藬?shù)分別為31,25,得分為5分報團(tuán)游，自駕游的總?cè)?/p>

數(shù)分別為12,14,

得分為0分報團(tuán)游，自駕游的總?cè)藬?shù)分別為9,9,

31x10+12x5+9x0185

所以從滿意度來看,報團(tuán)游滿意度的均值為

5226

第22頁共25頁

25X10+14X5+9X020

自駕游滿意度的均值為

483

18520

...---->一,

263

???建議王某選擇報團(tuán)游.

X2V2

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)尸為橢圓C：—+—=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),

f]2T->

直線x=-j與X軸交于點(diǎn)P,M為橢圓C的左頂點(diǎn)，已知橢圓長軸長為8,且PM=2MF.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過點(diǎn)尸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)A,B,設(shè)直線AF,8尸的斜率分別為匕，to.

①求證：攵1+攵2為定值;

②求△A3F面積的最大值.

解：(1)因為2。=8,所以〃=4,

又PM=2MF,

a2

所以——a=2(a—c),

所以c