高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 7.7.2 利用向量求空間角和距離課時提升作業(yè) 理試題

利用向量求空間角和距離(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).QUOTE=(-1,0,2),QUOTE=(-1,2,1),cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為QUOTE.2.(2016·仙桃模擬)在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點,AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.以A為原點,AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),DQUOTE,EQUOTE,FQUOTE.所以QUOTE=(0,0,-2),QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE.設(shè)平面DFE的法向量為n=(x,y,z),則由QUOTE得QUOTE取z=1,則n=(2,0,1),設(shè)直線PA與平面DEF所成的角為θ,則sinθ=QUOTE=QUOTE,所以直線PA與平面DEF所成角的正弦值為QUOTE.3.如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,E,F分別是棱AB,BC上的動點,且AE=BF.當(dāng)A1,E,F,C1共面時,平面A1DE與平面C1DF所成二面角的余弦值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,易知當(dāng)E(6,3,0),F(3,6,0)時,A1,E,F,C1共面,設(shè)平面A1DE的法向量為n1=(a,b,c),依題意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一個法向量為n2=(2,-1,1),故平面A1DE與平面C1DF所成二面角的余弦值為QUOTE=QUOTE.4.(2016·莆田模擬)二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2QUOTE,則該二面角的大小為()A.150° B.45° C.60° D.120°【解析】選C.由條件知QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,因為QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE.所以|QUOTE|2=|QUOTE|2+|QUOTE|2+|QUOTE|2+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE+2QUOTE·QUOTE=62+42+82+2×6×8cos<QUOTE,QUOTE>=(2QUOTE)2.所以cos<QUOTE,QUOTE>=-QUOTE,則<QUOTE,QUOTE>=120°,即<QUOTE,QUOTE>=60°.所以二面角的大小為60°.5.(2016·泉州模擬)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則點D1到平面A1BD的距離是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以QUOTE=(2,0,0),QUOTE=(2,0,2),QUOTE=(2,2,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則QUOTE令x=1,則n=(1,-1,-1),所以點D1到平面A1BD的距離是d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,側(cè)棱AA1=QUOTE,M為A1B1的中點,則AM與平面AA1C1C所成角的正切值為.【解析】以C1為原點,C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面AA1C1C的法向量為n=(0,1,0),AM=QUOTE-(1,0,QUOTE)=QUOTE,則直線AM與平面AA1C1C所成角θ的正弦值為sinθ=|cos<QUOTE,n>|=QUOTE=QUOTE,所以tanθ=QUOTE.答案:QUOTE7.已知點E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為.【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA=1,由已知條件得A(1,0,0),EQUOTE,FQUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),面AEF與面ABC所成的二面角為θ,由圖知θ為銳角,由QUOTE得QUOTE令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量為m=(0,0,-1),cosθ=|cos<n,m>|=QUOTE,tanθ=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·長沙模擬)如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=QUOTE,則B1到平面PAD的距離為.【解題提示】以A1B1為x軸,A1D1為y軸,A1A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PAD的法向量,由QUOTE的坐標(biāo),利用距離公式,即可得到結(jié)論.【解析】以A1B1為x軸,A1D1為y軸,A1A為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則QUOTE=(0,2,0),QUOTE=(1,1,2),設(shè)平面PAD的法向量是m=(x,y,z),所以由QUOTE可得QUOTE取z=1得m=(-2,0,1),因為QUOTE=(-2,0,2),所以B1到平面PAD的距離d=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·浙江高考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點,D為B1C1的中點.(1)證明:A1D⊥平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】方法一:(1)如圖,以BC的中點O為坐標(biāo)原點,以O(shè)B,OA,OA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則BC=QUOTEAC=2QUOTE,A1O=QUOTE=QUOTE.易知A1(0,0,QUOTE),B(QUOTE,0,0),C(-QUOTE,0,0),A(0,QUOTE,0),D(0,-QUOTE,QUOTE),B1(QUOTE,-QUOTE,QUOTE),QUOTE=(0,-QUOTE,0),QUOTE=(-QUOTE,-QUOTE,QUOTE),QUOTE=(-QUOTE,0,0),QUOTE=(-2QUOTE,0,0),QUOTE=(0,0,QUOTE),因為QUOTE·QUOTE=0,所以A1D⊥OA1,又因為QUOTE·QUOTE=0,所以A1D⊥BC,又因為OA1∩BC=O,所以A1D⊥平面A1BC.(2)設(shè)平面A1BD的法向量為m=(x,y,z),由QUOTE得QUOTE取z=1,得m=(QUOTE,0,1),設(shè)平面B1BD的法向量為n=(a,b,c),由QUOTE得QUOTE取c=1,得n=(0,QUOTE,1),所以cos<m,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因為該二面角為鈍角,所以二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值為-QUOTE.方法二:(1)取BC的中點E,連接A1E,AE,DE,由題意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE,因為AB=AC,所以AE⊥BC,A1E∩BC=E,故AE⊥平面A1BC,由D,E分別是B1C1,BC的中點,得DE∥B1B且DE=B1B,所以DE∥A1A,DE=A1A,所以四邊形A1AED是平行四邊形,故A1D∥AE,又因為AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥BD,且A1F∩BD=F,連接B1F.