高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第1講 直線的傾斜角與斜率增分練-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第1講直線的傾斜角與斜率、直線的方程板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案D解析由直線的方程得直線的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，設(shè)傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，所以α＝eq\f(5π,6).2.[2018·沈陽模擬]直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足()A.ab>0，bc<0 B．a(chǎn)b>0，bc>0C.ab<0，bc>0 D．a(chǎn)b<0，bc<0答案A解析由于直線ax＋by＋c＝0經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b).易知－eq\f(a,b)<0且－eq\f(c,b)>0，故ab>0，bc<0.3.[2018·邯鄲模擬]過點(2,1)，且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小eq\f(π,4)的直線方程是()A.x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2答案A解析∵直線y＝－x－1的斜率為－1，則傾斜角為eq\f(3π,4).依題意，所求直線的傾斜角為eq\f(3π,4)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，斜率不存在，∴過點(2,1)的直線方程為x＝2.4.已知三點A(2，－3)，B(4,3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(k,2)))在同一條直線上，則k的值為()A.12B．9C．－12D．9或12答案A解析由kAB＝kAC，得eq\f(3－－3,4－2)＝eq\f(\f(k,2)－－3,5－2)，解得k＝12.故選A.5.[2018·荊州模擬]兩直線eq\f(x,m)－eq\f(y,n)＝a與eq\f(x,n)－eq\f(y,m)＝a(其中a是不為零的常數(shù))的圖象可能是()答案B解析直線方程eq\f(x,m)－eq\f(y,n)＝a可化為y＝eq\f(n,m)x－na，直線eq\f(x,n)－eq\f(y,m)＝a可化為y＝eq\f(m,n)x－ma，由此可知兩條直線的斜率同號．故選B.6.[2018·安徽模擬]直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),3)答案A解析設(shè)直線l的斜率為k，則k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).7.直線xcosα＋eq\r(3)y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))解析設(shè)直線的傾斜角為θ，依題意知，θ≠eq\f(π,2)，k＝－eq\f(\r(3),3)cosα，∵cosα∈[－1,1]，∴k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，即tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).又θ∈[0，π)，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))8.已知實數(shù)x，y滿足方程x＋2y＝6，當(dāng)1≤x≤3時，eq\f(y－1,x－2)的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析eq\f(y－1,x－2)的幾何意義是過M(x，y)，N(2,1)兩點的直線的斜率，因為點M在x＋2y＝6的圖象上，且1≤x≤3，所以可設(shè)該線段為AB，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，由于kNA＝－eq\f(3,2)，kNB＝eq\f(1,2)，所以eq\f(y－1,x－2)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).9.過點M(－3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為________．答案y＝－eq\f(5,3)x或x－y＋8＝0解析(1)當(dāng)直線過原點時，直線方程為y＝－eq\f(5,3)x；(2)當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入點(－3,5)，得a＝－8，即直線方程為x－y＋8＝0.10.[2018·衡陽模擬]一條直線經(jīng)過點A(2，－eq\r(3))，并且它的傾斜角等于直線y＝eq\f(1,\r(3))x的傾斜角的2倍，則這條直線的一般式方程是________．答案eq\r(3)x－y－3eq\r(3)＝0解析解法一：∵直線y＝eq\f(1,\r(3))x的傾斜角為30°，所以所求直線的傾斜角為60°，即斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又該直線過點A(2，－eq\r(3))，故所求直線為y－(－eq\r(3))＝eq\r(3)(x－2)，即eq\r(3)x－y－3eq\r(3)＝0.解法二：設(shè)直線y＝eq\f(1,\r(3))x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角θ＝2α.tanθ＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(\f(2,\r(3)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\r(3).所求直線為eq\r(3)x－y－3eq\r(3)＝0.[B級知能提升]1.[2018·海南模擬]直線(1－a2)x＋y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))答案C解析直線的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由傾斜角和斜率的關(guān)系(如圖所示)，該直線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).2.已知點A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝eq\r(3)，則直線AB的方程為()A.y＝eq\r(3)x＋eq\r(3)或y＝－eq\r(3)x－eq\r(3)B.y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)C.y＝x＋1或y＝－x－1D.y＝eq\r(2)x＋eq\r(2)或y＝－eq\r(2)x－eq\r(2)答案B解析由|AB|＝eq\r(cosα＋12＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(3)，得cosα＝eq\f(1,2)，所以sinα＝±eq\f(\r(3),2)，所以直線AB的斜率kAB＝eq\f(sinα－0,cosα＋1)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(1,2)＋1)＝eq\f(\r(3),3)或kAB＝eq\f(sinα－0,cosα＋1)＝eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2)＋1)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線AB的方程為y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋1)，即直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3).選B.3.[2018·寧夏調(diào)研]若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點共線，則ab的最小值為________．答案16解析根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又C(－2，－2)在該直線上，故eq\f(－2,a)＋eq\f(－2,b)＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.根據(jù)基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4eq\r(ab)，從而eq\r(ab)≤0(舍去)或eq\r(ab)≥4，故ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時取等號，即ab的最小值為16.4.在△ABC中，已知A(1,1)，AC邊上的高線所在直線方程為x－2y＝0，AB邊上的高線所在直線方程為3x＋2y－3＝0.求BC邊所在直線方程．解kAC＝－2，kAB＝eq\f(2,3).∴AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，AB：y－1＝eq\f(2,3)(x－1)，即2x－3y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－3＝0，,3x＋2y－3＝0，))得C(3，－3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,x－2y＝0，))得B(－2，－1)．∴BC：2x＋5y＋9＝0.5.過點P(2,1)作直線l，與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求：(1)△AOB面積的最小值及此時直線l的方程；(2)求直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程；(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直線l的方程．解(1)解法一：設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，則可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)．∵與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)>0，,1－2k>0))?k<0.于是S△AOB＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\f(2k－1,k)·(1－2k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,k)－4k))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))·－4k)))＝4.當(dāng)且僅當(dāng)－eq\f(1,k)＝－4k，即k＝－eq\f(1,2)時，△AOB面積有最小值為4，此時，直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.解法二：設(shè)所求直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.又∵eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))?eq\f(1,2)ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)，即a＝4，b＝2時，△AOB面積S＝eq\f(1,2)ab有最小值為4.此時，直線l的方程是eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.(2)解法一：∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)(k<0)，∴截距之和為eq\f(2k－1,k)＋1－2k＝3－2k－eq\f(1,k)≥3＋2eq\r(－2k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k))))＝3＋2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)－2k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(\r(2),2)時，等號成立．故截距之和最小值為3＋2eq\r(2)，此時l的方程為y－1＝－eq\f(\r(2),2)(x－2)，即eq\r(2)x＋2y－2－2eq\r(2)＝0.解法二：∵eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴截距之和a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)