由AE=BE=QUOTE,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4,由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB≌△B1DB,由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1為二面角A1-BD-B1的平面角,由A1D=QUOTE,A1B=4,∠DA1B=90°,得BD=3QUOTE,A1F=B1F=QUOTE,由余弦定理得cos∠A1FB1=-QUOTE.10.(2016·唐山模擬)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AB=2AD=2,BD=QUOTE,PD⊥底面ABCD.(1)證明:平面PBC⊥平面PBD.(2)若二面角P-BC-D為QUOTE,求AP與平面PBC所成角θ的正弦值.【解析】(1)因為CD2=BC2+BD2,所以BC⊥BD.又因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.又因為PD∩BD=D,所以BC⊥平面PBD.而BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBD.(2)由(1)所證,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角,即∠PBD=QUOTE.因為BD=QUOTE,所以PD=1.分別以DA,DB,DP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,QUOTE,0),C(-1,QUOTE,0),P(0,0,1).所以QUOTE=(-1,0,1),QUOTE=(-1,0,0),QUOTE=(0,-QUOTE,1).設(shè)平面PBC的法向量為n=(a,b,c),則QUOTE即QUOTE可解得平面PBC的一個法向量為n=(0,1,QUOTE),所以AP與平面PBC所成角θ的正弦值為sinθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(20分鐘40分)1.(5分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,且BC⊥平面PAB,PA⊥AB,M為PB的中點,PA=AD=2.若AB=1,則二面角B-AC-M的余弦值為.【解析】因為BC⊥平面PAB,AD∥BC,所以AD⊥平面PAB,PA⊥AD,又PA⊥AB,且AD∩AB=A,所以PA⊥平面ABCD.以點A為坐標(biāo)原點,分別以AD,AB,AP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),MQUOTE.所以QUOTE=(2,1,0),QUOTE=QUOTE,求得平面AMC的一個法向量為n=(1,-2,1),又平面ABC的一個法向量為QUOTE=(0,0,2),所以cos<n,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以二面角B-AC-M的余弦值為QUOTE.答案:QUOTE2.(5分)(2016·衡陽模擬)正四棱錐S-ABCD中,O為頂點S在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為.【解析】如圖所示,以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),PQUOTE.則QUOTE=(2a,0,0),QUOTE=QUOTE,QUOTE=(a,a,0).設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),則cos<QUOTE,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以<QUOTE,n>=60°,所以直線BC與平面PAC的夾角為90°-60°=30°.答案:30°3.(5分)(2016·孝感模擬)如圖,△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2QUOTE.則點A到平面MBC的距離為.【解析】取CD中點O,連接OB,OM,則OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,則MO⊥平面BCD.取O為原點,直線OC,BO,OM為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.OB=OM=QUOTE,則各點坐標(biāo)分別為C(1,0,0),M(0,0,QUOTE),B(0,-QUOTE,0),A(0,-QUOTE,2QUOTE).則QUOTE=(1,QUOTE,0),QUOTE=(0,QUOTE,QUOTE),設(shè)n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,由n⊥QUOTE,得x+QUOTEy=0;由n⊥QUOTE,得QUOTEy+QUOTEz=0.取n=(QUOTE,-1,1),QUOTE=(0,0,2QUOTE),則d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(12分)(2015·天津高考)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=QUOTE,且點M和N分別為B1C和D1D的中點.(1)求證:MN∥平面ABCD.(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值.(3)設(shè)E為棱A1B1上的點,若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為QUOTE,求線段A1E的長.【解析】如圖,以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2).(1)因為M,N分別為B1C和D1D的中點,得MQUOTE,N(1,-2,1),所以QUOTE=QUOTE.依題意,可得n=(0,0,1)為平面ABCD的一個法向量.由此可得QUOTE·n=0,又因為直線MN?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)QUOTE=(1,-2,2),QUOTE=(2,0,0),QUOTE=(0,1,2).設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面ACD1的法向量,則QUOTE即QUOTE不妨設(shè)z1=1,可得n1=(0,1,1).設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面ACB1的法向量,則QUOTE得QUOTE不妨設(shè)z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos<n1,n2>=QUOTE=-QUOTE,于是sin<n1,n2>=QUOTE.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值為QUOTE.(3)設(shè)直線NE與平面ABCD所成角為θ,依題意,可設(shè)QUOTE=λQUOTE,其中λ∈QUOTE,則EQUOTE,從而QUOTE=QUOTE.又n=QUOTE為平面ABCD的一個法向量,由已知,得sinθ=|cos<QUOTE,n>|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,整理得λ2+4λ-3=0,又因為λ∈QUOTE,解得λ=QUOTE-2.所以,線段A1E的長為QUOTE-2.5.(13分)如圖1,在平面四邊形ACPE中,D為AC的中點,AD=DC=PD=2,AE=1,且AE⊥AC,PD⊥AC,沿PD折起使∠ADC=90°,得到立體圖形如圖2,又B為平面ADC內(nèi)一點,并且ABCD為正方形,設(shè)F,G,H分別為PB,EB,PC的中點.(1)求三棱錐P-GHF的體積.(2)在線段PC上是否存在一點M,使直線FM與直線PA所成角為60°?若存在,求出線段PM的長;若不存在,請說明理由.【解析】(1)因為F,G分別為PB,BE的中點,所以FG∥PE.又FG?